Ubungen/L¨ ¨ osungen zur Klassischen Experimentalphysik II SS 2017

Alexey Ustinov, Hannes Rotzinger Karlsruher Institut f¨ur Technologie (KIT)

Ubungen/L¨ ¨ osungen zur Klassischen Experimentalphysik II SS 2017

Ubungsblatt 10 ¨ · Besprechung am 5. Juli 2017

Aufgabe 32: (2.5 Punkte)

(a) R = ¯U /I¯= 1,64 Ω (b) |Z|= ˜U /I˜= 5,03 Ω

(c) L= ^X_ω^L =p

|Z|²−R²/ω= 15,1 mH Aufgabe 33: (2.5 Punkte)

Abgabe bis 19.1.2014, 12 Uhr. Zu sp¨at eingereichte L¨osungen werden nicht bewertet!

Aufgabe 1: Spule (7 Punkte)

Durch eine Spule fließt bei U = 10 V Gleichspannung ein Strom von I = 6, 1 A und bei U ˜ = 10 V Wechselspannung von 50 Hz ein Strom von I ˜ = 1 , 99 A

(a) [2 P] Welchen Wert hat der ohmsche Widerstand R?

(b) [2 P] Welchen Wert hat der Scheinwiderstand

|

Z

|

? (c) [3 P] Welchen Wert hat die Induktivit¨at L der Spule?

L¨ osung:

(a) R = U /I = 1, 64 ⌦ (b)

|

Z

|

= U ˜/I ˜ = 5, 03 ⌦

(c) L =

^X_!^L

=

q

|

Z

|²

R

²

/! = 15, 1 mH

Aufgabe 2: RCL-Schwingkreis I (7 Punkte)

Ein Serienschwingkreis, bestehend aus einer Spule mit der Induktivit¨at L = 10 mH, einem ohmschen Wicklungswiderstand R = 0, 1 k⌦ und einem Kondensator der Kapazit¨at C = 0, 47

µF, wird durch eine angelegte Wechselspannung mit der Amplitude

U

₀

= 3 V und der Frequenz, bei der der Betrag der Spannungsamplitude am Kondensator maximal wird, zu erzwungenen Schwingungen angeregt.

(a) [1 P] Skizzieren Sie den Versuchsafbau.

(b) [3 P] Mit welcher Kreisfrequenz schwingt der Schwingkreis?

(c) [3 P] Welche mittlere Leistung wird durch den Wicklungswiderstand verbraucht?

L¨ osung:

(a) (b)

U = U

₀

e

^i!t

,

|

U

_C|

=

|

I

|

!C = U

₀

|

Z

|

!C = U

₀

!C

"

R

²

+

✓

!L 1

!C

◆2# 1/2

,

= U

₀

C

"

!

²

R

²

+

✓

!

²

L 1 C

◆2# 1/2

1 / 6

Experimentalphysik II WS 2014/15

maximal, wenn d

d!

²

"

!

²

R

²

+

✓

!

²

L 1 C

◆2#

!=!r

= 0,

R

²

+ 2L

✓

!

_r²

L 1 C

◆

= 0, R

²

+ 2!

_r²

L

²

2L

C = 0

)

!

_r

=

s

1 LC

1 2

✓

R L

◆2

= 12758 s

¹

(c)

P = I

²

R = U

₀²

R

|

Z

|²

cos

²

(!t), cos

²

(!t) = 1 2

P ¯ = 1 2

U

₀²

R

|

Z

|²

= 1 2

U

₀²

R R

²

+

h

!

r

L

_!r¹_Ci2

einsetzen ergibt ¯ P = 0, 039 W.

Aufgabe 3: RCL-Schwingkreis II (13 Punkte)

Ein Zweipol besteht aus einer Reihenschaltung eines Widerstandes R

₁

einer Induktivit¨at L und einer Kapazit¨at C, welche wiederum mit einem Widerstandes R2 parallelgeschaltet ist.

(a) [1 P] Skizzieren Sie den Versuchsafbau.

(b) [3 P] Es seien R

₁

= 100 ⌦, R

₂

= 300 ⌦, L = 100 mH, C = 2

µF und die Frequenz der

Schwingung f = 100 Hz. Wie groß ist die Impedanz Z = R + jX dieses Zweipols?

(c) [3 P] Skizzieren Sie R und X als Funktion der Frequenz f . (d) [3 P] Welchen Wert nimmt Z f¨ ur f = 0 bzw. f

! 1

an?

(e) [3 P] Bei welcher Frequenz ist die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom null?

L¨ osung:

maximal, wenn

d d!²

"

!²R²+

✓

!²L 1 C

◆2#

!=!r

= 0,

R²+ 2L

✓

!²_rL 1 C

◆

= 0,

R²+ 2!_r²L² 2L C = 0

)!r = s

1 LC

1 2

✓R L

◆2

= 12758 s ¹

(c)

P =I²R = U₀²R

|Z|² cos²(!t), cos²(!t) = 1 2

P¯ = 1 2

U₀²R

|Z|² = 1 2

U₀²R R² +h

!_rL _!¹

rC

i2

einsetzen ergibt ¯P = 0,039 W.

Aufgabe 3: RCL-Schwingkreis II (13 Punkte)

Ein Zweipol besteht aus einer Reihenschaltung eines Widerstandes R₁ einer Induktivit¨at L und einer Kapazit¨at C, welche wiederum mit einem Widerstandes R2 parallelgeschaltet ist.

(a) [1 P] Skizzieren Sie den Versuchsafbau.

(b) [3 P] Es seien R₁ = 100 ⌦, R₂ = 300 ⌦, L = 100 mH, C = 2µF und die Frequenz der Schwingung f = 100 Hz. Wie groß ist die Impedanz Z =R+jX dieses Zweipols?

(c) [3 P] Skizzieren Sie R und X als Funktion der Frequenz f. (d) [3 P] Welchen Wert nimmt Z f¨ur f = 0 bzw. f ! 1 an?

(e) [3 P] Bei welcher Frequenz ist die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom null?

L¨osung:

2 / 6 Aufgabe 34: (5 Punkte)

Aufgabe 35: (4 Punkte)

der BlindwiderstandX null wird. Dies f¨uhrt auf die Frequenz

!= s 1

LC

1

R₂²C² = 1491 Hz, bzw. f = !

2⇡ ⇡237 Hz

Aufgabe 4: komplexer Leitwert (10 Punkte)

Neben der komplexen ImpedanzZ f¨uhrt man auch einen komplexen LeitwertY := 1/Z ein.

(a) [1 P] Stellen Sie eine Formel f¨ur den komplexen Leitwert einer Serienschaltung aus einer Induktivit¨at und einem ohmschen Widerstand auf.

(b) [3 P] Zeigen Sie: Die Punkte Y(!)[0 ! <1]—also die Spitzen der zuY geh¨orenden Zeiger als Funktion von!—liegen auf einem Halbkreis in der komplexen Ebene. Geben Sie die Parameter dieses Kreises (Radius, Lage des Mittelpunktes an).

(c) [3 P] An eine durch einen komplexen Leitwert Y charakterisierte Strahlung wird eine sinusf¨ormige Wechselspannung mit Frequenz! und AmplitudeU0 angelegt; in komple- xer Schreibweise ist alsoU(t) = U₀·e^i!t. Die komplexe ScheinleistungS := ¹₂U^⇤(t)Y U(t) ist zeitlich konstant. (Hinweis: Der hochgestellte ^⇤ steht f¨ur die komplex konjugierte Gr¨oße!). Welche physikalische Bedeutung haben Realteil, Imagin¨arteil und Betrag von S?

(d) [3 P] Wir verallgemeinern: U(t) sei die Summe von n sinusf¨ormiger Signale mit Fre- quenzen !_k(k = 1...n). Zeigen Sie: Die analog gebildete Gr¨oße S(t) ist jetzt zwar zeitabh¨angig, ihr zeitlicher Mittelwert ist aber gleich der sich f¨ur die einzelnen Fre- quenzkomponenten ergebenden (zeitunabh¨angigen) Scheinleistungen.

Bemerkung: Die dieser zugrunde liegenden algebraischen zusammenh¨ange werden Ih- nen im Zusammenhang mit der Quantenmechanik wieder begegnen.

L¨osung:

(a) Z =R+i!L!Y = _R+i!L¹ = _R^{R i!L}2+(!L)²

(b) AusY kann man ablesen:

x:=<(Y) = R

R²+ (!L)²; y:==(Y) = !L R² (!L)² und daraus wiederum l¨asst sich ablesen:

x(! =o) = 1

R x(!! 1) = 0 x(!= R L) = 1

2R; y(!=o) = 0 y(!! 1) = 0 y(!= R

L) = 1 2R

Daher (vgl. Skizze):Wenn Behauptung stimmt, dann muss es sich um den Kreis um den Punkt _2R¹ |0 mit Radius _2R¹ handeln. Dieser Kreis hat die Gleichung :

✓

x 1

2R

◆2

+y² =

✓ 1 2R

◆2

Rechne nach:

✓

x 1

2R

◆2

+y² =

✓ 1 2R

◆2

=

✓ R R²+ (!L)²

1 2R

◆2

+

✓ !L R²+ (!L)²

◆2

= 2R² R² (!L)^{2 2}+ (2!LR)² 4R²(R²+ (!L)²))²

= R²+ (!L)^{2 2} 4R²(R²+ (!L)²))² =

✓ 1 2R

◆

q.e.d.

(c)

U(t) =U0·e^i!t!U^⇤(t) =U0·e ^i!t

!S = 1

2U^⇤Y U = 1

2U₀^⇤Y U0 = const.

!S = 1

2|U0|²1 Z = 1

2|U0| · |I0|e^i!t

: Phasenverschiebung des Stroms relativ zur Spannung

!S =U_e↵·I_e↵·(cos +isin )

(d)

U(t) =X

k

U_k·e^i!kt !U^⇤(t)X

l

U_l·e ^i!lt

! S(t) = 1 2

X

k,l

U_l^⇤Y U_k·e^{i(!k !l)t}

F¨ur k 6= l ist e^{i(!k !l)t} die Summe aus einem Cosiuns- und einem Sinusterm, die beide im zeitlichen Mittel verschwinden. Zum Zeitmittel tragen daher nur die Summanden mit k=l bei und wir erhalten:

< S(t)>= 1 2

X

k

U_k^⇤Y U_k

Die Summanden entsprechen den Beitr¨agen der einzelnen Frequenzen.