1 Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 7. Arbeit, kinetische und potentielle Energie, Elastischer Stoß

1 Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 7.

Arbeit, kinetische und potentielle Energie, Elastischer Stoß

Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.7 I. Mechanische Arbeit, Arbeitssatz

Betrachten wir einen Körper mit der Masse m, der sich unter der Wirkung einer (im Allgemei- nen zeit- oder ortsabhängigen) Kraft Fbewegt.

Das zweite Newtonsche Gesetz für den Körper lautet: m^dv F

dt  .

Indem wir diese Gleichung mit v multiplizie- ren, erhalten wir

mdv v F v

dt    (Skalarprodukt!) (1) Die linke Seite der Gleichung kann in der Form

   

²

2 2

d v v d v

dv m m

m v

dt dt dt

   

dargestellt werden. Die rechte Seite schreiben wir wie folgt um: F v F ^dr

  dt . Die Gleichung (1) nimmt die Form

 

²

2

md v  F dr

an. Bestimmte Integration ergibt

 

2 2

1 1

2

2

v r

v r

md v  F dr

 

^oder

2

1

2 2

2 1

2 2

r

r

mv mv

 



F dr ^{. (2)} Die Größe

2

2

K mv ist die kinetische Energie des Körpers.

Das Integral

2

1

r

r

W 



F dr nennt man die von der Kraft F auf dem Weg zwischen r₁ und r₂ geleistete Arbeit.

Gleichung (2) sagt aus, dass Änderung der ki- netischen Energie eines Objektes gleich der durch die einwirkenden Kräfte geleisteten Ar- beit ist.

2 1

K K W . (Arbeitssatz) II. Eigenschaften der Arbeit.

-Arbeit ist als Integral

2

1

r

r

W 



F dr definiert.

-Bei einer konstanten Kraft gilt

 

2

1

2 1

r

r

W  F



dr  F r r   F r

- Wann ist W=0?  F0 oder r 0 oder

 90 .

- Die Arbeit von A nach B ist gleich Minus die Arbeit von B nach A.

-Die Arbeit ist eine additive Größe (Die Arbeit mehrerer gleichzeitig wirkender Kräfte ist gleich der Summe der Arbeiten einzelner Kräf- te). Folgt aus der Definition.

III. Leistung

Betrachten wir die Bewegung innerhalb eines infinitesimal kleinen Zeitintervalls dt, so kann man den Arbeitssatz in der Differentialform schreiben: dKdW.

Dividieren durch dt ergibt ^{dK dW}

dt  dt . (3) Die Größe dW dt/ heißt Leistung der Kraft.

Gleichung (3) bedeutet, dass die zeitliche Änderung der kinetischen Energie eines Ob- jektes gleich der durch die einwirkenden Kräfte aufgebrachten Leistung ist.

Einheiten:

[ Arbeit ]  Newton  Meter {Joule}

[ Leistung ]  Joule pro Sekunde {Watt}

1 Kilowattstunde 10 3600³ J =3, 6 10 ⁶Joule IV. Potentielle Energie, Energieerhaltungs- satz

Betrachten wir eine eindimensionale Bewe- gung unter der Einwirkung einer Kraft F x( ), die nur von der Koordinate abhängt.

Das zweite Newtonsche Gesetz lautet:

 

mvF x .

Multiplizieren mit v ergibt dv

 

dx

m v F x

dt  dt oder ^{mvdvF x dx}

 

Bestimmte Integration ergibt

     

0

2 2

0

2 2 0 x

x

mv

mv  



F x dxU x U x , (4) wobei ^{U x}

 

^{ }



^{F x dx}

 

Stammfunktion zur Funktion F x( ) ist (unbestimmtes Integral).

r

 F cos

W  F r 

2 (4) kann wie folgt umgeschrieben werden:

 

²

 

2

0

2 2 0

mv

mv U x  U x . (5) Die Größe U x( ) heißt potentielle Energie und

die Summe ²

 

2

Emv U x  K U - volle Energie des Systems.

Gleichung (5) besagt, dass die volle Energie des Systems erhalten bleibt (Energieerhal- tungssatz): E  K U konst.

Der Energieerhaltungssatz in dieser Form gilt nur dann, wenn die Kräfte nur von der Koordi- nate abhängen (im Allgemeinen Fall gilt das für konservative Kräfte, s. nächste Vorlesung).

Bemerkung: Aus der Definition der potentiel- len Energie folgt, dass ^{F x}

 

^U

x

 

 . Diese Gleichung nennt man 1. Satz von Castigliano.

V. Beispiele

1. Potentielle Energie der Schwerekraft.

Die Schwerekraft ist gleich F  mg. Die Potentielle Energie ist demnach U 



mgdhmgh C ^. C ist eine beliebige Konstante, die z.B. gleich Null gesetzt werden kann. Der Energieerhaltungssatz hat die Form

2

2

mv mghkonst.

2. Potentielle Energie einer elastischen Feder.

Die Federkraft ist gleich F cx. Die potentielle Energie demnach

2

2 U 



cxdxcx ^. Energieerhaltungssatz:

2 2

2 2

mv x

c konst

  . 3. Potentielle Energie der Gravitationskraft im

allgemeinen Fall.

2

F GMm

  r .

2

Mm Mm

U G dr G

r r





  ^.

Energieerhaltungssatz:

2

2

mv Mm

E G konst

  r  .

Die auf dem geschlosse- nen Weg geleistete Ar- beit ist gleich

2 1 4 3 6 5 8 7

1 1 1 1 1 1 1 1

0 W GMm

r r r r r r r r

 

         

 

Kräfte, deren Arbeit auf jedem geschlossenen Weg Null ist, heißen konservativ.

VI. Ein Pendel

Zu bestimmen ist das Bewe- gungsgesetz und die Stangen- kraft für ein Pendel bestehend aus einem leichten Stab und einer Kugel, die man als einen Massenpunkt betrachten kann.

Zum Zeitpunkt t0 wird es aus der Ruhelage um den Winkel ₀ ausgelenkt und freigelassen.

Lösung: Wir stellen zunächst den Energieer- haltungssatz auf

2 2

0

2 2 0

mv mv

mgh mgh

   .

Unter Berücksichtigung der geometrischen Beziehung hl(1 cos )  und v₀ 0 ergibt sich

2

(1 cos ) (1 cos 0) 2

v gl   gl   Daraus folgt



0



2 cos cos v gl   . Wir wollen das 2. Newtonsche Gesetz in polarer Basis schrei- ben. Die zirkularen und radialen Komponenten der Beschleuni- gung sind gleich

a_ l, ar  l

 

 ²

Für die zirkularen und radialen Kraftkomponenten erhalten wir:

sin

F_  mg  F_r mgcosF_N Das 2.N.G. ist dann: ml mgsin,

 

^{2 cos} N

ml  mg  F

   an.

Aus der zweiten Gleichung können wir die Stangenkraft als Funktion des Winkels  be- rechnen:

 

2

cos 3cos 2 cos 0

N

F mg mv mg

 l  

    .

Das Bewegungsgesetz bekommen wir aus der

Gleichung



0



d 2 cos cos

v l d gl t

  

  

durch Trennung der Variablen und Integration.

Ist ein Perpetuum mobile möglich?