Kinematik und Dynamik (Mechanik II)

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN

Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik

Prof. Dr. rer. nat. V. Popov

www.reibungsphysik.de

Kinematik und Dynamik (Mechanik II)

Vorlesungsnotizen SoSe 2013

FG Systemdynamik

und Reibungsphysik

1 Kinematik einer eindimensionalen Bewegung: Geschwindigkeit als Ableitung, Entfernung als Integral, Beschleunigung. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.1.1.-1.1.3.

I. Kinematik und Dynamik. Unter der Ki- nematik versteht man rein mathematische und geometrische Methoden zur Beschreibung von Bewegungen, wie Koordinaten, Vekto- ren, geometrische Bindungen ect.

Das Wort Dynamik, oder Englisch dynamics, wird in allen Wissenschaftszweigen als Syn- onym zur Bewegung verstanden. An einigen deutsprachigen Technischen Universitäten ist für die Dynamik auch ein anderes Wort ge- bräuchlich: "die Kinetik". Im Sinne unserer Vorlesung sind "die Dynamik" und "die Ki- netik" Synonyme.

Alle Fragen über die Ursachen und Charakter von Bewegungen werden in der klassischen Mechanik ganz einheitlich beantwortet: Ge- mäß den Newtonschen Gesetzen. Die New- tonschen Gesetze und deren Anwendung in verschiedenen Situationen sind das Haupt- thema der Veranstaltung Kinematik und Dy- namik.

II. Massenpunkt. Der Begriff eines Massen- punktes ist einer der Grundbegriffe der Me- chanik. Unter einem Massenpunkt versteht man einen Körper, dessen Ausmaße man bei der Beschreibung seiner Bewegung vernach- lässigen kann. Natürlich hängt die Möglich- keit einer solchen Vernachlässigung von den konkreten Bedingungen der Aufgabe ab. So kann man z.B. die Planeten als Massenpunkte annehmen, wenn man ihre Bewegung um die Sonne untersucht, dagegen freilich nicht, wenn man ihre tägliche Drehung betrachtet.

III. Eindimensionale Bewegung. Wir be- ginnen mit der Bewegung in einer Richtung, wie in einem Wagen auf einer geraden Stra- ße. Um Koordinaten angeben zu können, müssen wir ein Koordinatensystem wählen.

Bei einer eindimensionalen Bewegung reicht die Angabe einer Koordinatenachse x, die in die Bewegungsrichtung zeigt:

Wir wählen auf dieser Achse einen Koordina- tenursprung. Zu jedem Zeitpunkt befindet sich der Wagen in einem bestimmten Punkt dieser Achse. Diesen Sachverhalt merken wir uns, indem wir schreiben: x=x t( ).

IV. Geschwindigkeit als Ableitung.

Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeit- intervall ( , )t t_{1 2} wird als Verhältnis des zu- rückgelegten Weges zu der verstrichenen Zeit definiert:

2 1

2 1

( ) ( ) x t x t

v t t

= −

− .

Die momentane Geschwindigkeit ist Grenz- wert dieses Verhältnisses für t₂− →t₁ 0:

2 1

2 1

0 2 1

( ) ( ) lim

t t

x t x t

v ^{− →} t t

= −

− .

Das ist nichts anderes als die erste Ableitung der Koordinate nach der Zeit:

dt v= dx.

In der Mechanik ist es üblich die Ableitung nach Zeit durch einen Punkt über dem Buch- staben zu bezeichnen:

v=xɺ.

Nützliche Regeln der Differnzial- und Integralrechnung Funktion

( ) x t

Ableitung dx dt

Funktion ( ) g t

Stammfunktion (unbestimmtes

Integral) ( ) ( )d G t =

∫

g t t

C 0 0 C

t 1 1 t+C

( ) ( )

u t ₊ f t du df dt ⁺ dt

( ) ( )

u t +v t

∫

u td +

∫

v td +C ( ) ( )

u t ⋅f t du df f u dt ⁺ dt

partielle Integration

d d

du df

f t u t uv C

dt + dt = +

∫ ∫

t2 2t t t²/ 2+C

t 3 3t² t² t³/ 3+C

tn ntⁿ⁻¹ tⁿ tⁿ⁺¹/(n+ +1) C ( )

u=u f , ( ) f = f t

du du df dt ⁼ df ^⋅dt

Substitionsmethode

sin t cos t cos t sin t+C

cos t −sin t sin t −cos t

et e^t e ^t e^t +C

ln t 1/ t 1/ t ln t+C

arcsin t

2

1

1 t− ²

1 1 t−

arcsin t

O x

2 V. Entfernung als Integral.

Ist die Geschwindigkeit ( )v t als Funktion der Zeit bekannt, so kann die Koordinate zu ei- nem beliebigen Zeitpunkt bestimmt werden.

Zwei Lösungsmöglichkeiten:

1. Unbestimmte Integration. Die Ge- schwindigkeit ist die zeitliche Ableitung der Koordinate: ( )

dx t ( )

dt =v t . Die Koordinate zu bestimmen bedeutet demnach eine Funktion zu finden, deren Ableitung der gegebenen Funktion v t gleich ist. Diese Funktion ( ) nennt man Stammfunktion oder unbestimmtes Integral der Funktion ( )v t . Bezeichnung:

( ) ( )d x t =

∫

v t t+C^.

Die Integration ist offenbar eine Umkehrope- ration zur Ableitung. Die Tabelle der Ablei- tungen - gelesen in der umgekehrten Rich- tung - ist gleichzeitig eine Tabelle der Integ- rale (s. Tabelle).

2. Bestimmte Integration. In einem kurzen Zeitabschnitt ∆t ändert sich die Koordinate des Wagens um x∆ = ⋅ ∆v t. Die gesamte Än- derung der Koordinate auf einem längeren Zeitintervall kann man als Summe

2 1

( ) ( ) ( )_i

i

x t −x t ≈

∑

v t ∆t berechnen. Jedoch ist die mit dieser Methode erhaltene Koordi- nate nicht ganz genau, weil sich die Ge- schwindigkeit während des Zeitintervalls t∆ ändert. Wenn wir die Zeit klein genug wäh- len, so ist die Summe präzise:

2 1

0

( ) ( ) lim ( )i

t i

x t x t v t t

− =∆ →

∑

∆

Den Grenzwert nennt man bestimmtes Integ- ral:

2

1

2 1

( ) ( ) ( )d

t

t

x t −x t =

∫

v t t

Die Bezeichnung des Integrals erinnert an seine Herkunft: Das Delta wird zu d, um uns daran zu erinnern, dass die Zeit so gering ist, wie möglich, und die Addition wird als eine Summe mit einem großen "S" geschrieben, das sich im Laufe der Zeit etwas ausgestreckt hat

∫

. Bestimmte Integrale berechnet man mit dem Hauptsatz der Differential- und In- tegralrechnung: Ist G t( ) eine Stammfunkti- on von ( )g t , so gilt:

( )d ( ) ( )

b

a

g t t=G b −G a

∫

^.

VI. Beschleunigung

Ändert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit:

) (t v

v= , so sprechen wir von einer beschleu- nigten Bewegung. Die Beschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

dt a= dv.

Da die Geschwindigkeit selbst eine Ableitung der Koordinate nach der Zeit ist, ist die Be- schleunigung eine Ableitung der Ableitung oder, wie man sagt, die zweite Ableitung der Koordinate nach der Zeit. Dies wird in einer der folgenden Formen geschrieben:

dt x x d dt dx dt

a d = =ɺɺ



 



=  ²₂ .

Ist die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit bekannt, so kann man alle sonstigen wichtigen kinematischen Größen sofort be- rechnen: Nach einmaliger Ableitung haben wir die Geschwindigkeit, nach der zweiten Ableitung die Beschleunigung.

VII. Kinematische Grundaufgaben.

1. a=0. Das bedeutet: a= =vɺ dv dt/ =0. Erste Integration: v=const=v_o (gleichför- mige Bewegung). Aus der Definition

/

v=dx dt erhalten wir nach der zweiten In- tegration x=v t₀ +C. Integrationskonstante erhält man mit Hilfe der Anfangsbedingung:

0 0 0

x =v t +C ⇒ ^{x= +x0 v t0}

(

^−t0

)

^.

2. a=a₀ (gleichmäßig beschleunigte Bewe- gung) ⇒ Zweifache Integration

3. a=a t( ) ⇒ Zweifache Integration

4. a=a v( ). Wir schreiben Beschleunigung als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

dv ( )

dt =a v und trennen die Variablen:

( ) dv dt

a v = . Integration

( )

dv t C a v = +

∫

^ergibt

nun einen Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit. Zur Berechnung der Koor- dinate integriert man Geschwindigkeit nach Zeit.

5. a=a x( ) Lösung durch Multiplikation mit v und Darstellung in der Form dv v=a x x( )d .

1 Ebene und räumliche Bewegung: Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, Vektoren.

Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik 1II, 1.1.4 I. Ebene Bewegung. Kartesische und Po-

larkoordinaten. Die Lage eines Massen- punktes auf einer Ebene wird durch zwei Koordinaten beschrieben. Meistens werden dafür entweder kartesische oder polare Koor- dinaten benutzt.

Kartesische Koordina- ten: (x,y)

Polarkoordinaten:

( ,r ϕ⁾

Der Zusammenhang zwischen beiden wird durch die folgenden Gleichungen gegeben:

cos sin x r

y r ϕ ϕ

=



 = Umgekehrt gilt:

( )

2 2

arctan /

r x y

ϕ y x

 = +



 = .

II. Räumliche Bewegung. Kartesische, zy- lindrische und Kugelkoordinaten.

In drei Dimensionen wird die Lage eines Massenpunktes mit drei Koordinaten gege- ben. Definition von kartesischen, zylindri- schen und Kugelkoordinaten sowie Zusam- menhänge zwischen ihnen werden mit den drei nachfolgenden Bildern illustriert.

Kartesische Koordinaten: (x,y,z)

Zylindrische Koordinaten: (ρ^,ϕ^,z) Zusammenhang mit kar-

tesischen Koordinaten:

cos x=ρ ϕ

sin y=ρ ϕ z=z

Kugelkoordinaten: ( , ,r ϕ θ ⁾ Zusammenhang mit kar- tesischen Koordinaten:

cos cos x=r θ ϕ

cos sin y=r θ ϕ

sin

z=r θ

III. Vektorielle Darstellung. Orthonor- mierte Basen.

(x,y,z) seien kartesi- sche Koordinaten des Massenpunktes P in einem rechtshändigen Koordinatensystem.

Alternativ kann die Lage des Punktes mit dem Radiusvektor r

charakterisiert werden.

Definieren wir drei Vektoren e e e _x, _y, _z , die entlang der Koordinatenachsen gerichtet sind und je die Länge Eins haben. Diese drei Ein- heitsvektoren sind zu einander orthogonal und bilden eine orthonormierte Basis.

Jeder Vektor kann in seine kartesischen Komponenten zerlegt werden:

(

^{, ,}

)

x y z x y z

r = + + =r r r xe +ye +ze ≡ x y z . Kartesische Koordinaten können als Skalarp- rodukte des Vektors mit entsprechenden Ba- sisvektoren bestimmt werden:

x= ⋅r ex, y= ⋅r e_y, z= ⋅r e_z.

In dem beschriebenen Fall einer konstanten kartesischen Basis (Einheitsvektoren der Ba- sis sind "raumfest") leitet man den Radius- vektor ab, indem man seine Komponenten ableitet:

(

^{, ,}

)

x y z x y z

rɺ = + + =rɺ rɺ rɺ xeɺ +yeɺ +zeɺ ≡ x y zɺ ɺ ɺ . Diese Gleichung kann man auch als

(

^{, ,}

)

x y z x x y y z z x y z

v = + + =v v v v e +v e +v e ≡ v v v schreiben. Eine weitere Ableitung ergibt die Beschleunigung:

( )

( )

( )

, , , ,

, ,

x y z x x y y z z x y z

x y z x y z

x y z x x y y z z x y z

a v v v v v e v e v e v v v

r r r r xe ye ze x y z

a a a a e a e a e a a a

= = + + = + + ≡ =

= + + = + + ≡ =

= + + = + + ≡

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ

IV. Polare Basis.

Die orthonormierte Basis, in die man den Vektor zerlegt, muß nicht unbedingt konstant sein: Sie kann sich als Ganzes (als orthonor- miertes Dreibein) bewegen; dabei ändern sich die Richtungen der Basisvektoren; beide Vektoren bleiben aber orthogonal zu einander und ihre Länge bleibt Eins.

Im Weiteren untersuchen wir ebene Bewe- gung näher. Zur Beschreibung ebener Bewe- gung wird in der Mechanik sehr oft die soge-

2 nannte "polare Basis" benutzt.

Als Basis führt man zwei Ein- heitsvektoren:

er

in Richtung des Radius- Vektors eines Massenpunktes und e_ϕ

senkrecht zu e_r

(s. Bild). Selbstver- ständlich bewegt sich die polare Basis zu- sammen mit dem Radiusvektor. Der Radius- vektor kann in der polaren Basis besonders einfach dargestellt werden: r=re_r

. Bei der zeitlichen Ableitung muß man aber beachten, dass sich auch die Basisvektoren mit der Zeit ändern:

( ) ( ) ( )_r r t =r t e t

.

Beim Ableiten muss man die Regel zum Ab- leiten von Produkten benutzen:

( ) ( ) ( )_r ( ) ( )_r

r tɺ =r t e tɺ +r t e tɺ . (1) Um weiter zu verfahren brauchen wir zeitli- che Ableitung von Basisvektoren. Diese wird mit der nachstehenden Skizze illustriert.

der

zeigt in Richtung e_ϕ

und hat die Länge 1 d⋅ ϕ=dϕ. Daher: de_r =d eϕ_ϕ

. de_ϕ

zeigt in Richtung −e_r

und hat die Länge 1 d⋅ ϕ=dϕ. Daher: de_ϕ = −d eϕ_r

.

Indem wir diese Gleichungen durch dt divi- dieren und erkennen, dass d

dtϕ ϕ= ɺ, erhalten wir

eɺr =ϕɺe_ϕ , eɺ_ϕ = −ϕɺe_r.

Für die zeitliche Ableitung des Radiusvektors (Gleichung (1)) ergibt sich somit

( ) ( ) ( )_r ( ) v=r tɺ =r t e tɺ +r t ϕɺe_ϕ.

Eine weitere Ableitung liefert den Bescheu- nigungsvektor:

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r r

r r

a v

r t e r t e r t e r t e r t e r t e r t e r t e r t e r t e

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

= =

+ + + + =

+ + + −

ɺ

ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺ

(

^{( ) ( ) 2}

)

^r

⁽

^{2 ( ) ( )}

⁾

zirkulareKomponente radialeKomponente

a= r t −r t ϕ e + r t ϕ+r tϕ e_ϕ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺ

(2) Die zeitliche Ableitung des polaren Winkels ϕ ωɺ≡ nennt man Winkelgeschwindigkeit.

Sonderfall: Bewegung auf einer Kreisbahn Bewegt sich ein Massenpunkt auf einem Kreis mit dem Radius r , so gilt rɺ=0, rɺɺ=0. Die Gleichung (1) nimmt die Form

( )

v =r tɺ =r eϕɺ_ϕ an. Die Geschwindigkeit ist immer senkrecht zum Radius (und tangential zum Kreis gerichtet) und betragsmäßig gleich

v=rϕɺ=rω.

Die Gleichung (2) nimmt die Form

2 _r( ) ( )

a= −rϕ e t +r e tϕ_ϕ

ɺ ɺɺ an. Die Beschleuni- gung hat die Komponente in Tangentialrich- tung a_ϕ =rωɺ und die Komponente in radialer Richtung

2

2 2

r

a r r v

ϕ ω r

= − ɺ = − = −

Sie ist nach innen - zum Zentrum hin - ge- richtet und heißt daher Zentripetalbeschleu- nigung.

Sonderfall: Zentralbewegung Bei der Zentral-

bewegung ist der Beschleunigungs- vektor stets auf einen Punkt, das Zentrum Z, hin gerichtet. Dies trifft zum Beispiel für die Bewegung der Planeten zu.

Bei einer Zentralbewegung verschwindet die zirkulare Komponente der Beschleunigung, wenn wir den Koordinatenursprung in das Zentrum legen:

( )

²

2 ( ) ( ) 1 d 0

a r t r t d r

ϕ = ɺ ω+ ωɺ =r t ω = ⇒

r2ω=const

Nach dem Bild überstreicht der Fahrstrahl r in der Zeit dt die Fläche dA=¹₂rrdϕ. Die Flächengeschwindigkeit d / dA t=¹₂rrω bleibt daher konstant (das 2. Keplersche Gesetz).

1 Newtonsche Gesetze der Dynamik. Bestimmung der Kraft bei vorgegebener Bewegung, Bestimmung der Bewegung bei vorgegebener Kraft. Schiefer Wurf.

Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik 1II, 1.2.1.-1.2.2.

I. Newtonsche Gesetze (Newton, 1687).

1. Newtonsches Gesetz: Wirkt auf einen Körper keine Kraft, so führt er eine geradli- nige, gleichförmige Bewegung aus:

v=const

. (Auch als Trägheitsgesetz be- kannt: Galilei, 1638).

2. Newtonsches Gesetz: ma=F

oder d

d

m v F

t =

: Masse mal Beschleunigung gleich Kraft. Dieses Gesetz gilt nur für ein Inertial- system.

3. Newtonsches Gesetz: Kräfte, die zwei wechselwirkende Körper aufeinander ausü- ben, sind gleich groß, entgegengerichtet und haben eine gemeinsame Wirkungslinie.

Varianten der Schreibweise des 2.N.G.

ma=F

oder d d

m v F

t =

oder

2 2

d d

m r F

t =

oder mvɺ=F _oder mrɺɺ=F Schreibweise in Komponenten:

x x

y y

z z

ma F

ma F

ma F

 =

 =

 =



oder

x x

y y

z z

mv F

mv F

mv F

 =

 =

 =

 ɺ ɺ ɺ

oder

x y z

mx F my F mz F

 =

 =

 =

 ɺɺ ɺɺ ɺɺ

. Einheit der Kraft ist

2

kg m N

s⋅ ≡ (1 Newton).

Bemerkung zum Sprachgebrauch:

Geschrieben in der Form mrɺɺ=F , stellt das 2. N.G. eine Differentialgleichung bezüglich

( ) r t

dar, die als Bewegungsgleichung be- zeichnet wird (Engl.: "equation of motion").

Den Radiusvektor als Funktion der Zeit ( )r t nennt man in diesem Zusammenhang Bewe- gungsgesetz.

II. Bestimmung der Kraft bei vorgegebe- ner Bewegung ist die einfachste Aufgabe der Dynamik. Ist das Bewegungsgesetz ( )r t

be- kannt, so berechnet sich die Kraft nach dem 2. N.G. durch zweifaches Differenzieren.

Beispiel 1. Ein Körper (Masse m) führt eine eindimensionale Bewegung nach dem Gesetz

( ) sin

x t =a ωt (a und ω sind Konstanten).

Zu bestimmen ist die auf ihn wirkende Kraft.

Lösung: Die erste Ableitung der Koordinate

nach der Zeit liefert xɺ=aωcosωt, nochma- liges Differenzieren ergibt ɺɺx= −aω²sinωt. Die Kraft ist nach dem 2.N.G. gleich

2sin F =mxɺɺ= −maω ωt. Beispiel 2. Kurvenfahrt.

Ein Auto (Masse 1000kg

m= ) durchfährt eine Kurve (Radius

100

R= m) mit der Ge- schwindigkeit v=30m/s (108 km/h). Wie groß ist

die Kraft, die auf es wirkt, wie ist sie gerich- tet, was ist das für eine Kraft?

Lösung: Bei einer Bewegung auf einer Kreis- bahn mit einer betragsmäßig konstanten Ge- schwindigkeit ist die Beschleunigung zum Zentrum des Kreises gerichtet und ist gleich

2/

ar = −v R. Nach dem 2. N.G. hat auch die Kraft nur die radiale Komponente:

2

r r

F ma mv

= = − R .

2 2 2 2

3 3 3

2 2

30 /

10 9 10 9 10

r 10

v m s kg m

F m kg N

R m s

= = = ⋅ ⋅ = ⋅

Das ist die Reibungskraft zwischen der Straße und den Reifen.

III. Bestimmung der Bewegung bei vorge- gebener Kraft.

Ist die Kraft, die auf einen Körper wirkt, be- kannt (oder ist das "Kraftgesetz" bekannt), so kann man die Bewegung bestimmen, indem man die Differentialgleichung mrɺɺ=F _löst.

Zur eindeutigen Bestimmung des Bewe- gungsgesetzes r t( )

müssen die Anfangsbe- dingungen - die Lage und die Geschwindig- keit zu einem Zeitpunkt bekannt sein.

Beispiel 3. Zu bestimmen ist die eindimen- sionale Bewegung unter der Einwirkung einer konstanten Kraft. Zum Zeitpunkt t=0 be- fand sich der Körper im Punkt x und hatte ₀ die Geschwindigkeit v . ₀

Lösung: Das 2.N.G. lautet d d

m v F

t = . Indem wir beide Seiten mit dt multiplizieren

d d

m v=F t und unbestimmt integrie-

ren

∫

m vd =

∫

F td +C₁ ^{⇒ mv=Ft+C1 erhal-}

2 ten wir die Geschwindigkeit. Das Ergebnis

schreiben wir in der folgenden Form:

1

d d

m x Ft C

t = + . Multiplikation mit dt :

(

¹

)

d d

m x= Ft+C t und zweite unbestimmte Integration liefern

∫

^{m xd =}

∫ (

^Ft+C1

)

^dt+C2

⇒ mx=¹₂Ft²+C t₁ +C₂. Die noch unbe- kannten Integrationskonstanten C und ₁ C ₂ bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen:

0 2

mx =C , mv₀ =C₁.

Daraus folgt mx=¹₂Ft²+mv t₀ +mx₀ oder

1 2

0 0 2

F

x= +x v t+ mt . Für die Geschwindigkeit ergibt sich

0 F

v= +v mt.

Bemerkung: Diese Lösungsmethode funktio- niert auch bei einer beliebigen, explizit vor- gegebenen Kraft F t( ) als Funktion der Zeit.

Die Beschleunigung ist dann auch eine gege- bene Funktion der Zeit. Durch die erste Integ- ration gewinnt man die Geschwindigkeit, durch die zweite die Koordinate. Die beiden Integrationskonstanten bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen.

Beispiel 4. Bremsweg bei Vollbremsung Zu bestimmen ist der Bremsweg eines Autos mit der Anfangs-

geschwindigkeit v bei Vollbrem-0

sung. Der Rei-

bungskoeffizient sei µ=1. Lösung: Die auf das

Auto wirkenden Kräfte werden durch den Freischnitt sich- tbar gemacht.

2. N.G. lautet:

1 2 0

myɺɺ= −mg+N +N = , mxɺɺ= − −R₁ R₂. Aus der ersten Gleichung folgt N₁+N₂ =mg Die Reibungskräfte bei Vollbremsung erhal- ten wir nach dem Gesetz "Normalkraft×Rei- bungskoeffizient": R₁=µN₁, R₂ =µN₂. Daraus folgt ^{R1+R2 =µ}

(

^N1+N2

)

^=µmg

und für die x-Komponente des 2.N.G.

mxɺɺ= −µmg. Das ist eine Bewegung unter Wirkung einer konstanten Kraft, daher gilt

v= −v0 µgt

2 2

1 1

0 0 2 _m^F 0 0 2

x= +x v t+ t = +v t− µgt

Aus der ersten Gleichung berechnet sich die Zeit bis zum Stillstand: v= −v₀ µgt=0 ⇒

0/

t=v µg. Einsetzen in die zweite Glei- chung liefert den Weg bis zum Stillstand:

2 2 2

0 1 0 1 0

2 2

Brems

v v v

x ⁼ µg ⁻ µg ⁼ µg^. Für v₀ =30 /m s (108 km/h) ist

2 2 2 2

1 0

2 2

30 / 2 1 10 / 45

Brems

v m s

x m

g m s

= µ ≈ =

⋅ ⋅

Für v₀ =15 /m s (54 km/h) ist x_Brems ≈11m. Für v₀ =8, 5 /m s (ca. 30 km/h) x_Brems ≈3, 5m. Beispiel 5. Schiefer Wurf

Ein Körper mit der Masse m wird zur Zeit 0

t= unter einem Winkel α ^{zur x-} Achse mit einer Geschwindigkeit

v0 abgeworfen.

Wenn der Luftwiderstand vernachlässigbar ist, wirkt als einzige Kraft das Gewicht G in negativer z-Richtung. Das 2. N.G. in kartesi- schen Koordinaten lautet

0

mxɺɺ= , mzɺɺ= − = −G mg.

Zweifache Integration führt nach Kürzen von m auf

xɺ=C1, zɺ= − +gt C₃

1 2

x=C t+C ,

2

3 4

2

z= −gt +C t+C . Die Anfangsbedingungen:

1 0

(0) cos

xɺ =C =v α zɺ(0)=C₃=v₀sinα

(0) 2 0

x =C = , z(0)=C₄ =0. Einsetzen liefert

0cos

xɺ=v α , zɺ= − +gt v₀sinα ,

0cos x=v α⋅t,

2

0sin 2

z= −gt +v α⋅t. Durch Elimination der Zeit t:t=x v/ ₀cosα erhält man die Bahngleichung

2

2 2

0

2 cos tan

z gx x

v α

= − α + ⋅

Der Körper bewegt sich auf einer Parabel.

Die Wurfweite x_w folgt aus der Bedingung ( _w) 0

z x = :

2 0 sin 2

w

x v

g α

= .

Die größte Wurfweite ergibt sich für α π= / 4, und sie beträgt x_w,max =v₀²/g. Die Wurfhöhe ist gleich z_h =(v₀sin ) / 2α ² g.

1 Kräfte: Schwerkraft, Reaktionskräfte, Widerstandskräfte, Federkraft, Auftriebskraft, Scheinkräfte. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.2.3, 1.2.4.

I. Gravitationskraft: Jedes Objekt zieht je- des andere Objekt mit einer

Kraft an, welche proportional zu beiden Massen und um- gekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung zwi- schen ihnen ist. Die Kraft ist entlang der Verbindungslinie zwischen beiden Körpern gerichtet.

1 2

2

m m F G

r

 

Gravitationskonstante: G6, 67 10 ^11 m³₂ kg s II. Widerstandskraft (turbulent)

Ein fahrendes Au- to oder ein Flug- zeug erfahren eine Widerstandskraft,

die annähernd mit der folgenden Gleichung wiedergegeben wird:

1 2

w 2 w

F  c Av .

Dabei ist A die Projektionsfläche des Körpers auf eine Ebene senkrecht zur Anströmrich- tung,  ist die Dichte des Mediums (z.B.

Luft), v ist die Anströmgeschwindigkeit (bzw. Fahrgeschwindigkeit) und der Wider- standsbeiwert c_werfasst alle weiteren Para- meter. Er liegt z.B. bei modernen Pkw zwi- schen 0.3 und 0.4. Das Kraftgesetz ist nur gültig bei schnellen Bewegungen, bei denen sich eine turbulente Strömung bildet.

III. Widerstandskraft (Laminar)

Bewegt sich der Körper in einer Flüssigkeit oder einem Gas so langsam, dass sich keine Wirbel bilden (laminare Umströmung), so ist die Widerstandskraft, wie das bereits Newton herausgefunden hat, proportional zur Ge- schwindigkeit:

Fw  v.

Die Konstante  hängt von der Geometrie des umströmten Körpers und von der Zähig- keit des Mediums ab, diesmal aber nicht von seiner Dichte. Das Minus-Vorzeichen zeigt, dass die Kraft entgegengesetzt zur Ge- schwindigkeit gerichtet ist. Für eine Kugel gilt z.B.:

w 6

F   rv.

(1854 Stokes); r ist hier Radius der Kugel,

 - Viskosität des Mediums. (Z.B. für Was- ser bei 20°C ist  10^3Pa s , für die Luft bei 20°C  1,8 10 ^5Pa s ).

IV. Haftreibung und Gleitreibung

Durch ausführliche experimentelle Untersu- chungen hat Coulomb (1736-1806) festges- tellt, dass die Reibungskraft R zwischen zwei Körpern, die

mit der Normalkraft N an einan- der gedrückt

sind, in erster, grober Näherung folgende einfache Eigenschaften hat:

A. Die Haftreibung (auch statische Rei- bungskraft) R_s, die zu überwinden ist, um den Körper in Bewegung zu setzen, ist pro- portional zur Anpresskraft N:

s s

R  N.

Der Koeffizient _s heißt statischer Rei- bungskoeffizient. Er hängt von der Material- paarung ab, weist aber dagegen fast keine Abhängigkeit von der Kontaktfläche und Rauigkeit der Oberflächen auf.

B. Die Gleitreibung (auch kinetische Rei- bungskraft) R_k ist die Widerstandskraft, die nach dem Überwinden der Haftung wirkt.

- Gleitreibung ist proportional zur Anpress- kraft N

k k

R  N

- Die Gleitreibung hängt nicht (bzw. nur sehr schwach) von der Gleitgeschwindigkeit ab.

V. Elastische Kraft Alle Körper in der Welt sind mehr oder weniger deformierbar. Bei Fe- dern ist ihre Elastizität

besonders ausgeprägt und wird technisch genutzt. Verschiebt man einen mit einer Fe- der gekoppelten Körper um x aus seiner Gleichgewichtsposition, so wirkt die Feder auf ihn mit der Kraft

Fel  cx.

Dabei ist c die Steifigkeit der Feder.

2 VI. Auftriebskraft

(a) Bewegt sich ein nicht symmetrischer Körper in einer Flüssigkeit oder Luft, so ist die auf ihn vom

Medium wirkende Kraft im Allgemei- nen nicht entgegen- gesetzt zur Ge- schwindigkeit ge-

richtet. Die entgegengesetzte Komponente der Kraft nennt man Widerstandskraft (s.

oben). Die zur Bewegung senkrecht gerichte- te Komponente heißt Auftriebskraft. Beide sind bei turbulenten Umströmungen ungefähr proportional zum Quadrat der Geschwindig- keit.

Für dünne stromli- nienförmige Körper (wie ein Flügel) gilt

2

FA v S

wobei S die Fläche des Flügels ist und  der sogenannte Anstellwinkel.

(b) Darüber hinaus gibt es auch bei sehr lang- samen Bewegungen die entgegen der Schwe- rekraft gerichtete archimedische Auftriebs- kraft, die gleich dem Gewicht der verdräng- ten Flüssigkeit ist.

VII. Elektrische, magnetische Kräfte Auf einen geladenen Körper im elektrischen Feld mit der Feldstärke E

wirkt die Kraft FqE

, q ist die elektrische Ladung.

Auf einen geladenen Körper im magnetischen Feld mit der Induktion B

wirkt die Kraft Fqv B 

; sie ist stets senkrecht zur Ge- schwindigkeit gerichtet.

VIII. Reaktionskräfte (auch Führungs- kräfte, Zwangskräfte) Wenn ein Massenpunkt gezwungen ist, sich auf einer vorgegebenen Fläche oder Kurve zu bewegen, so spricht man von einer geführten oder gebundenen

Bewegung. In die- sem Fall treten die sogenannten Reakti- onskräfte auf, wel-

che gerade die geforderte Bindung an eine Fläche oder Kurve bewirken. Für den Betrag der Reaktionskraft kann man kein spezielles Kraftgesetz angeben. Sie zeigt aber immer in die Richtung, in der die Bewegung verhindert wird.

IX. Scheinkräfte

Das 2. Newtonsche Gesetz gilt nur in Iner- tialsystemen. Manchmal ist es bequemer, eine Bewegung relativ zu einem sich beschleunigt bewegenden oder rotierenden Bezugssystem zu betrachten (die Erde ist z.B. auch kein ideales Inertialsystem). Man kann zeigen, dass man auch in einem beschleunigten Sys- tem die Newtonschen Gesetze in gewöhnli- cher Form anwenden kann, wenn man zusätz- liche, sogenannte Scheinkräfe einführt.

(a) In einem Bezugs- system, das sich rela- tiv zu einem Inertial- system mit der Be- schleunigung A

be- wegt, muss die Scheinkraft

transl

F  mA eingeführt werden.

(b) In einem mit einer Winkelgeschwindig- keit ^ rotierendem Bezugssystem müs- sen zwei Scheinkräfte eingeführt werden (diese Kraftgesetze

werden im Kurs Mechanik III hergeleitet):

Zentrifugalkraft F_zentrif mr² wirkt radial von der Rotationsachse (r ist der Abstand zur Achse).

Coriolis-Kraft F_C 2mv . Beispiel. Satellitenbewegung.

Mit welcher Geschwin- digkeit umläuft die Erde ein erdnaher Satellit? Der Radius der Bahn sei

6, 4 103

R  km.

Lösung. Die einzige Kraft, die auf den Satel- liten wirkt, ist die Anziehungskraft der Erde (Schwerekraft). Sie ist immer zum Zentrum der Erde gerichtet und in der Nähe der Erd- oberfläche gleich F_r mg. Bewegt sich der Satellit auf einer Kreisbahn, so ist seine Be- schleunigung ebenfalls zum Zentrum gerich- tet und gleich a_r v₀²/R. Nach dem 2.N.G.

gilt mv₀²/Rmg. Daraus folgt

2

6 3

0 6, 4 10 9,8_s^m 8 10 /

v  Rg   m   m s

1 Das 2. Newtonsche Gesetz: Anwendungsbeispiele.

Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.1.3, 1.2.4 Beispiel 1. Geostationäre Satelliten

Verläuft die Bewegung eines Satelliten in der Äquatorebene der Erde und ist die Umlaufzeit gleich einem Tag, so "hängt"

der Satellit immer über dem gleichen Punkt der Erde. Die einzige auf ihn wirkende Kraft

ist die zum Zentrum gerichtete Gravitations- kraft _r Mm₂

F G

= r . Bei einer Bewegung auf dem Kreis ist Beschleunigung ebenfalls zum Zentrum gerichtet und gleich a_r =rω^{2, wo-} bei ω=2 / Tπ die Winkelgeschwindigkeit ist (T=1 Tag ist die Umdrehungsperiode). Das 2.N.G. besagt, dass

2 2

2

2

GMm mr mr

r T

ω ^ π ^

= =  

  ⇒

( )

1/ 3 2

2 2

r GMT π

 

= 

 

 

(1) Die Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche ist gleich g=GM R/ ² mit R=6380 10⋅ ³m als Erdradius. Daraus folgt GM =gR². Ein- setzen in (1) liefert

( ) ( ) ^{( )}

( )

1/ 3 6 2 2 1/ 3

2 2

2 2

9,8 6, 38 10 24 3600

2 2

r gR T

π π

 

   ⋅ ⋅ ⋅ 

=  ≈

   

   

42000km

≈ . Das Entspricht einer Höhe über der Erdoberfläche von ca. 35620km .

Beispiel 2. Vertikaler Start einer Rakete Zu berechnen ist die Fluchtgeschwindigkeit bei einem vertikalen Start einer Rakete (Luft- widerstand ist zu vernachlässigen).

Lösung: Es liegt eine eindimensionale Bewe- gung vor. Das 2.N.G. für die radiale Bewe- gung lautet GM₂

r = − r

ɺɺ . Die Beschleunigung ist hier eine Funktion der Koordinate. Man löst diese Differentialgleichung durch Multip- lizieren beider Seiten mit der Geschwindigkeit

d

r d v r

= t und Berücksichtigung, dass

r r

dv dv dv dr

x a v

dt dr dt dr

= = = ⋅ = ⋅

ɺɺ .

Die Bewegungsgleichung nimmt die Form

2 r

r

dv GM

dr ⋅ = −v r an.

Multiplizieren mit dr ergibt

r r 2

v dv GM dr

= − r .

Eine bestimmte Integration führt auf

( )

2 2 0 1 1

2 2

r vr

v GM

R r

 

− = − + 

 

Die gesuchte Geschwindigkeit ist eine solche, bei der v→0 wenn r→ ∞

( )

^{0 2 2 11, 2 /}

r

v GM gR km s

= R = ≈ .

Beispiel 3. Maximale Geschwindigkeit eines Autos.

In der vertikalen Richtung gibt es keine Be- wegung. Unter Vernach-

lässigung der Auftriebs- kraft gilt daher: N =mg. Da sich das Auto mit ei-

ner konstanten Geschwindigkeit bewegen soll, lautet die horizontale Komponente des 2.N.G.:

0 _w

m⋅ = − +F R, wobei R=µmg die maxima- le erreichbare Reibungskraft zwischen den Rädern und der Straße ist und F_w = ¹₂c_wρAv² die (turbulente) Widerstandskraft. Aus

1 2 2 w

mg c Av

µ = ρ folgt 2

w

v mg

c A µ

= ρ .

Mit den charakteristischen Werten: c_w =0, 4, 2, 5 2

A= m , ρ =1, 2kg m/ ³, m=1600kg, µ=0.8 erhalten wir v≈146 /m s≈525km h/ . Beispiel 4. Freier Fall in einer viskosen Flüssigkeit

Zu bestimmen ist das Bewe- gungsgesetz einer in einer Flüs- sigkeit frei fallenden Kugel mit den Anfangsbedingungen:

( )

^{0 0}

y = ,^vy

( )

^{0 =0.}

Lösung. Das 2. N. G. lautet:

y

y

mdv mg v

dt = − −α . Multiplikation mit dt ergibt dv_y g v_y dt

m α

 

= − + 

  . Nach Trennung

der Variablen und bestimmter Integration er- halten wir

0 0

vy t

y

y

dv dt t

g v

m

α ^{= − = −}

∫

+

∫

^⇒

2 ln _y 0^vy

m g v t

m α α

 +  = −

 

  ⇒

ln 1 _y

m v t

mg α α

 

+ = −

 

  ⇒ 1

t m y

v mg e

α

α

 − 

=  − 

 

Für sehr große Zeit t erreicht die Geschwin- digkeit den Grenzwert mg

− α . Das Minus- Zeichen zeigt, dass sich die Kugel in die nega- tive y-Richtung bewegt.

Zur Bestimmung der Koordinate schreiben wir die Geschwindigkeit als zeitliche Ablei-

tung 1

t

dy mg m

dt e

α

α

 − 

=  − 

 , multiplizieren diese Gleichung mit dt und integrieren bestimmt

0 0

1

y t t

mg m

dy e dt

α

α

 − 

=  − 

 

∫ ∫

^.

Ergebnis:

2

2 1 ^m

mg m

y t g e t

α

α α

 − 

= − +  − 

 

Beispiel 5. Ein Feder-Masse-System Zu bestimmen ist das

Bewegungsgesetz einer mit einer Feder gekoppelten Masse.

Die Anfangsbedingungen: für t=0 lauten (0) 0

v = ; x(0)=x₀.

Lösung: Wir betrachten nur die Bewegung in horizontaler Richtung und vernachlässigen Reibung in dieser Richtung. Die einzige Kraft, die unter diesen Voraussetzungen auf den aus der Ruhelage ausgelenkten Körper wirkt, ist die Federkraft F = −kx. Das 2.N.G. sieht wie folgt aus: ma= −kx ⇒ ^{a= −}

(

^{k m x/}

)

^{. Mit}

der Bezeichnung k m/ =ω² schreiben wir es in der Form a= −ω²x oder dv ²

dt = −ω x. Mit der Identität ^{dv dv dx dv}v

dt = dx dt⋅ = dx ergibt sich dv 2

v x

dx⋅ = −ω . Multiplikation mit dx und be- stimmte Integration ergibt

0

2 0

v x

x

vdv= − ω xdx

∫ ∫

^{⇒ v}₂^{2 − =0 ω2x}₂^{02 −x}₂^2

 

Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit als Funktion der Koordinate:v=ω x₀²−x² . Wir schreiben nun die Geschwindigkeit als zeitli- che Ableitung der Koordinate:

2 2

0

dx x x

dt =ω − , trennen die Variablen und integrieren bestimmt:

0

2 2

0 0

x t

x

dx dt t

x x = ω =ω

∫

−

∫

^.

Mit der Substitution

( ) ( 0)

0

sin /

0 sin 1

2 2

0 0 0

sin

cos cos

x arc x x

x arc

x x z x z

dx x z dz x x x z

= →

= ⋅ − =

erhalten wir

( )

( )

( )

( )

0

0

0

sin /

sin / 0

sin 1

2 2

sin 1 0 0

0

cos cos arcsin( / ) / 2

arc x x x

arc x x arc

x arc

x z dz

dx z

x z

x x

x x π ωt

= ⋅ =

−

− =

∫ ∫

Daraus folgt

( )

0sin / 2

x=x ω πt+

( )

( )

⁰

0

0 0 2 / 0 1

/ :

/ 1 / |

x

x x x

x x z d x x

x x z

=

 

= =

 

∫

− ⁰

/

2

1 1

x x dz

z =

∫

−

/ 0

1

0

arcsin1 arcsin | arcsin

/ 2

x x x

z t

x ω

= = − π =

Umkehren dieser Funktion ergibt

( )

0sin 2 0cos

x=x ω πt+ =x ωt

Beispiel 6. Scheinkräfte.

A. Wann kippt ein Auto um?

Gleichgewicht der Kraftmomente be- züglich des rechten

Rades (im rotierenden Bezugssystem!!):

(

^2/

)

m v R h=mgd ⇒ v= Rgd h/ . B.Neigung eines

Motorradfahrers

C. Zentrifuge. Durchmesser = 45 cm,1400 Umdrehungen pro Minute. Zu bestimmen ist die effektive Fallbeschleunigung in dem mit der Zentrifuge verbundenen Bezugssystem.

Impuls, Kraftstoß, Schwerpunktsatz, Impulserhaltung, Stoß

Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.2.5, 2.2, 2.5 I. Impuls. Die vektorielle Größe pmv

heißt Impuls des Körpers. Der Gesamtimpuls eines Mehrkörpersystems berechnet sich als Summe der Impulse seiner Bestandteile:

p^



m vi i^{ .}

II. Impulssatz.

Geschrieben in der Form d d

p F

t 

 

trägt das 2. Newtonsche Gesetz den Namen Impulssatz.

III. Kraftstoß. Durch Multiplizieren mit dt und Integration kann der Impulssatz in der folgenden Integralform dargestellt werden:

2 2

1 1

( )

( )

d ( )d

p t t

p t t

p F t t

 





   ²

1

2 1

( ) ( ) ( )d

t

t

p t p t 



F t^ t

 

Die Änderung des Impulses ist somit gleich der Größe

2

1

( )d

t

t

F^ 



F t^ t, die Kraftstoß heißt.

IV. Abgeschlossenes System.

Ein Mehrkörpersystem heißt abgeschlossen, wenn die zu ihm gehörigen Körper nur mitei- nander wechselwirken.

V. Impulserhaltungssatz

Betrachten wir ein abgeschlossenes System bestehend aus

zwei Körpern.

Diese Körper wechselwirken nur mit einander.

Die Wechselwirkungskräfte genügen dem 3.

Newtonschen Gesetz (actio=reactio). Das 2.

Newtonsche Gesetz für jeden Körper kann demnach wie folgt geschrieben werden:

1 1

m dv F dt 

 

₂ dv²

m F

dt  

 

. Summieren beider Gleichungen ergibt

1 2

1dv 2 dv 0

m m

dt  dt 

oder d



1 1 2 2



0 m v m v dt     In der Klammer steht der Gesamtimpuls des Systems: dp 0

dt 

. Daraus folgt:

1 1 2 2

pm v m v  const

Der Impuls eines abgeschlossenen Systems bleibt erhalten (Impulserhaltungssatz).

Dieser Satz gilt für ein abgeschlossenes Sys- tem bestehend aus beliebiger Zahl von Kör- pern.

VI. Innere und äußere Kräfte

Die Kräfte, mit denen die Körper, die zu einem System gehören, mit einander wechselwirken, nennen wir innere Kräfte.

Die Kräfte, mit denen die Körper des Systems mit den Körpern außerhalb des Systems wech- selwirken, nennen wir äußere Kräfte.

Diese Definitionen sind systemabhängig. So ist z.B. die Wechselwirkungskraft zwischen der Sonne und der Erde eine innere Kraft, wenn wir die Sonne und die Erde als ein Sys- tem betrachten. Betrachten wir dagegen nur die Erde als "System", so ist das eine äußere Kraft.

VII. Impulssatz für ein Mehrkörpersystem Betrachten wir jetzt ein nicht abgeschlossenes (offenes)

System, d.h.

ein System, dessen Kör- per auch mit Körpern

außerhalb des Systems wechselwirken.

F

und F

sind hier innere Kräfte. F₁

und F₂ sind äußere Kräfte. Das 2. Newtonsche Gesetz für die beiden Körper lautet:

1

1

dp F F

dt   

; dp² ₂

F F dt    

. Addition dieser Gleichungen ergibt

1 2 ext

dp F F F

dt       Fext

ist die Summe aller äußeren Kräfte.

Impulssatz:

Die zeitliche Ableitung des Impulses eines Systems ist gleich der Summe aller äußeren Kräfte, die auf dieses System wirken.

Teilerhaltung des Impulses:

Ist die Projektion der resultierenden äußeren Kraft auf die x-Achse Null, so bleibt die x- Projektion des Impulses erhalten.