Ein Stab gleitet von einer Stufe (Höhe h) ab. Wo liegt das Momentanzentrum?

: Der Vektor

e_ϕ

ist entge-gengesetzt zu

vA

gerichtet.

Das bedeutet, dass der Vektor e_r

, der immer senkrecht zu e_ϕ

steht, senkrecht zur Richtung von v_A

steht. In der Projektion auf die Rich-tung v_A lautet die Gleichung (1): v_A =rω. Daraus r=v_A/ω.

Bemerkung 1. Der Momentanpol kann auch außerhalb des starren Körpers liegen.

Bemerkung 2. Der Momentanpol ist ein Punkt, der sich zum gegebenen Zeitpunkt nicht be-wegt. Die Lage des Momantanpols kann sich aber ändern. Das bedeutet, dass sich der Kör-per im nächsten Zeitpunkt um eine etwas ver-schobene Achse dreht usw. Die Gesamtheit aller momentanen Drehzentren nennt man Rastpolbahn.

V. Wie findet man den Momentanpol?

1. Sind die Richtungen der Geschwindigkeiten von zwei Punkten eines starren Körpers gegeben (Bild (a)), so liegt der Momentanpol auf dem Schnitt der

Senk-rechten zu den jeweiligen Geschwindigkeiten.

2. Sind die Geschwindigkeiten von zwei Punkten parallel zu einander (Bild (b)), so liegt das Momentanzentrum auf dem Schnittpunkt der Senk-rechten zu den beiden

Ge-schwindigkeiten mit der Verbindungsgeraden der Pfeilspitzen beider Geschwindigkeiten.

3. Rollt ein Körper auf einer unbeweglichen Fläche ohne Gleiten, so befindet sich der Mo-mentanpol im Kontaktpunkt. (Bei reinem

Rol-len eines Rades kann man sich vorstelRol-len, dass die starre Unterlage und das Rad miteinander verzahnt sind. Der Kontaktpunkt kann sich somit relativ zur Unterlage nicht bewegen).

Beispiel 1. Eine Leiter ist gegen eine Wand gestützt und gerät ins Rutschen. Wo liegt der Momentanpol?

Lösung: Die Geschwin-digkeiten des oberen und des unteren Endes der Leiter sind entlang der Wand bzw. dem Boden gerichtet. Der Momen-tanpol liegt auf dem Schnitt der Senkrechten zu den Geschwindigkeiten.

Beispiel 2. Ein Stab gleitet von einer Stufe (Höhe h) ab. Wo liegt das Momentanzentrum?

Lösung: Im Punkt A gleitet der Stab ent-lang dem Boden, im Punkt C in seiner ei-genen Längsrichtung.

Offenbar ist

/ /

a x=x h. Daraus folgt a=x²/h und

2/ y= +h x h. Beispiel 3. An einer Achse (A) ist

unbeweg-lich ein Zylinder mit dem Radius a befestigt. Um die gleiche Achse dreht sich eine Stange AB mit der Winkelgeschwin-digkeit ω₁^{. Am} anderen Ende der Stange ist frei drehbar ein Rad mit dem Radius b angebracht, das an dem unbeweglichen Zylinder ohne Rutschen rollt.

Zu bestimmen ist die Winkelgeschwindigkeit ω2 des Rades.

Lösung: Punkt A ist der Momentanpol der Stange. Für die Geschwindigkeit des Punktes B ergibt sich somit ^{vB =ω1}

(

^{a b+ )}

)

^{. Der}

Kon-taktpunkt des Rades mit dem Zylinder ist der Momentanpol des Rades. Daher v_B =ω₂b. Aus dem Vergleich beider Ausdrücke folgt:

( )

2 1 a b /b

ω ω= + ^.

Weitere Beispiele s. Hauger, Schnell, Gross, Technische Mechanik 3 (Beispiele 3.3, 3.4).

Verschiedenes aus der Dynamik Wiederholung und Klausurvorbereitung

B1. Ein Mensch (Masse m) geht vom Bug eines (am Anfang ruhenden) Bootes (Länge L) zum Heck über. Wie verschiebt sich das Boot unter den folgenden Annahmen:

(a) Es gibt keine Reibung zwischen dem Boot und Wasser, (b) Es gibt eine Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit?

Lösung (a): keine Reibung.

Die Länge des Bootes ist L x₁ x₂.

Verschiebung des Schwerpunktes:

1 2

(Null nach dem Schwerpunktsatz). Aus dem Gleichungssystem folgt ₂ m

x L

M m

   . Lösung (b): Mit Widerstandskraft

Das 2. N.G. für den Menschen und das Boot:

Aus den Anfangsbedingungen folgt C0. Somit x₂  mx₁Mx₂.

Am Ende des Prozesses sind x₁ 0, x₂ 0. Somit ist x₂ 0: Das Boot ist am Ende in der-selben Lage wie am Anfang!

B2. Drei Massen sind durch masselose starre Stäbe verbunden und gleiten eine schiefe Ebene

hinab. An der Masse m3 greift eine Kraft F an.

Wie groß ist die Be-schleunigung des Sys-tems?

Lösung: In den meis-ten Fällen empfiehlt sich als erstes eine Freischnittskizze zu machen und mit den aufgetragenen Kräften das 2. N.G. für jeden

Körper aufzustellen. In der y-Richtung gibt es keine Bewegung. Das 2.NG. für diese Richtung führt zu den Gleichgewichtsbedingungen

1 1 cos

N m g , N₂m g₂ cos, N₃ m g₃ cos Für die Reibungskräfte ergibt sich aus dem Reibungsgesetz: R₁₁m g₁ cos,

2 2 2 cos

R  m g , R₃ ₃m g₃ cos.

Bezeichnen wir die Beschleunigung der Körper in der x-Richtung durch a, so lautet das 2.NG.

in dieser Richtung

1 1 sin 1 1 cos 1 Durch Addition der Gleichungen fallen alle inneren Kräfte im System raus (in diesem Fall die Stabkräfte):

Diese Gleichung ist nichts anderes als der Schwerpunktsatz für dieses System. Für die Beschleunigung ergibt sich

 

B3. Ein Auto bremst so, dass die darauf von der Straße wirkende Kraft F kleiner G ist ( ist der Reibungskoeffizient, G- Gewichtskraft).

Wie groß darf eine senkrecht zur Bewegung gerichtete Kraft sein, so dass das Auto noch nicht rutscht? Lösung: Die Bremskraft F

und die Kraft F₁

, die das Auto vom seitlichen Rutschen abhält, sind in Wirklichkeit zwei Komponenten der Reibungskraft zwischen den Rädern und der Straße, deren Betrag den Wert mg nicht übersteigen darf. "An der Gernze des Rutschens" gilt somit:F²F_² (mg)².

Die maximale zulässige Seitenkraft errechnet sich zu

2 2

( )

F_  mg F (s. Bild links). Bei einer Vollbremsung reicht bereits eine unendlich kleine Seitenkraft.

F

F

B4. Ein Körper bewegt sich so, dass seine Polarkoordinaten als Funktionen der Zeitgleich



^{1 3}



rl t und   t³sind. Zu bestimmen ist die Beschleunigung für   .

Lösung: Zur Beschreibung der Bewegung wählen wir eine

"polare Basis"

(e_r , e_

).

Für der Radiusvektor des Körpers gilt rre_r . Seine Ableitung nach Zeit ergibt

Geschwindigkeit: r re_rre_r re_r r e_. Beschleunigung erhalten wir durch

nochmaliges Differenzieren:

Im unseren Spezialfall gilt



^{1 3}



Für die Beschleunigung ergibt sich

     

Der Betrag der Beschleunigung ist gleich

 

B5. Erklären Sie Bewegung eines Stuhles, wenn er etwas geneigt und freigelassen wird.

B6. Welches Glas ist stabiler: ein leeres oder eines mit Zucker?

B7. Hubble hat festgestellt, dass alle Sterne von uns fliehen, und zwar mit einer

Geschwindigkeit proportional zur Entfernung.

Kann man daraus schließen, dass wir uns im Zentrum des Universums befinden?

Lösung: Die Beobachtung von Hubble lautet:

Wi Wi

r kr . Das gilt für einen beliebigen Stern, z.B. auch für A:

WA WA

r kr .

Für die Einwohner des Sternssystems A ist die Geschwindigkeit des Sterns i gleich

 

Wi WA Wi WA

r r k r r . Der Vektor in der Klammer ist aber genau der Vektor vom Stern A zum Stern i. Das bedeutet, dass die

Einwohner des Sterns A sehen, dass alle Sterne von ihnen fliehen, und zwar mit einer

Geschwindigkeit proportional zur Entfernung.

B8. Auf einer masselosen Stange (Länge 2l) sind zwei Körper mit der Masse m befestigt. Die Stange dreht sich nach dem Gesetz

( )t sin t

   um eine Achse, die durch ihre Mitte geht und senkrecht zur Stange gerichtet ist. Zu bestimmen ist das auf die Stange wirkende Kraftmoment. Das Kraftmoment bekommen wir aus dem Drehimpulssatz

L M

. Zur Bestimmung des Drehimpulses benutzen wir seine Definition: L^



m r_{i i}^{ }v_i^. Der Drehimpuls ist demnach entlang der z-Achse gerichtet und betragsmäßig gleich

2 2 2

L mlv ml , L2ml²e_z. Aus dem Drehimpulssatz folgt

 

2 2 2

2 _z 2 sin _z

M  L ml e   ml  t e . B9. Zu bestimmen ist das Reflexionsgesetz beim Aufprall eines Würfels auf eine rauhe Wand (Reibungskoeffizient

).

Freischnitt im Moment des Aufpralls:

Impulssatz in der x- und y-Richtung:

Drehung in drei Dimensionen, Drehimpulssatz, kinetische Energie und Arbeit bei einer

Rotation um eine feste Achse. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 3.1, 3.2 I. Reine Rotation eines starren Körpers

Bei einer Rotation um den Winkel δϕ um die Achse verschiebt sich der Punkt senkrecht zur Ebene (Achse - Radiusvektor) um den Betrag

sin .

r r

δ = θ δϕ⋅

Wenn wir einen Vektor δϕ so definieren, dass er entlang der Achse gerichtet ist und den Bet-rag δϕ hat, so gilt: rδ=δϕ×r

. Für die Geschwindigkeit r

v t

die Winkelgeschwindigkeit der Rotation des starren Körpers ist.

II. Allgemeine Bewegung

Zur Beschreibung einer beliebigen Bewegung eines starren Körpers führen wir zwei Koordi-natensysteme ein: Ein "raumfestes" System (x,y,z) und ein mit dem starren Körper fest verbundenes System

(

^{x x x1, 2, 3}

)

^. der Radiusvektor des Punktes P im bewegli-chen (in den Körper "eingefrorenen") System.

r′

ist der Radiusvektor desselben Punktes im raumfesten System, R

ist der Radiusvektor des Bezugspunktes O im raumfesten System.

Bei einer zusammengesetzten Bewegung (Translation des Punktes O und Rotation um diesen Punkt): dr'=dR+dϕ×r

Wählen wir jetzt den Nullpunkt des mit dem Körper verbundenen Koordinatensystems im Punkt O' im Abstand a

von O. Den Radius-vektor des Punktes P relativ zum neuen

Bezugspunkt bezeichnen wir mit r′′

. nicht vom Bezugssystem ab!

III. Eigenschaften des Vektorproduktes (a) a b× = − × b a

Vektorprodukt in Komponenten ( , ,i j k

- sind Einheitsvektoren):

x y z

IV. Beschleunigung bei einer Rotation um eine feste Achse

Indem wir die Gleichung v= ×ω r

nach der Zeit ableiten, erhalten wir

( )

vɺ = × + × = × + ×ωɺ r ω rɺ ωɺ r ω ω ×r .

Bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit:

( ) ( ) ( )

Es ist leicht zu sehen, dass dieser Vektor in der gleichen Ebene liegt wie ω ^{und r} und immer senkrecht zur Achse gerichtet ist:

(Skalarprodukt ^{ω⋅ = ⋅vɺ ω ω ω}

( (

^{⋅ −r}

)

^rω2

)

⁼

( ) ( )

Dem Betrag nach ist dieser Vektor gleich vɺ =ρω².

Der Beschleunigungsvektor bei einer Rotation mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ist immer senkrecht zur Achse gerichtet und ist gleich ρω^{2, wobei} ρder kürzeste Abstand vom gegebenen Punkt zur Achse ist.

V. Gleichzeitige Rotation um zwei Achsen

(1)

Dasselbe gilt für die Winkelgeschwindigkeiten:

1 2

ω ω ω= + .

Beispiel 1. Eine Scheibe dreht sich mit einer

Im Dokument Kinematik und Dynamik (Mechanik II) (Seite 26-30)