Ubungen/L¨ ¨ osungen zur Klassischen Experimentalphysik II SS 2017

Alexey Ustinov, Hannes Rotzinger Karlsruher Institut f¨ur Technologie (KIT)

Ubungen/L¨ ¨ osungen zur Klassischen Experimentalphysik II SS 2017

Ubungsblatt 7 ¨ · Besprechung am 14. Juni 2017

Aufgabe 22:Magnetismus

? Tr¨c agt man f¨ur ein ferromagnetisches Material die magnetische Flussdichte gegen das ¨außere Magnetfeld auf, so erh¨alt man eine Kurve, die von der zeitlichen ¨Anderung der Felder ¨abh¨angt.

Beginnt man mit einem nicht magnetisierten Material so findet man ein n¨aherungsweise lineares Verhalten. Bei gr¨oßeren Feldern treten S¨attigungseffekte auf. Diese k¨onnen auf die vollst¨andige Ausrichtung der Weiß’schen Bezirke zur¨uckgef¨uhrt werden.

Wird das Feld wieder verringert so bleibt die Orientierung zun¨achst erhalten. Auch ohne ¨außeres Feld findet man eine Magnetisierung, die so genannte Remanenz B_r. Dies ist die charakteri- stische Eigenschaft eines Permanentmagneten. Erst wenn ein Gegenfeld (das KoerzitivfeldHc) angelegt wird kann diese Magnetisierung auf Null reduziert werden. F¨ur ein st¨arker negatives Feld tritt eine negative Magnetisierung auf, welche schließlich ebenfalls s¨attigt. Gute Perma- nentmagnete haben hohe Koerzitvfeldst¨arken und hohe Remanenzen. Die Remanenzfelder lie- gen in der Gr¨oßenordnung von 1 T, w¨ahrend die Koerzitivfelder von einigen 1000 bis zu einigen 100000 A/m gehen k¨onnen. Die h¨ochsten Werte erzielt man mit seltenen Erden, da diese eine Große Zahl ungepaarter Elektronen enthalten.

Hysteresis (grich. = das Zur¨uckbleiben) Der Zusammenhang zwischen der magnetischen Fluß- dichte B und der magnetischen Feldst¨arke H beim Ummagnetisieren von magnetischen Stoffen ist durch die Hysteresekurve charakterisiert.

Fl¨ache: Maß f¨ur Verluste beim Ummagnetisieren.

Aufgabe 23: Topfmagnet

I

Hds=N I H_il+H_ad=N I B_a =B_i →H_a =µ_rH_i

N I =H_a( l µ_r +d) B_a= µ₀N I

l µr +d H_a⁰ :

Z

Bda= 0 =B_a·A+B_a⁰A⁰ mit A=πr²₁, A⁰ =π(r₃²−r²₂)

B_a⁰ =−B_aA A⁰ F¨ur die Feldenergie:

W_m =HBV = 1 2

V B² µ₀ W_m = 1

2µ₀(B_a²Ad+B_a⁰²A⁰d) = 1

2µ₀B_a²dA(1 + A A⁰) W_m = 1

2

(N I)²dAµ²₀ µ₀(_µ^l

r +d)²(1 + A A⁰) l/µ_r d→ Kraft:

dW_m

d(d) =F = 1 2

(N I)²A l² µ²_rµ0

1 + A

A⁰

⇐⇒

I = s

2mg N²

l² Aµ²_rµ0

A⁰ A+A⁰ A=πr₁², A⁰ =π(r²₃ −r₂²)→I = 3.1 A

Aufgabe 24: magnetisierte Hohlkugel

(a) Im innern und außerhalb der Kugel H~ = 0. Im Rand istH

HdA= ^Q_µ^m

0 → |H|4πr~ ² = ^Q_µ^m

0

r_i ≤r≤r_a :|H|~ = _4πµ¹

0

Qm

r² (radial symetrisch) (Sieht aus wie das ’Coulomb-Gesetz’: H = _4πµ¹

0

Qm

r²

~r

|~r|)

(b) divB~ = 0 (alle mag. Feldlinien sind geschlossen)→B~ = 0 und damit B(r) = 0~ B =µ₀(H+M) = 0 ⇐⇒ M =−H~ =− 1

4πµ₀ Q_m

r²

→M =− Qm

4πµ₀r² (c) Wird aus der Wertung genommen, da nicht eindeutig!

Die Energiedichte

ρ_E = 1 2

H ~~B

ist 0 fallsB~ = 0 gilt. Dies ist der Fall der sich aus (b) ergibt. F¨ur alleµ_r, kann man folgendes ableiten:

Energiedichte im Magnetfeld ρ_E = ^µr₂^µ0H² (H aus (a))

→W = Z

V

ρ_EdV = Z

V

µ_rµ₀ 2

Q²_m 16π²µ²₀r⁴dV W =

Z ra

ri

µ_rQ²_m4πr²

32πµ₀r⁴ dr= µ_rQ²_m 8πµ₀

−1 r

ra

ri

Magnetische Energie der Hohlkugel:

W = µ_rQ²_m 8πµ0

1 ri

− 1 ra

Aufgabe 25: Drehmoment

(a)

F~_i =I~l_i×B,~ i= 1,2,3,4 und B~ =B(1,0,0),

~l₁ =l(cosα,0,sinα) = −~l₃

~l₂ =l(0,−1,0) =−~l₄

F~₁ =IBl(cosα,0,sinα)×(1,0,0) =−IBlsinα(0,1,0) =−F~₃ F~2 =−IBl(0,1,0)×(1,0,0) =IBl(0,0,1) = −F~4

F¨urα= 0^o →~l||B~ →F₁ =F₃ = 0 F¨urα= 90^o →~l⊥B~ →F₁, F₃ =max.

(b) Drehmoment

M~ =~r×F~ r₁ = ₂^l(0,1,0) =−r₃

r₂ =−₂^l(cosα,0,sinα) =−r₄

F~|| −~r₁ und F₃|| −~r₃ →M~₁ =M~₃ = 0 M~2 =~r2×F~2 =−IBll

2(cosα,0,sinα)×(0,0,1)

=−1

2IBl²cosα(0,1,0) M~₄ =~r₄×F~₄ =−IBll

2(cosα,0,sinα)×(0,0,1)

=−1

2IBl²cosα(0,1,0) =M~₂ M~ges =M~2+M~4 =−IBl²cosα(0,1,0)

Das Drehmoment erh¨oht sich ×N falls eine Spule mit N−Windungen vorliegt.

(c)

F~ =I~l×B~

M~ =~r×F~ →M~ =I~r×~l×B~ M~_ges =X

i

M~_i = 2M~₂ = 2M~₄

~r4×~l4 = l²

2(cosα,0,sinα)×(0,1,0) = l²

2(−sinα,0,cosα) = 1 2

A,~

wobei A~ der Fl¨achennormalenvektor ist. F¨urM~_ges =I ~A×B~ ergibt sich mit dem magneti- schen Moment m~ =I ~A

M~_ges =m~ ×B~