Stick-Slip-Bewegung

2 cos *

d t

x=Ce m ω t+α .

Beispiel 4. Stick-Slip-Bewegung

Die Bewegungsgleichung für den Block lautet:

( ) 0

mxɺɺ+F xɺ +kx=kv t,

Offenbar hat sie immer eine stationäre Lösung

0 0

x = x +v t mit x₀ = −F v( ) /₀ k.

Zur Untersuchung der Stabilität der stationären Lösung nehmen wir an, dass die stationäre Lö-sung schwach gestört wird.

0 0

x=x +v t+δx

mit einer kleinen Abweichung δx. Nach Ein-setzen in die Bewegungsgleichung und Linea-risierung bezüglich der Störung δx erhalten wir die folgende lineare Gleichung für die Stö-rung:

Nach Einsetzen des üblichen Exponentialansat-zes δx∝e^λt kommen wir zur charakteristi-schen Gleichung

2

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind

Haben beide charakteristische Zahlen einen negativen Realteil, so wird eine beliebige Stö-rung der stationären Lösung exponentiell ab-klingen und die stationäre Bewegung ist (gege-nüber kleinen Störungen) stabil. Die Bedingung für Stabilität ist in diesem Fall nur erfüllt, wenn

( )0 0 dF v

dx >

ɺ , d.h.: Die Reibungskraft wächst mit der Gleitgeschwindigkeit.

x

ϕ

ω

1 Verschiedenes zum Thema Kinematik und Dynamik

Der Stoff der folgenden Kapitel wird im Sommersemester wegen des Zeitmangels nicht behandelt.

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 27*.

2. Newtonsches Gesetz: Anwendungsbeispiele I. Das zweite Keplersche Gesetz für Plane-tenbewegung

Wir betrach-ten verein-facht eine Bewegung auf einer Kreis-bahn. Das zweite Newtonsche Gesetz für den ersten Planeten lautet: m a_{1 1} =F₁

.

Es gibt nur eine radiale Komponente der Kraft (Gravitationskraft GMm r₁/ ₁²) und der Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung

2 1 1r

ω ). Das 2. N.G. nimmt die folgende Form an: m₁ω_{1 1}²r =GMm r₁/ ₁². Daraus folgt

2 3

1 GM r/ 1

ω = . Die Winkelgeschwindigkeit ist gleich ₁

1

2 T

ω = π , wobei T die Umlaufperiode ₁

des ersten Planeten ist. Somit gilt

(

^{2 /π T1}

)

^{2 =GM r/ 13}. (1) Für den zweiten Planeten ergibt sich ähnlich

(

^{2 /π T2}

)

^{2 =GM r/ 23.}

Dividieren der ersten Gleichung durch die zweite ergibt

2 3

2 2

1 1

T r

T r

   

=

   

    .

Das ist ein Sonderfall des 2. Keplerschen Gesetzes für die Planetenbewegung.

II. Schiefer Wurf mit Luftwiderstand

Das 2.N.G. ergibt:

ma= −G αv

oder in Komponenten

_x 0 _x

y y

ma v

ma mg v

α α

= −

 

 

= − −

 

Die Bewegungen in beiden Richtungen sind völlig unabhängig!

Für beide haben wir die Lösungen:

0cos 1

t

m m

x v

α α

α

 − 

=  − 

 

ℓ

0sin 1 ^mt

mg m mg

y t v

α α α

α α α

 − 

 

= − +  +   − 

   

ℓ

Das ist gleichzeitig auch die Balkenkurve in parametrischer Form.

Bewegung beim schiefen Wurf unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes

Das 2.N.G. in einer bewegten Basis III. Planeten- oder Satellitenbewegung Bezeichnungen: M ist die Masse des zentra-len Körpers, m ist die Masse des "umkreisen-den" Körpers.

In Polarkoordinaten mit dem Zentrum im zentralen Körper gilt:

2

(

²

)

^r

⁽

²

⁾

a= −r rϕ e + rϕ+ rϕ e_ϕ ɺ ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

Das 2.Newtonsche Gesetz ergibt:

( )

( )

2

2 m r r Fr

m r r F_ϕ

ϕ ϕ ϕ

− =

+ =

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺ oder

(

²

)

²

2 0

r r GM

r

r r

ϕ

ϕ ϕ

 − = −



 + =

 ɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

Die letztere Gleichung kann als ¹_{r dt}^d

( )

^{r2ϕɺ =0}

geschrieben werden.

Daraus folgt r²ϕɺ=const =C.

Das ist das 3. Keplersche Gesetz:

rdϕ

1 2

2 2

dA= r rd⋅ ϕ = r dϕ

2 2

2 2

r r

Aɺ= ϕɺ= ω=const

(die Flächengeschwindigkeit ist konstant) Die r- Komponente des 2.N.G. kann umge-schrieben werden:

2

3 2

C GM

r = r − r ɺɺ

1

Multiplikation eines Tensors und eines Vek-tors

Das Summationszeichen wird ausgelassen und über alle doppelt auftretenden Indizes über (x,y,z) summiert (Summationsindizes).

Beispiel:

Die Bezeichnung der Summationsindizes kann man beliebig verändern: A B_{i i} = A B_{l l} = A B_{j j}

Theorem: Jeder symmetrische Tensor 2. Stufe kann durch entsprechende Wahl der Achsen-richtungen auf eine Diagonalform gebracht werden. Bekannte Beispiele: Hauptachsen des Spannungstensors, des Deformationstensors.

II. Beziehung zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit, Trägheitstensor

( )

n n n

L=

∑

m r × ≡v

∑

mr× =v

∑

mr× ω×r

Index n (Nummer eines Elementes) wird im Weiteren ausgelassen.

( ) ( ( ) )

Trägheitsmomente, nicht diagonale Elemente

Θxy usw. sind Deviationsmomente.

Bei einem Kontinuum ^{Θ =ik}

∫

^{ρdV r}

(

^{2δik−r ri k}

)

III. Kinetische Energie

( )

²

Summierung über alle Massenelemente

( ) ( )

Somit kann die kinetische Energie (1) in der folgenden Form umgeschrieben werden:

(

²

)

IV. Hauptträgheitsachsen und Hauptträg-heitsmomente

Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Ten-sor. Man kann ein kartesisches Koordinatensys-tem immer so wählen, dass dieser eine Diago-nalform annimmt. Diese Koordinatenachsen heißen Hauptträgheitsachsen und die Diagonal-elemente des Tensors Hauptträgheitsmomente.

In Hauptachsen verschwinden alle Deviations-momente: ha-ben dann eine besonders einfache Form:

1 1 V. Die Eulerschen Gleichungen

Den Drehimpuls (2) wollen wir in den Drehim-pulssatz einsetzen. Dafür ist aber eine

vorberei-tende kinematische Untersuchung notwendig.

Betrachten wir zwei Koordinatensysteme: Ein

"ruhendes" System K und ein "rotierendes" Sys-tem K'. Wir betrachten einen beliebigen, zeitab-hängigen Vektor von beiden Systemen aus.

Angewendet an den Drehimpuls:

dL d L

Wählen wir als "rotierendes" das mit den Haupt-trägheitsachsen verbundene System.

1 nichtlineare Differentialgleichungen.

Einsteinsche Konvention

Summe über alle Massenelemente!

ruhendes rotierendes

S.

Erzwungene Schwingungen (Fortsetzung).

I. Erregung durch eine Unwucht

Erregung durch eine rotierende Unwucht findet man in Systemen mit Rotoren.

Sei x die Koordina-te des Schwer-punkts der Masse m. Eine Unwucht (Masse m ) dreht _u sich mit der Win-kelgeschwindigkeit

ω um eine an der Masse m befestigten Achse. Zu bestimmen ist die erzwungene Schwingung der Masse m.

Lösung: Die x-Koordinate des Schwerpunkts des Gesamtsystems "m+m_u" ist gleich

Der Schwerpunksatz lautet

(

^m+mu

)

^{xɺɺs = − −cx dxɺ ⇒}

(

^m+mu

)

^{xɺɺ−ω2m ru cosωt = − −cx dxɺ ⇒}

(

^m+mu

)

^{xɺɺ+dxɺ+ =cx ω2m ru cosωt.}

Die Partikularlösung ist wie wir wissen

(

⁰

)

II. Erzwungene Schwingungen bei einer pe-riodischen, nicht sinusförmigen Anregung.

2 2 2

und wir haben die Partikularlösung

( )

= , ist die

Partikular-lösung

( )

III. Beispiel für linear gedämpfte Schwin-gung. ^ϕ

( )

^{0 =0, ϕɺ}

( )

^{0 =ϕɺ0, ϕ}

( )

^{t =?}

Drallsatz:

IV. Angefachte Schwingungen

Beispiel: Zeitlich verzögerte Regelung

( ) ( )

Dies ist eine Schwingung mit exponentiell wachsender Amplitude.

V. Resonanz in elektrischen Schaltkreisen Die drei passiven Schaltelemente:

Kondensator Widerstand Induktivität (Spule) a) Spannung V_C = q / C Form, wie die Gleichung für erzwungene Schwingungen eines Einmassenschwingers.

Die Lösung der homogenen Gleichung (in Ab-wesenheit des erregenden Potentials

( )

0 ^tcos *

q=q e^−δ ω t+α beschreibt gedämpfte Schwingungen mit der Frequenz ω* ^{und dem} Abklingkoeffizienten δ =R/ 2L.

Im Fall eines harmonischen erregenden Poten-tials V t( )=V₀cosωt nimmt die Gleichung die eine erzwungene Schwingung mit der Amplitu-de

Ladung Kapazität

Widerstand Strom

x _Sensor Prozessor

Aktor F

Komplexe Federzahlen I. Komplexe Federzahlen

1). Feder unter Wirkung einer periodischen Kraft

F =cx (1) Den Proportionali-tätskoeffizienten nen-nen wir Federzahl.

2). Dämpfer unter Wirkung einer periodischen Kraft

F =dxɺ (2) Bei einer periodi-schen, harmonischen Kraft

0cos

F =F ωtschreiben wir die Kraft in komp-lexer Form F =F e₀ ^{i tω} und suchen die Lösung in der Form x=xe⌢ ^{i tω}

. Ergebnis:F t( )=id x tω ( ), d.h. die Kraft ist zu jedem Zeitpunkt proportio-nal zur Auslenkung, wie bei einer Feder.

Der Koeffizient c_d =idω, der die Kraft mit der Auslenkung verbindet, ist jetzt aber komplex und hängt von der Frequenz ab. Wir nennen ihn komplexe, frequenzabhängige Federzahl.

3). Masse unter Wirkung einer periodischen Kraft.

Bewegungsgleichung

0cos

mxɺɺ=F ωtersetzen wir durch

0

mxɺɺ=F ei t^ω und suchen eine Partikularlösung in der Form x_p =xe⌢ ^{i tω} . Dann gilt F = −mω²x. Auch in diesem Fall ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Der Proportionalitätskoeffi-zient ist zwar reell, aber negativ und frequenz-abhängig:

2

cm = −mω .

Bemerkung: Anders als bei Federn und Dämp-fern, ist für die Bewegung einer Masse nicht ihre relative, sondern absolute Beschleunigung maßgebend. Deswegen muss man bei der effek-tiven Feder, die die Masse wiedergibt, immer ein Ende an die feste Umgebung koppeln.

4). Parallelgeschaltete Feder und Dämpfer unter Wirkung einer periodischen Kraft.

( )

cx+dxɺ=F t ^. Für eine Kraft

( )

^{0 i t}

F t =F e^ω ergibt sich wieder ein linearer Zu-sammenhang zwischen der Kraft und der Auslenkung:

(

^{i dω +c x t}

) ( )

^{=F t}

( )

^.

Die Federzahl ist jetzt eine komplexe Größe

( ) ( )

* Re( *) Im( *)

c = i dω + = +c c i ωd = c +i c 5). Allgemeiner Fall

Für ein lineares mechanisches System (d.h. ein beliebig kompliziertes System aufgebaut aus linearen Federn und linearen Dämpfern) gilt bei einer Erregerkraft F e₀ ^{i tω} ein linearer Zusam-menhang

F t( )=c* ( ) ( )ω x t ,

wobei * ( )c ω komplexe Federzahl des Systems ist.

II. Berechnung von erzwungenen Schwin-gungen mit Hilfe von komplexen Federzah-len.

Die Gleichung F t( )=c* ( ) ( )ω x t bedeutet in expliziter Form F e₀ ^{i tω} =c* ( )ω x. Daraus folgt

( ) ( )

0 0

*( ) Re * Im *

i t i t

F F

x e e

c c i c

ω ω

= ω =

+ ^.

Die imaginäre Zahl ^{c*( )ω =Re}

( )

^{c* +iIm}

( )

^c*

hat in polarer Darstellung die Form

*( ) * ⁱ c ω = c e^α mit

( ) (

²

)

²

* Re * Im *

c = c + c und

( ) ( )

Im *

tan Re *

c

α = c . Folglich ist

0 0

*( ) *

i t i t i

F F

x e e

c c

ω ω α

ω ⁻

= =

Der Realteil von dieser Funktion gibt die Lö-sung der ursprünglichen (reellen) Gleichung:

( ) ( )

0

( ) cos 0cos

*

x t F t x t

c ω α ω α

= − = −

Die Amplitude der Schwingungen ist demnach

( ) ( )

0

0 2 2

Re * Im *

Amplitude x F

c c

= =

+ ^.

0cos F =F ωt

III. Zusammengesetzte Systeme aus mehre-ren Federn und Dämpfern.

A) Reihenschaltung einer Feder und eines Dämpfers.

Zu bestimmen ist die Schwingungsampli-tude unter der Wir-kung einer periodi-schen Kraft F =F₀cosωt.

Lösung: Die komplexe Federzahl der Feder ist cF =c. Die komplexe Federzahl des Dämpfers ist c_d =idω. Für die Steifigkeit der zusam-mengesetzten Feder gilt bei einer Reihenschal-tung * ^{F d} Für die Schwingungs-amplitude ergibt sich

( )

²

B) Einfaches rheologisches Modell für Gummi.

Elastomere (wie Gummi) sind soge-nannte viskoelastische Stoffe, deren elasti-sche Eigenschaften sich als eine Kombination aus Federn und Dämpfern darstellen lässt ( aus-führlicher in der LV "Kontaktmechanik und Reibungs-physik" oder "Materialtheorie" im Hauptstudium).

Zu berechnen ist die Schwingungsamplitude der gezeigten Feder-Dämpfer-Kombination unter Wirkung einer periodischen Kraft

0cos F =F ωt.

Lösung: Die gezeigte Kombination ist eine Reihenschaltung der Federn c₁^* = +c₁ idω und c₂. Die gesamte Steifigkeit ist somit

( )

Der Betrag der komplexen Federzahl ist

( ) ( ) ( )

Die Schwingungsamplitude ist demnach

( ) ( )

c = c . Bei sehr langsamen Beanspruchun-gen gilt

(

^{1 2}

)

0 Frequenzen strebt Amplitude gegen einen sehr viel kleineren Grenzwert ₀ ⁰

2

x F

= c .

C) Erzwungene Schwingungen eines Zweimas-sensystems.

Im links dargestellten Zweimassensystem ersetzen wir beide Fe-dern und beide Massen durch äquivalente Fe-dern. Die Federzahl des gesamten Systems ist gleich

Die Schwingungsamplitude ist demnach

2

Es gibt drei charakteristische Frequenzen: Bei ω1 ^und ω2 wird die Schwingungsamplitude unendlich groß (Resonanzfrequenzen). Näch-stes Mal werden wir sehen, dass dies die soge-nannten Eigenfrequenzen des Systems sind. Bei der Frequenz ω_T wird die Schwingungsampli-tude Null. Dies ist die Tilgerfrequenz.

ω1 ω² ωT

Qualitative Analyse von Schwingungssystemen I. Wie lange dauert ein Einschwingvorgang?

Bewegungsgleichung:

( )

mxɺɺ= − − +cx dxɺ F t ^{, F t}

( )

^=F0cosωt

( )

2

0 2 0/ cos 0cos

x+ω x+ δx= F m ωt= f ωt

ɺɺ ɺ ^.

Lösung:

( ) ( )

( ) cos ^t cos * sin *

x t =ρ ωt− Θ +e^−δ A ω t+B ω t Die Amplitude der "freien

Schwingungen" (allgemeine Lösung der homogenen Gleichung) verringert sich um das e-fache (2,7) in der Zeit τ =1/δ .

II. Wie breit ist das Resonanzmaximum?

Bei der Resonanzfre-quenz nimmt die Schwingungsamplitude

( )

0

2 2 2 2 2

0 4

x F m

ω ω ω δ

= − +

⌢

den Wert ⁰ 2 x F m

= ωδ

⌢ an.

Einen zweimal

kleine-ren Wert nimmt sie an, wenn

(

^{ω ω02− 2}

)

^{2+4ω δ2 2 =16ω δ2 2 oder}

(

^{ω ω ω ω0 −}

) (

^{2 0 +}

)

^{2 =12ω δ2 2 oder}

(

^{ω ω0 −}

)

^{24ω02 =12ω δ02 2 ⇒}

0 3

ω ω= ± δ .

Die Gütezahl ist somit Q≈ω₀/∆ω. III. Wie beeinflusst Dämpfung den Fre-quenzgang der Amplitude? Bei kleiner

Dämpfung folgt die Amplitude als Funktion der Erregerfrequenz im Wesentlichen der Kurve ohne Dissipation. Nur die Spitzen werden "ab-gestumpft".

IV. Kann man die Höhe des Resonanzmaxi-mums berechnen ohne die Bewegungsglei-chung zu lösen?

0cos mxɺɺ= − − +cx dxɺ F ωt

Die Lösung der Ersatzdifferentialgleichung mit der Kraft F e₀ ^{i tω} führt zur Gleichung

(

^{−mω2+idω+c x}

)

^⌢=F0 mit der Lösung

0 2

x F

mω idω c

=− + +

⌢

Wir können asymptotische Werte bei sehr klei-nen, sehr großen und Resonanzfrequenz finden:

1) ω ^klein

(

^{ω →0}

)

^{⇒ x F0}

= c

⌢

2) ω ^groß

(

^{ω → ∞}

)

^{⇒ 0} 2

x F

mω

=−

⌢

3) Resonanz

(

^{ω ω= 0}

)

^{⇒ x F0}

idω

= +

⌢

Schwingungsamplituden bei diesen wichtigen Punkten kann man aber auch bestimmen ohne die gesamte Lösung zu kennen (z.B. auch dann, wenn die exakte Lösung nicht bekannt ist).

Bei kleinen Frequenzen kann man Terme mit Geschwindigkeit und Beschleunigung vernach-lässigen (cx=F₀cosωt), bei sehr großen spielt nur der der Term mit Beschleunigung eine we-sentliche Rolle (mxɺɺ=F₀cosωt), bei der Reso-nanzfrequenz müssen alle Terme ausfallen mit Ausnahme des Geschwindigkeitsproportionalen Terms (dxɺ= +F₀cosωt). Das sieht man daran, dass die Energie, die dem System zugeführt wird, dann ihr Maximum erreicht, wenn die Kraft immer in Richtung Geschwindigkeit ge-richtet ist und somit den Körper immer "be-schleunigt".

Hätten wir eine nicht lineare konservative Kraft, mxɺɺ= −G x( )− +dxɺ F₀cosωt, so könnten wir diese Gleichung nicht analytisch lösen, aber die Grenzfälle kleiner und großer Frequenzen könnten auch in diesem Fall ermittelt werden.

Hätten wir eine lineare konservative Kraft aber eine nicht lineare Dämpfung, z.B.

3

0cos

mxɺɺ= − −cx kxɺ +F ωt, so könnte man auf ähnliche Weise näherungsweise das Schwin-gungsgesetz und die Schwingungsamplitude bei der Resonanz ermitteln: kxɺ³ =F₀cosωt

⇒ ^xɺ=

( (

^F0/k

)

^cosωt

)

^{1/ 3.}

V. Seitenbänder bei Rundfunkübertragung Bei der Rundfunkübertragung, die die Amplitu-denmodulation (AM) benutzt, wird das hoch-frequente Trägersignal durch die Schallampli-tude moduliert.

( )

F t

Dämpfer Feder F

F

Freischnitt:

τ

3δ

Die oben gezeigte modulierte Schwingung kann wie folgt ausgedrückt werden

(

^{1 cos m}

)

^{cos 0} Das bedeutet, dass die ausgestrahlte Welle eine Summe von drei Wellen darstellt: eine reguläre Welle mit der Frequenz ω₀, sowie Schwingun-gen mit den Frequenzen ω ω₀+ _m und ω ω₀− _m. Wie scharf darf das Resonanzmaximum ei-nes Schwingungskreises eiei-nes Funkempfän-gers sein?

Ein Schwingungskreis unterdrückt Schwingun-gen mit allen Frequenzen, die weiter von der Trägerfrequenz ω₀entfernt sind, als um einige

δ . Ist die Breite der Resonanzkurve zu klein, so empfängt das Gerät nur die Trägerfrequenz.

In der ist aber keine Information enthalten. Die Breite des Maximums (und somit die Dämp-fungskonstante) muss somit größer sein, als die Modulationfrequenz: δ ω> _m. Man kann das auch anders sehen: Die Modulation wird nur dann wirklich übermittelt, wenn die Dauer des Einschwingvorganges kleiner ist als die Modu-lationsperiode: 1

Tmod

τ ^{= <}δ , was zu derselben Gleichung δ ω> _m führt.

VI. Wie bestimmt man die Tilgerfrequenz und welchen Einfluss hat Dämpfung auf die Tilgung von Schwingungen?

Betrachten wir einen elastisch (Gesamtsteifig-keit c) gelagerten "Tisch" mit der Masse M . Wenn auf ihn technisch bedingt eine periodi-sche Kraft F₀cosωt mit einer bestimmten Fre-quenz wirkt, kann man die Schwingungen des Tisches unterdrücken, indem man an ihn eine weitere Masse m elastisch koppelt. Der physi-kalische Sinn des Til-gereffektes besteht darin, dass der Tisch M die zusätzliche Masse zum Schwin-gen erreSchwin-gen und somit ihre eigenen Energie abgeben kann. Dafür muss die Schwingungs-frequenz gleich der EigenSchwingungs-frequenz des Tilgers sein. Da bei Resonanz das Verhältnis der Amp-lituden unendlich wird, kann die Tilgermasse auch dann schwingen, wenn sich der Tisch gar nicht mehr bewegt. Die Bedingung für die

Til-gung ist offenbar ω = c m₁/ . Der Ein-schwingvorgang dauert allerdings bei einem idealen Tilger unendlich lange. Bei einem rea-len Tilger (mit Dämpfung) dauert er eine endli-che Zeit, aber auch der Tilgereffekt ist nicht

ideal.

Die äquivalente Fe-derzahl ergibt sich aus der neben ste-hender Skizze.

Die Federzahl ist gleich

Ohne Dämpfung wird diese Steifigkeit unend-lich bei −mω²+ =c₁ 0. Bei kleinen Dämpfun-gen ist die Steifigkeit nicht unendlich aber groß: * m c¹

c id

ω

≈ −

VII. Dynamik eines Fahrzeuges

Nebenstehende Skizze kann als ein einfaches Modell eines Fahrzeuges angesehen werden (ein "Viertelfahrzeug").

Zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen und der Frequenzgang der Beschleunigung des Aufbaus bei einer Fußpunkterregung nach dem

Gesetz x₀ = Acosωt. Gegeben: m₁=10kg,

2 250

m = kg. Die Eigen-frequenz des Rades al-leine sei 10 Hz, des Aufbaus alleine 1 Hz.

Da wir in der Karosserie (m ) sitzen, sind wir nur an der Koordinate ₂ x ₂

Wir sind aber an der Beschleunigung interes-siert, da wir nur diese unmittelbar empfinden.

( )( )

Wie groß sind die Eigenfrequenzen?

(Eine vereinfachte Methode wird erläutert).

Im Dokument Kinematik und Dynamik (Mechanik II) (Seite 54-64)