Statisches Gleichgewicht

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11 Gleichgewicht und Elastizität

Objekte im Gleichgewicht

Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts muss nicht notwendigerweise Null sein

Warum sind solche Bedingungen für die Physik trotzdem interessant?

Man findet kaum Situationen, in denen auf einen Körper keine Kräfte wirken. Teilweise können die angreifenden Kräfte so groß werden, dass sich die Objekte stark verformen.

Eine Kenntnis der statischen Gegebenheiten kann solche dynamischen Prozesse verhindern

Anwendung

Statische Berechnungen

Technik: Gebäude, Brücken, Maschinen, Fahrzeuge Medizin: Muskeln und Gelenke

( ) ^I ∑ ^{F = 0} ( ) ^II ∑ ^{τ = 0}

Studienobjekt sind Körper, bei denen sowohl

die resultierende Kraft als auch das resultierende Drehmoment NULL sind

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Statisches Gleichgewicht

Erste Bedingung

° 45

kg 50 F

F

F

Gewichtskraft

490.5N 9.81m/s²

kg

50 ⋅ =

g

= F

x y

Komponenten von F_D,W entlang der Koordinatenachsen

berechnen

°

=

°

−

=

45 sin

45 cos

D Dy

D Dx

F F

F F

= 0

=

Wy

W Wx

F

F F

N 45 694

sin

m/s² 81 . 9 kg 50

45 sin 0

° =

= ⋅

−

°

=

= ∑

Dx

g Dx

y

F

F F

F

N 490 45

cos N 694

45 cos 0

=

°

=

°

−

=

= ∑

W

Dx W

x

F

F F

F

x-Komponente y-Komponente

Der Draht, der den Kronleuchter hält, muss also wenigstens ein Gewicht von 694N/g=71kg tragen können.

° 45

Deckenbefestigung

Wandbefestigung

∑ ^{F = 0}

Die Summe aller

angreifenden Kräfte an den Körper ist NULL

Statisches Gleichgewicht

Zweite Bedingung

∑ ^{τ = 0}

Die Summe aller

angreifenden Drehmomente an jedem Punkt eines

Körpers ist NULL Summe der angreifenden

Kräfte ist NULL, aber die Summe der Drehmomente ist

ungleich NULL

In zweidimensionalen Problemen und das sind praktisch alle, reduziert sich die Anzahl der

Gleichungen auf drei.

Dabei ist das Koordinatensystems (x,y) für die angreifenden Kräfte frei wählbar

( ) ( )

( ) ∑ ∑ ∑

=

=

=

0

3

0

2

0

1

z y x

F F τ

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

R mg r F

R F mgr

M

M

r m R

F

Gleichgewicht der Drehmomente

Verlagerung des Auflagepunkts, d.h. Reduzierung von r erhöht das Drehmoment durch F_M enorm. R ändert sich dabei kaum

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Mensch auf Leiter

mg F

Θ

F

F

( )

( )

( )

Θ

=

= Θ

− + Θ

=

− +

=

− +

cot

0 cos

sin

0 0

L M W

M L

W

y

W x

l mg l F

mgl l

F

mg F

F F

l_M l_L

Leiter rutscht, wenn

µmg F

F F

W

y x

=

↓

↓

=

μ

l µmg mg l

L

M

cot Θ =

Θ

= l µ tan l

Beispiel

25 . 0

75 cot 95

. 0

cot

=

°

⋅

=

Θ

= µ µ

l µ l

L M

Zum Vergleich Gummi-nasser Asphalt μ=0.5

resultierende Kraft verschwindet

Drehmomente verschwinden

Koordinatenursprung Aufsetzpunkt der Leiter

Drehmoment Leiter Drehmoment Mensch

Normalkraft

Massenschwerpunkt

COG vs COM

Die Gravitationskraft auf einen Körper wirkt effektiv auf einen ausgezeichneten Punkt des Objektes, den Schwerpunkt (center of gravity, COG). Da heißt, dass wenn man die angreifenden

Kräfte statt an Volumenelement an den Schwerpunkt anreifen lässt, ändert sich weder die resultierenden Kraft noch das resultierende Drehmoment.

Wenn an alle Elemente des Körpers dieselbe Gravitationskraft angreifen, dann stimmt der Schwerpun (COG) mit dem Massenschwerpunkt (center of mass, COM) überein.

Normalerweise kann man diesen Unterschied vernachlässigen.

Es schadet aber nichts, dass einmal zu überprüfen Hier vielleicht nicht!

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Beweis

Im Gravitationsfeld stimmen Schwerpunkt und Massenschwerpunkt überein

i i

gi

m g

F =

O

x

m

y

x

Betrachte Einzelelemente m_i

gi i i

= x F

τ

∑ ⁼ ∑

=

res

τ x F

τ

betrachte Gesamtsystem

x

SP F

F

CM i

i SP

i i SP

i i i

SP i

M x m x x

m x M

x

m x m

x

const g

g

=

=

=

=

=

=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

=

=

res i

i i i

SP SP

res gi

i g

SP SP

g SP SP

g m x g

m x

F x F

x

F x

τ τ

τ τ

τ

Annahme

Gravitationswechselwirkung hängt nicht vom Ort ab

Diesen

Zusammenhang haben wir schon einmal benutzt Definition des Schwerpunkts

M m

x

₌ ∑ x

Elastizität

L

L L + Δ

Δ x Δ V

V

(II) Hydraulischer Druck

(III) Scherung (I) Dehnung oder Kompression

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Dehnung

Spannung = Modul x Dehnung

L E L A

F = Δ

Elastizitätsmodul oder Youngscher Modul Einheit 1 N/m²= 1Pa

gebräuchlich GPa bzw MPa

Thomas Young 1773-1829

ε σ = E

Hooksches Gesetz

Neben der Längenänderung erfolgt auch eine Abnahme des Querschnitts. Für eine quadratische Probe ergibt sich bei geringen Änderungen näherungsweise

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ Δ ⎛ Δ Δ −

Δ = Δ −

Δ =

2

² 1 2

²

²

l l d

d l

l l

d d dl l

d l d V

V

( ) ( )

( ) ( )

d dl l

d V

l d l d d

l d l

d l d d

dl l

d V

l d l l d d

V

Δ

− Δ

≈ Δ

− Δ Δ

+ Δ Δ

− Δ + Δ

+ Δ

−

= Δ

− Δ

− Δ

−

= Δ

2

²

² 2

² 2

²

²

2 2

2

l Δ l

=

= ε σ Dehnung

A F

g Zugspannun

) neu ( 1/

(alt)

; l Poissonzah

ktionzahl Querkontra

ktion Querkontra

μ μ

μ ε

μ ε ε

⇒

=

= Δ

q

q

d

d

( ^μ )

ε 1− 2 Δ =

V V

Kraft pro Fläche Längenänderung durch Originallänge

grüne Terme werden vernachlässigt kleine Änderung mal kleine Änderung!

Messung des Elastizitätsmoduls

Dehnung des Messfühlers bewirkt eine Änderung des

elektrischen Widerstandes R.

E A F R

R ≈ Δ

Grosse Empfindlichkeit für geringe

Abmessungen und ein kleines Elastizitätsmodul

Messfühler wird an Untersuchungsobjekt

angeheftet

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Elastitizätsmodul

E: Elastizitätsmodul

μ: Querkontraktionszahl R _m: Zugfestigkeit A: Bruchdehnung

Werte zum Teil nur gültig nahe Raumtemperatur sowie geringer, langsamer Beanspruchung

Zum Teil auch nicht genau definiert Die Werte für das Elastizitätsmodul überdecken viele Größenordnungen

Kompression

V K V

p Δ

−

= Δ Δ V

V

Hooksches Gesetz für die Kompression

K nennt man das Kompressionsmodul

Einheit [N/m²]

üblicherweise in GPa oder MPa angegeben Zusammenhang zum Elastizitätsmodul E

E Δ p

−

⇒ 3

ε

( )

( ^μ )

μ 2 3 1

2 3 1

−

= Δ Δ

=

⇒

Δ − Δ =

p E V K V

E p V

V

Allseitiger Druck (Gas, Flüssigkeit) bewirkt eine Volumenänderung

Spezialfälle

μ=1/3: K=E (z.B. Aluminium, Eis) μ>1/3: K>E

μ<1/3: K<E

( ^μ )

ε 1− 2 Δ =

V V

Ergebnis Dehnung

Beziehung zwischen Dehnung und Kompression

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Scherung

Tantentialspannungen

F

Scherung des Körpers

γ

γ ε ⇒

γ A G

F

S

S

= =

τ

ung Schubspann

A

Im Gegensatz zum Elastizitätsmodul E, dem Kontraktionsmodul K und der Querkontraktionszahl μlässt sich das Schermodul Gnicht aus bekannten E, μoder E, K oder K, μherleiten

Torsionwird ebenfalls durch eine Schubspannung verursacht. In der Literatur wird das zugehörige Schubmodul deshalb auch als Torsionsmodul bezeichnet.

Zusammenhang zwischen den elastischen Konstanten

= G

= K μ=

= E

Elastische Moduli

Material Elastizitätsmodul Schermodul Kompressionsmodul

GPa GPa GPa

Eisen Stahl Blech Aluminium

Beton Stein Marmor

Granit Holz Nylon Knochen

Wasser Alkohol Quecksilber

Luft, H₂, Helium, CO₂

Festkörper 100 40 90

200 80 140

100 35 80

70 25 70

21

50 70

15 80

Flüssigkeiten 2

1 2

Gase 10^-4

45 45

1 5 14

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Spannungs-Dehnungsdiagramm

nicht-lineares Verhalten

permanenter Verformung des Materials

L Δ L

lineare Verformung des Materials

A

F

Knochenbrüche

jenseits der Elastizitätsgrenze

Beim Torsionsbruch liegt der Bruchpunkt am niedrigsten.

Erfahrungswert 120 Nm führen zum Bruch des Oberschenkelknochen

z.B. Krafteinwirkung von 100 N auf die Skispitze bei fixiertem Fuß