Man findet kaum Situationen, in denen auf einen Körper keine Kräfte wirken. Teilweise können die angreifenden Kräfte so groß werden, dass sich die Objekte stark verformen.

11 Gleichgewicht und Elastizität

Objekte im Gleichgewicht

Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts muss nicht notwendigerweise Null sein

Warum sind solche Bedingungen für die Physik trotzdem interessant?

Man findet kaum Situationen, in denen auf einen Körper keine Kräfte wirken. Teilweise können die angreifenden Kräfte so groß werden, dass sich die Objekte stark verformen.

Eine Kenntnis der statischen Gegebenheiten kann solche dynamischen Prozesse verhindern

Anwendung

Statische Berechnungen

Technik: Gebäude, Brücken, Maschinen, Fahrzeuge Medizin: Muskeln und Gelenke

( ) ^I ∑ ^{F = 0} ( ) ^II ∑ ^{τ = 0}

Studienobjekt sind Körper, bei denen sowohl die resultierende Kraft

als auch das resultierende Drehmoment NULL sind

Statisches Gleichgewicht

Erste Bedingung

° 45

kg 50 F r

D

F r

W

F r

g

Gewichtskraft

490.5N 9.81m/s² kg

50

=

⋅

=

g g

F F

x

Komponenten von

y

F_D und F_Wentlang Koordinatenachsen

berechnen

°

=

°

−

=

45 sin

45 cos

D Dy

D Dx

F F

F F

= 0

=

Wy

W Wx

F

F

F 694 N

45 sin

m/s² 81 . 9 kg 50

45 sin 0

° =

= ⋅

−

°

=

= ∑

Dy

g Dy

y

F

F F

F

N 490 45

cos N 694

45 cos 0

=

°

=

°

−

=

= ∑

W

Dx W

x

F

F F

F

Kräfte in x-Richtung NULL

Der Draht, der den Kronleuchter hält, muss also wenigstens eine Masse von 850 N/g~87kg tragen können.

° 45

Deckenbefestigung

Wandbefestigung

∑ ^{F = 0}

Die Summe aller

angreifenden Kräfte an den Körper ist NULL

mg F

F

gy gx

=

= 0

Kräfte in y-Richtung NULL

( ) ( )

N 50 8

N 694

490

^{2 2}

2 2

= +

=

+

=

D D

y x

D

F F

F F

F

F r

D

F

Dx

F

Dy

Statisches Gleichgewicht

Zweite Bedingung

∑ ^{τ = 0}

Die Summe aller

angreifenden Drehmomente an jedem Punkt eines

Körpers ist NULL

Summe der angreifenden

Kräfte ist NULL, aber die Summe der Drehmomente ist

ungleich NULL

In zweidimensionalen Problemen und das sind praktisch alle, reduziert sich die Anzahl der

Gleichungen auf drei.

Dabei ist das Koordinatensystems (x,y) für die angreifenden Kräfte frei wählbar

( ) ( )

( ) ∑ ∑ ∑

=

=

=

0

3

0

2

0

1

z y x

F F τ

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

R mg r F

R F mgr

M

M

r m R

F M

Gleichgewicht der Drehmomente

Verlagerung des Auflagepunkts, d.h. Reduzierung von r erhöht das Drehmoment durch F_M enorm. R ändert sich dabei kaum

Olli auf Leiter

F

_g

F

_W

Θ

F

_x

F

_y

( )

Θ Θ =

= Θ

= Θ

− + Θ

=

−

sin cot cos

0 cos

sin

0

L M L

M W

M L

W

g ML W

WL

l mg l l

mg l F

mg l

l F

F r F

l_M

r

l_L

µmg F

F F

W

y x

=

↓

↓

Leiter rutscht, wenn

=

μ l µmg

mg l

L

M cot Θ =

Θ

= l µ tan l

_{M L}

Beispiel

25 . 0

75 cot 95

. 0

cot

=

°

⋅

=

Θ

= µ µ

l µ l

L M

Zum Vergleich Gummi-nasser Asphalt μ=0.5

resultierende Kraft verschwindet

unter dieser Bedingung verschwinden die Drehmomente

Koordinatenursprung Aufsetzpunkt der Leiter

Drehmoment Leiter Drehmoment Mensch

Normalkraft g y

g y

W x

W x

F F

F F

F F

F F

=

⇔

=

−

=

⇔

= +

−

0 0

einsetzten

∑ ^{τ = 0}

∑ ^{F = 0}

Massenschwerpunkt

COG vs COM

Die Gravitationskraft auf einen Körper wirkt effektiv auf einen ausgezeichneten Punkt des Objektes, den Schwerpunkt (center of gravity, CoG). Wenn die angreifenden Kräfte statt an jedes Volumenelement an den Schwerpunkt angreifen, ändert sich weder die resultierenden Kraft noch

das resultierende Drehmoment.

Wenn an alle Elemente des Körpers dieselbe Gravitationskraft angreifen, dann stimmt der Schwerpunkt (CoG) mit dem Massenschwerpunkt (center of mass, CoM) überein.

Normalerweise kann man diesen Unterschied vernachlässigen.

Es schadet aber nichts, dass einmal zu überprüfen

Hier vielleicht nicht!

Beweis

Im Gravitationsfeld stimmen Schwerpunkt und Massenschwerpunkt überein

i i

gi

m g

F =

O x

i

m

i

y

x

Betrachte Einzelelemente m

_i

gi i i

= x F

τ

∑ ⁼ ∑

= _{i i gi}

res τ x F

τ

betrachte Gesamtsystem

x SP

SP F gi

F g

CM i

i SP

i i SP

i i i

SP i

M x m x x

m x M

x

m x m

x

const g

g

=

=

=

=

=

=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

=

=

res i

i i i

SP SP

res gi

i g

SP SP

g SP SP

g m x g

m x

F x F

x

F x

τ τ

τ τ

τ

Annahme

Gravitationswechselwirkung hängt nicht vom Ort ab

Diesen

Zusammenhang haben wir schon einmal benutzt Definition des Schwerpunkts

M m

x

_CM

₌ ∑ x

^{i i}

_qed

Einzelnkräfte

Belastung

kindgerecht

Elastizität

L

L L + Δ

Δ x Δ V

V

(II) Hydraulischer Druck

(III) Scherung

(I) Dehnung oder Kompression

Dehnung

Spannung = Modul x Dehnung

L E L A

F = Δ

Elastizitätsmodul oder Youngscher Modul Einheit 1 N/m²= 1Pa

gebräuchlich GPa bzw MPa

Thomas Young 1773-1829

ε

σ = E Hooksches Gesetz

Neben der Längenänderung erfolgt auch eine Abnahme des Querschnitts. Für eine quadratische Probe ergibt sich bei geringen Änderungen näherungsweise

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ Δ ⎛ Δ Δ −

Δ = Δ −

Δ =

=

−1

2

² 1 2

²

² Volumen

erung Volumenänd

l l d

d l

l l

d d dl l

d l d V

V

( ) ( )

( ) ( )

d dl l

d V

l d l d d

l d l

d l d d

dl l

d V

l d l l d d

V

Δ

− Δ

≈ Δ

− Δ Δ

+ Δ Δ

− Δ + Δ

+ Δ

−

= Δ

− Δ

− Δ

−

= Δ

2

²

² 2

² 2

²

²

2 2

2

l Δ l

=

= ε σ Dehnung

A F

g Zugspannun

ktionzahl Querkontra

auch l Poissonzah

ktion Querkontra

1

ε μ ε

ε

q q

l l d

d

d d

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ Δ ⎛ Δ

=

= Δ

−

( ^μ )

ε 1 − 2 Δ =

V V

Kraft pro Fläche

Längenänderung durch Originallänge

grüne Terme werden vernachlässigt kleine Änderung mal kleine Änderung!

Proportionalitätsfaktor

Messung des Elastizitätsmoduls

Dehnung des Messfühlers bewirkt eine Änderung des

elektrischen Widerstandes R. E A F R

R ≈ Δ

Grosse Empfindlichkeit für geringe

Abmessungen und ein kleines Elastizitätsmodul

Messfühler wird an Untersuchungsobjekt

angeheftet

Elastitizätsmodul

E: Elastizitätsmodul

μ: Querkontraktionszahl

R

_m

: Zugfestigkeit A: Bruchdehnung

Werte zum Teil nur gültig nahe Raumtemperatur sowie geringer, langsamer Beanspruchung

Zum Teil auch nicht genau definiert Die Werte für das Elastizitätsmodul überdecken viele Größenordnungen

Kompression

V K V

p Δ

−

= Δ Δ V

V

Hooksches Gesetz für die Kompression

K nennt man das Kompressionsmodul

Einheit [N/m²]

üblicherweise in GPa oder MPa angegeben

Zusammenhang zum Elastizitätsmodul E

E Δ p

−

⇒ 3

ε

^{Faktor 3:} Druck wirkt von allen Seiten auf den Körper ein

( )

( ^μ )

μ 2 3 1

2 3 1

−

= Δ Δ

=

⇒

Δ − Δ =

p E V K V

E p V

V

Allseitiger Druck (Gas, Flüssigkeit) bewirkt eine Volumenänderung

Spezialfälle

μ=1/3: K=E (z.B. Aluminium, Eis) μ>1/3: K>E

μ<1/3: K<E

( ^μ )

ε 1− 2 Δ =

V V

Ergebnis Dehnung

Beziehung zwischen Dehnung und Kompression

Scherung

Tantentialspannungen

F

Scherung des Körpers

γ

γ ε ⇒

γ A G

F

S

S

= =

τ

ung Schubspann

A

Im Gegensatz zum Elastizitätsmodul E, dem Kontraktionsmodul K und der Querkontraktionszahl μlässt sich das Schermodul Gnicht aus bekannten E, μoder E, K oder K, μherleiten

Torsionwird ebenfalls durch eine Schubspannung verursacht. In der Literatur wird das zugehörige Schubmodul deshalb auch als Torsionsmodul bezeichnet.

Zusammenhang zwischen den elastischen Konstanten

= G

= K μ=

= E

Elastische Moduli

Material Elastizitätsmodul Schermodul Kompressionsmodul

GPa GPa GPa

Eisen Stahl Blech Aluminium

Beton Stein Marmor

Granit Holz Nylon Knochen

Wasser Alkohol Quecksilber

Luft, H₂, Helium, CO₂

Festkörper 100 40 90

200 80 140

100 35 80

70 25 70

21

50 70

15 80

Flüssigkeiten 2

1 2

Gase 10^-4

45 45

1 5 14

Spannungs-Dehnungsdiagramm

nicht-lineares Verhalten

permanenter Verformung des Materials

L Δ L

lineare Verformung des Materials

A

F

Knochenbrüche

jenseits der Elastizitätsgrenze

Beim Torsionsbruch liegt der Bruchpunkt am niedrigsten.

Erfahrungswert 120 Nm führen zum Bruch des Oberschenkelknochen

z.B. Krafteinwirkung von 100 N auf die Skispitze bei

fixiertem Fuß

Statik von Gebäuden

Lug und Trug

Entwicklungsgeschichte

Statik von Gebäuden

Parthenon, Athen

Antike, Griechenland

Breite des zu überspannenden Raumes limitiert durch die Größe der Steine. Durch das Gewicht ergibt sich eine zusätzliche Beanspruchung durch Kompression, die es verhindert, dass größere Abstände der Pfeiler realisiert werden können.

Das Baumaterial Stein hat aber nur ein geringes Modul bezüglich Spannung und Scherung.

Erste Innovation:

Antike, Rom

Halbkreisförmiger Torbogen

Im Halbkreisbogen wird im Wesentlichen ein Kompressionsdruck erzeugt. Dadurch werden

vertikale Kräfte in horizontale Kräfte transformiert.

Allerdings stimmt die Richtung der einwirkenden Gewichtskraft nicht mehr mit der Richtung des Druck überein. Das hat zur Folge, das die Seiten nach außen gedrückt werden und das Zentrum die Tendenz zeigt einzustürzen.

Panthenon, Rom

Spitzbogen

Zweite Innovation ca. 1100 n. Chr.

Jede Seite des Bogens ist ein Ausschnitts eines Kreissegments. Dadurch wird der Bogen schmaler.

Zusätzlich stimmt die Richtung der Krompressionsdrucks besser mit der einwirkenden Gewichtskraft überein.

Gotische Kathedrale, Amiens, erbaut 1220 n. Chr.

Spitzbogen

R

R R

2 R F g

F g

F V

F H F _H

F V

g H

H g

g

H g

V

F F

RF R F

RF

RF R F

RF

2 1 0 2

0 2

=

−

−

=

−

−

=

= ∑ ^τ

g H

H g

g

H g

V

F F

RF R F

RF

RF R F

RF

4 1 2 2 0

2 2 0

=

−

−

=

−

−

=

= ∑ ^τ

Rechnung für jeweils die eine Hälfte eines Bogens

2 R / 2

R /

Gesucht: Kraft nach außen am Fuß des Bogens

Statisches Gleichgewicht

Summe der Drehmomente ergibt NULL

horizontale Belastung halbiert sich beim Spitzbogen

F

_V

kompensiert F

_g

Kuppeln

Problem der Baumeister:

Die Konstruktion ist nur unter Druck stabil, d.h. erst wenn der letzte Stein eingesetzt ist.

Lösung durch schichtweises aufbauen der Kuppel.

Innerer Ring stabilisiert die Konstruktion

Kathedrale von Florenz, 1296 n. Chr.

Kuppeldurchmesser 23 m

Flachkuppeln

Palazzetto dello Sport, Rom, 1956/57

Abmessungen der Stahlbetonkuppel

Durchmesserder Kuppel 60 m

Höhe der Kuppel 21 m

Gewicht der Kuppel 1000 t

36 Y-förmigen Stützpfeiler°

( )

N F

N F F

N F

H

V H

V

6

6

6 6

10 5 . 3

781 . 0

10 73 . 2 tan

Belastung e

horizontal

10 73 . s² 2

81 m . 9 kg 36 10

1

Belastung vertikale

⋅

=

= ⋅

= Θ

⋅

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Nicht sichtbarer vorgespannter Ring rund um den Bau stabilisiert den Bau

° 38

F

H

F

V