(b) Geben Sie die kinetische und die potentielle Energie als Funktion des Variationspa- rametersaan

13. Übungsblatt zur Vorlesung SS 2017

Theoretische Physik II Prof. G. Hiller

Abgabe: bis Donnerstag, den 13. Juli 2017 14:00 Uhr

Aufgabe 1: Variationsrechnung (6 Punkte)

Die Grundzustandsenergie des dreidimensionalen Wasserstoffproblems soll mittels eines Variationsansatzes genähert werden. Verwenden Sie hierzu die Testwellenfunktion

Ψ(~r)=Ne^−r

2

a2 , |~r| =r.

Der Variationsparameter ista∈R.

(a) Bestimmen Sie den NormierungsfaktorN so, dass die gegebene Wellenfunktion die Norm Eins erhält.

(b) Geben Sie die kinetische und die potentielle Energie als Funktion des Variationspa- rametersaan.

(c) Für welchen Wert des Parametersawird die Gesamtenergie minimal?

(d) Vergleichen Sie diesen Energiewert mit dem exakten Ergebnis für die Grundzu- standsenergie des Wasserstoffproblems. Wie groß ist der Fehler?

Hinweis: fürRe(c)>0gilt:

Z∞

0

xexp¡

−c x²¢ dx= 1

2c; Z∞

0

x²exp¡

−c x²¢ dx=

pπ 4p

c³; Z∞

0

x³exp¡

−c x²¢

dx= 1 2c²

Aufgabe 2: Spin-Bahn-Kopplung (6 Punkte)

Für den Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms, Hˆ= −ħ²

2m∆− e²

4π²0r (1)

haben alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl n denselben Energieeigenwert.

(a) Berechnen Sie die Anzahl der entarteten Zustände für ein beliebiges n.

(b) Welchen Einfluss hat die Spin-Bahn Kopplung (s=1/2),

HˆLS=κ(~Lˆ·~S),ˆ (2) auf diese Entartung? Geben Sie die Energieverschiebungen in Abhängigkeit vonl an, welche aufgrund der Spin-Bahn Kopplung entstehen.

(c) Betrachten Sie nun n = 3. Berechnen und skizzieren Sie die resultierenden Ener- gieniveaus und geben Sie für jedes Niveau den Entartungsgrad an. Beachten Sie, dass

κ∝ 1

n³l(l+1)(2l+1) (3)

gilt.

1

Aufgabe 3: Linearer Stark-Effekt (8 Punkte) Der Stark-Effekt ist das Analogon zum Zeeman-Effekt und beschreibt die Aufspaltung der Spektrallinien in einem statischen, elektrischen Feld. Zum ungestörten Wasserstoff- Hamiltonoperator

Hˆ₀= p² 2m−e²

r (4)

kommt ein elektrisches Störpotential

Hˆ₁=e~r·~E (5)

hinzu. Das Feld zeige inz-Richtung, sodassE^~=E~ez.

(a) Im Grundzustand gilt|nl m〉 = |100〉sowieE₁⁽⁰⁾= −e²/2a₀, wobeiE⁽_n^j)die Energie des n.ten Niveaus inj. Ordnung Störungstheorie ist. Berechnen Sie über〈100|Hˆ1|100〉

die Verschiebung der Grundzustandsenergie in erster Ordung der elektrischen Störung.

(b) Betrachten Sie die im ungestörten System 4-fach entarteten Zustände mitn=2. Wie lauten diese entarteten Zustände? Um Störungstheorie anwenden zu können, muss zunächst der entartete Unterraum diagonalisiert werden. Argumentieren Sie mithil- fe der Parität der Wellenfunktion, dass nur zwei identische Außerdiagonalelemente übrigbleiben. Hinweis: Es gilt[L_z,H₁]=0.

(c) Berechnen Sie explizit dieses Matrixelement, d.h. eines der identischen Außerdia- gonalelemente aus b) in Ortsdarstellung mit den Ihnen bekannten, ungestörten Wellenfunktionen:

Ψ200= 1 4p

2π 1 a

3 2

0

exp

½µ

− r 2a₀

¶¾

· µ

2− r a₀

¶

(6)

Ψ210= 3

4πcosθ 1 q

24a₀³ exp

½µ

− r 2a₀

¶¾r

a₀ (7)

(d) Diagonalisieren Sie nun den entarteten Unterraum aus b) und bestimmen Sie die Energiekorrektur und die neuen Eigenzustände des gestörten Hamiltonoperators in erster Ordnung Störungstheorie.

Webseite zur Vorlesung:

http://people.het.physik.tu-dortmund.de/~ghiller/TH2-SS2017.html

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