1 Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 6. Impuls, Kraftstoß, Schwerpunktsatz, Impulserhaltung, Stoß

1 Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 6.

Impuls, Kraftstoß, Schwerpunktsatz, Impulserhaltung, Stoß

Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.2.5, 2.2, 2.5 I. Impuls. Die vektorielle Größe pmv

heißt Impuls des Körpers. Der Gesamtimpuls eines Mehrkörpersystems berechnet sich als Summe der Impulse seiner Bestandteile:

p



m vi i^.

II. Impulssatz.

Geschrieben in der Form ^d d

p F

t  trägt das 2. Newtonsche Gesetz den Namen Impulssatz.

III. Kraftstoß. Durch Multiplizieren mit dt und Integration kann der Impulssatz in der folgenden Integralform dargestellt werden:

2 2

1 1

( )

( )

d ( )d

p t t

p t t

p F t t

 

^{ 2}

1

2 1

( ) ( ) ( )d

t

t

p t p t 



F t t Die Änderung des Impulses ist somit gleich der Größe

2

1

( )d

t

t

F 



F t t, die Kraftstoß heißt.

IV. Abgeschlossenes System.

Ein Mehrkörpersystem heißt abgeschlossen, wenn die zu ihm gehörigen Körper nur mitei- nander wechselwirken.

V. Impulserhaltungssatz

Betrachten wir ein abgeschlossenes System bestehend aus

zwei Körpern.

Diese Körper wechselwirken nur mit einander.

Die Wechselwirkungskräfte genügen dem 3.

Newtonschen Gesetz (actio=reactio). Das 2.

Newtonsche Gesetz für jeden Körper kann demnach wie folgt geschrieben werden:

1 1

m dv F

dt  m₂^dv2 F dt   . Summieren beider Gleichungen ergibt

1 2

1dv 2 dv 0

m m

dt  dt  oder d



1 1 2 2



0 m v m v

dt  

In der Klammer steht der Gesamtimpuls des Systems: dp 0

dt  . Daraus folgt:

1 1 2 2

pm v m v const

Der Impuls eines abgeschlossenen Systems bleibt erhalten (Impulserhaltungssatz).

Dieser Satz gilt für ein abgeschlossenes Sys- tem bestehend aus beliebiger Zahl von Kör- pern.

VI. Innere und äußere Kräfte

Die Kräfte, mit denen die Körper, die zu einem System gehören, mit einander wechselwirken, nennen wir innere Kräfte.

Die Kräfte, mit denen die Körper des Systems mit den Körpern außerhalb des Systems wech- selwirken, nennen wir äußere Kräfte.

Diese Definitionen sind systemabhängig. So ist z.B. die Wechselwirkungskraft zwischen der Sonne und der Erde eine innere Kraft, wenn wir die Sonne und die Erde als ein Sys- tem betrachten. Betrachten wir dagegen nur die Erde als "System", so ist das eine äußere Kraft.

VII. Impulssatz für ein Mehrkörpersystem Betrachten wir jetzt ein nicht abgeschlossenes (offenes)

System, d.h.

ein System, dessen Kör- per auch mit Körpern

außerhalb des Systems wechselwirken.

F und F sind hier innere Kräfte. F₁ und F₂ sind äußere Kräfte. Das 2. Newtonsche Gesetz für die beiden Körper lautet:

1

1

dp F F

dt   ; ^dp2 F F₂ dt    . Addition dieser Gleichungen ergibt

1 2 ext

dp F F F

dt   

Fext ist die Summe aller äußeren Kräfte.

Impulssatz:

Die zeitliche Ableitung des Impulses eines Systems ist gleich der Summe aller äußeren Kräfte, die auf dieses System wirken.

Teilerhaltung des Impulses:

Ist die Projektion der resultierenden äußeren Kraft auf die x-Achse Null, so bleibt die x- Projektion des Impulses erhalten.

2 Beweis: Der Impulssatz ^dp F_ext

dt  in der Pro- jektion auf die x-Achse lautet: dp^x 0

dt  . Daraus folgt p_x const.

VIII. Schwerpunktsatz

Der Radiusvektor des Schwerpunkts eines Systems wird wie folgt definiert:

1 1 2 2

1 2

i i i i

s

i

m r m r m r m r

R m m m M

  

  

  

 



^,

wobei M die Gesamtmasse des Systems ist.

Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes be- rechnet sich als zeitliche Ableitung dieses Vektors:

1 1 2 2

1 2

i i

s s

m r m r m v p

V R

m m M M

  

   

  



_.

Betrachten wir zwei Fälle:

a) Abgeschlossenes System

1 1 2 2

1 2

dRs m v m v p

const

dt m m M

 

  

  :

Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

b) Offenes System / F_ext dV dp dt

dt  M  M oder

2

2 ext

M d R F dt  .

IX. Plastischer Stoß

Betrachten wir den Zusammenstoß zweier Körper, nach dem sie sich als ein Ganzes be- wegen (an ei-

nander kleben).

Solch einen Stoß

nennt man plastischer Stoß. Die Wechselwir- kungskräfte zwischen beiden Körpern, unab- hängig von deren Größe und physikalischer Herkunft sind innere Kräfte. Wirken am Sys- tem keine weiteren Kräfte, so ist das ein abge- schlossenes System. Der Impuls des Systems bleibt deshalb erhalten. Insbesondre gilt das für beliebige Zeitpunkte vor und nach dem Stoß:

Impuls vor dem Stoß: m v_{1 1}m v_{2 2} Impuls nach dem Stoß



m1m v2



Wenn keine äußeren Kräfte gewirkt haben:

 

1 1 2 2 1 2

m v m v  m m v 

1 1 2 2

1 2

m v m v

v m m

 



X. Zerfall (z.B. durch eine Explosion)

Impuls "vor":



m1m2



 0 0 Impuls "nach": m v_{1 1}m v_{2 2}

Impulserhaltungssatz: m v_{1 1}m v_{2 2} 0

1

2 1

2

v v m

  m XI. Mittelwert einer Kraft

Betrachten wir eine von der Zeit abhängige Kraft F t( ). Den Mittelwert dieser Kraft auf dem Zeitintervall

von t₁ bis t₂ kön- nen wir bestim- men, indem wir das Zeitintervall in eine sehr große

Zahl N von Teilintervallen t unterteilen (offensichtlich gilt N t  t₂ t₁).

Den Mittelwert F (der Strich über dem Buch- staben bedeutet "Mittelwert") berechnet man mit der bekannten Regel

1

1 ^N

i i

F F

N 





^{. Indem}

wir diese Gleichung mit t multiplizieren und dividieren, erhalten wir

2

1 1

2 1

( )

N t

i i t

F t dt F t

F N t t t





 

 

 

. Nach dem Impulssatz in der Integralform gilt

2

1

2 1

( )

t

t

F t dt p p



^{, wobei p2 und p1 Impulse}

des Systems zu den Zeitpunkten t₂ und t₁ sind. Für den Mittelwert der Kraft ergibt sich somit

2 1

2 1

p p

F t t

 



Der Mittelwert der Kraft ist gleich der Ände- rung des Impulses dividiert durch das Zeitin- tervall, in dem diese Änderung stattgefunden hat.

Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob die Gesamt- masse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte an ihm angreifen.