welchen die Projektion des Momentenvektors gleich Null ist.
B1. Bei Drehung um eine feste Achse ohne Reibungsmoment gilt L= Θ =ω const. Verrin-gert sich das Trägheitsmoment, so wird die Winkelgeschwindigkeit größer (Experiment mit Drehschemel).
B2. Hält man in den Händen eine Einrichtung mit einem Rotor und versucht man, die Rotati-onsachse zu ändern, so entsteht eine Rotations-bewegung in der entgegengesetzten Richtung (2. Experiment mit Drehschemel).
B3. Ein Stab trifft mit der Geschwindigkeit v auf ein Lager A und wird dort eingeknickt. Zu bestimmen ist die Winkelgeschwindigkeit nach dem Aufprall.
Lösung:
Das Kraftmo-ment bezüglich des Punktes A ist
gleich Null. Deshalb bleibt der Drehimpuls erhalten. Bei einer Translationsbewegung ist
i i i i i s
L=
∑
m r× =v∑
m r× =v mr ×v. Für den Drehimpuls haben wir deshalb:"vor": 1
Wie groß ist Energieverlust bei diesem Stoß?
2
3/4 der Energie geht verloren.
B4. Zu berechnen sind lineare und Winkelge-schwindigkeit sowie die Lage des Momentan-pols nach einem plastischen Stoß.
Lösung: Die Ener-gie bleibt hier nicht erhalten. Aber der Impuls und der Drehimpuls bleiben erhalten, und zwar bezüglich eines be-liebigen Bezugspunktes, da dies ein abge-schlossenes System ist.
Impuls "vor": mv Impuls "nach":
Stellen wir den Drehimpulssatz bezüglich des Schwerpunktes des Stabes auf:
Drehimpuls "vor": Lösung des umrahmten Gleichungssystems ergibt 6 Schwerpunkt im Abstand 1
6
l v l
ω
∆ = ′ = .
Diesen Punkt nennt man Stoßmittelpunkt. Wird der Körper in diesem Punkt gelagert, so treten beim Stoß keine Lagerreaktionen auf.
B5. In welcher Höhe h muss eine Billardku-gel horizontal angestoßen werden, damit sie auf glatter Bahn nach dem Stoß rollt?
Lösung: Die Roll-bedingung bedeutet, dass der
den der Momentanpol ist. Daher gilt vs =ωr. (1) Schwerpunktsatz: mvɺs =F. (2) Drehimpulssatz: Θ =sωɺ F h r
(
−)
. (3)Dividieren von (3) durch (2) ergibt 7
5
s s
h r r
m v ω
= Θ ɺ + =
ɺ .
Dasselbe Ergebnis kriegt man auch wenn man den Drallsatz bezüglich des Momentanpols schreibt (ist in diesem Fall richtig, aber nicht empfohlen).
B6. Ein geschlossenes zylindrisches Gefäß (in-nerer Radius R, Höhe h, Trägheitsmoment Θ) gefüllt mit Wasser wird schnell bis zu einer Winkelgeschwindigkeit ω0 beschleunigt. Wel-che Winkelgeschwindigkeit ω1 wird sich im Zustand einstellen, in dem sich das Gefäß und das Wasser als ganzes drehen? Reibmoment in der Achse ist zu vernachlässigen.
Lösung: Nachdem das Gefäß in die Rotation gesetzt wurde, hat es den Drehimpuls
0 0
L = Θω . Im Endzustand ist der Drehimpuls gleich L1= Θ +
(
mR2 2)
ω1. Da auf das System (bezüglich der Achse) keine äußeren Momente wirken, bleibt der Drehimpuls erhalten:0 1
L =L. Daraus folgt
(
0)
1 2
2 mR ω = Θω
Θ + .
Dar-auf beruht z.B. die Methode, mit der man ein rohes Ein von einem gekochten Ein unterschei-den kann.
B7. Ballistisches Pendel
Die Geschwindigkeit einer Kugel kann gemes-sen werden, indem in ein "Ballistisches Pendel"
(auch Stoßpendel) geschossen und dessen Aus-schlagwinkel gemessen wird. Wie hängt die Geschwindigkeit der Kugel von dem maxima-len Winkel ab? (Gegeben: Das Trägheitsmo-ment Θ des Pendels bezüglich des Aufhänge-punktes, Masse M des Pendels, der Höhenab-stand h zwischen dem Aufhängepunkt und dem Punkt, wo
die Kugel das Pendel trifft, Ab-stand l zwi-schen dem Aufhänge-punkt und dem
Schwerpunkt des Pendels, Masse m der Kugel).
Lösung: Wir betrachten drei Zustände:
1. Direkt vor dem Zusammenstoß 2. Direkt nach dem Zusammenstoß 3. Maximale Auslenkung des Pendels.
Zwischen 1 und 2 ändert sich der Winkel ϕ nicht (d.h. er bleibt Null). Das Kraftmoment aller Kräfte bezüglich des Aufhängepunktes ist Null, somit gilt der Drehimpulserhaltungssatz:
(
2)
hmv= Θ +mh ω ⇒
(
hmvmh2)
ω=
Θ + . (1) Ab diesem Moment (zwischen 2 und 3) bleibt die Energie erhalten:
( )
( ) ( )( )
2
2 1 cos
2 m
hmv g Ml mh
mh = + − ϕ
Θ + (2)
Aus (1) und (2) folgt
(
2) ( )( )
1 2 1 cos m
v mh g Ml mh
hm ϕ
= Θ + + − .
B8. Eine Kugel stößt elastisch mit einer Wand zusammen. Zu bestimmen sind die Geschwin-digkeit und die WinkelgeschwinGeschwin-digkeit nach dem Abprall (kein Gleiten im Kontakt).
Bezüglich des Kontaktpunktes O ist das Dreh-moment aller Kräfte während des Stoßes gleich Null ⇒ Drehimpulserhaltung:
sin sin s
mvr α =mv r′ β+ Θω (1)
Beim elastischen Stoß bleibt auch die Energie erhalten:
2 2 2
2 2 2
mv = mv′ +ΘSω an. (2) Rollen ohne Gleiten: vx′ =ωr=v′sinβ . (3) Aus diesen drei Gleichungen kann man drei Unbekannte v′, ω und β bestimmen.
Mit (3) nehmen (1) und (2) die Form
(
2)
sin sin 1 S/
v α =v′ β + Θ mr
2 2
1 Ssin / v=v′ + Θ β mr
Z.B. wenn α ≈ °90 , so ist sinβ =5 / 7, β ≈ °45 und 0.71v
ω = r.
v α β v'
ω
v α β v'
H N O
Kreiselbewegung, Tensor der Trägheitsmomente I. Drehimpuls bei einer Drehung um eine
beliebige Achse
Der Vektor des Drehimpulses dreht sich um die Achse.
II. Zeitliche Änderung eines rotierenden Vektors.
Wenn ein Vektor A
sich mit der Winkelge-schwindigkeit ω dreht, so gilt Aɺ = ×ω A III. Die in der Achse bei einer Rotation wir-kenden Kräfte.
Nach dem Drehimpulssatz gilt Lɺ = × =ω L M
.
Ändert sich der Drehimpuls, so muss ein Kraftmoment wirken! Die Änderung des Drehimpulses zeigt in die Tafel. In den Lagern muss somit ein Kräftepaar wirken, wie im Bild 1 gezeigt. Woher stammt dieses Kraftmoment? Betrachten wir die Platte im rotierenden Bezugssystem. Durch die Zent-rifugalkräfte entsteht ein Kraftmoment in der gezeigten Richtung. Die Reaktionskräfte in den Lagern wirken in die entgegensetzte Richtung.
Was geschieht, wenn die Achse nicht festgehal-ten wird?
IV. Symmetrischer Kreisel
Definition: Θ = Θ ≠ Θx y z. Zum Beispiel:
A. Reguläre Präzession (Nutation) eines sym-metrischen Kreisels. Winkelgeschwindig-keit der Drehung um die Symmetrieachse:
Θ . Die Kreisachse beschreibt einen Kreiskegel um die Richtung L
.
V. Präzession unter der Einwirkung eines Kraftmomentes
Wenn wir die Kreiselachse gleichmäßig um die vertikale Achse drehen, wie ändert sich der
Wenn die Kräfte in vertikaler Ebene wirken, so bewegt sich die Achse in der horizontalen Ebene
θ
Pr sin sin Lɺ = Ω L θ =mgl θ ⇒
Pr
mgl mgl
L ω
Ω = =
Θ
Astronomisches Beispiel: Präzession der Erde
Periode der astronomischen Präzession 25800
≃ Jahre.
VII. Präzession und Nutation
VIII. Satz vom gleichsinnigen Parallelismus der Drehachsen (Foucault)
.
Sonne
ωNut Pr äz
Ω
Die Kreiselachse versucht sich gleichsinnig parallel mit der Achse der Zwangsdrehung zu stellen.
Die Eulerschen Gleichungen, Lagerreaktionen bei Rotoren
Literatur: Hauger, Schnell und Gross: 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4 I. Trägheitstensor (dieses Semester ohne
Her-leitung).
Die neunkomponentige Größe
xx xy xz
heißt Trägheitstensor. Die Diagonalelemente Θxx, Θyy,Θzz sind axiale Trägheitsmomente, nicht diagonale Elemente Θxy u.s.w. sind Devia-tionsmomente. In expliziter Form
( )
Der Drehimpuls berechnet sich mit Hilfe des Trägheitstensors als Die kinetische Energie berechnet sich als
, , ,
II. Hauptträgheitsachsen und Hauptträg-heitsmomente.
Man kann ein kartesisches Koordinatensystem immer so wählen, dass der Trägheitstensor eine Diagonalform annimmt. Diese Koordinatenach-sen heißen HauptträgheitsachKoordinatenach-sen und die Dia-gonalelemente des Tensors Hauptträgheitsmo-mente. In Hauptachsen verschwinden alle Devia-tionsmomente: ha-ben dann eine besonders einfache Form:
1 1 III. Die Eulerschen Gleichungen
Wenn man den Drehimpuls bezüglich der Hauptachsen berechnet, so muß man bei Be-rechnung der zeitlichen Ableitung noch die Dre-hung der Achsen selbst berücksichtigen.
dL d L Rotationsgeschwindigkei-ten bezüglich der Hauptachsen des Trägheits-tensors, so kann man den Drehimpulssatz in der folgenden Form schreiben (Eulersche Glei-chungen):
Beispiel 1: Der momentenfreie symmetrische