“Logische Grundlagen der Mathematik”, WS 2014/15
Thomas Timmermann 26. Januar 2015 Die Kontinuumshypothese
Die Nummer 1 von Hilberts 23 Problemen
David Hilbert (1862–1943)
1900 präsentierte David Hil- bert auf dem 2. Internationalen Mathematiker-Kongress eine Liste von 23 Problemen.
1. Problem
Beweise oder widerlege die soge- nannte
Kontinuums-Hypothese (CH):
Für keine Menge X gilt |N|<|X|<
|R|.
Kurt Gödel (1906–1978)
Theorem (1938) Ist das Axiomensy- stem ZFC widerspruchsfrei, so auch ZFC + CH.
Theorem (1963) Ist das Axiomensy- stem ZFC widerspruchsfrei, so auch
ZFC+¬CH. (1934–2007)Paul Cohen
Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze 1. Unvollständigkeitssatz
Jedes hinreichend mächtige for- male System ist entweder wider- sprüchlich oder unvollständig.
2. Unvollständigkeitssatz
Jedes hinreichend mächtige for- male, widerspruchsfreie System kann nicht die eigene Wider- spruchsfreiheit beweisen.
Zur Lektüre empfohlen:
6 ORDINALZAHLEN UND TRANSFINITE INDUKTION
6 Ordinalzahlen und transfinite Induktion
Die natürlichen Zahlen kann man verwenden zum
(i) Abzählen der Anzahl von Elementen einer endlichen Menge,
(ii) Anordnen von endlich oder abzählbar unendlich vielen Elementen einer Menge.
Kardinalzahlen ermöglichen (i) für unendliche Mengen und Ordinalzahlen ermögli- chen (ii).
Wir betrachten Ordinalzahlen auch, um das dem Lemma von Zorn zu beweisen, welches eine Art Induktionsprinzip für überabzählbar große Mengen darstellt und äquivalent ist zum Auswahlaxiom.
Zur Wiederholung: Eine partielle Ordnung oder Halbordnung auf einer Menge A ist eine Relation ≤ auf A, die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Eine Halbordnung auf A heißt Ordnung, falls für alle x , y ∈A gilt: x ≤y oder y ≤x. Definition. Man nennt eine Ordnung auf einer MengeAWohlordnungundAwohl- geordnet, falls jede Teilmenge B ⊆A ein Minimum hat, also ein x ∈B mit x ≤y für alle y ∈B.
Zum Beispiel ist N0 wohlgeordnet, aber nicht R, weil etwa β := (0,1) ⊆ R kein Minimum hat.
Definition. Zwei geordnete Mengen A und B heißen (ordnungs-)isomorph, wenn es eine Bijektion f : A→B gibt, sodass ∀x , y ∈A:x ≤y ⇔f(x) ≤f(y)
Offenbar ist Ordnungs-Isomorphie ähnlich wie Gleichmächtigkeit reflexiv, symme- trisch und transitiv und somit eine Äquivalenzrelation auf der Klasse aller wohl- geordneten Mengen. Ordinalzahlen repräsentieren die Äquivalenzklassen für diese Äquivalenzrelation (wie wir erst später sehen werden).
Definition. Eine Menge α heißt Ordinalzahl, falls sie
(i) transitiv ist, also aus y ∈ x ∈ α folgt: y ∈ α oder, äquivalent, aus x ∈ α folgt: x ⊆α;
(ii) durchx ≤y :⇔(x ∈y)∨(x =y) eine totale Ordnung auf α definiert wird, d.h. für alle x , y ∈α gilt x ∈y, y ∈x oder x =y.
Man schreibt On für die Klasse aller Ordinalzahlen (sie bilden keine Menge!).
Beispiel. (i) Eine natürliche Zahl ist eine Ordinalzahl genau dann, wenn jede nichtleere Teilmenge ein Minimum und Maximum hat.
(ii) N0 ist eine Ordinalzahl.
(iii) s(N0) =N0∪ {N0} ist eine Ordinalzahl.
Satz. Jede Ordinalzahl α ist wohlgeordnet.
Beweis. Seiβ ⊆α. Nach dem Fundierungsaxiom existiert einx ∈β mit x∩β =∅. Gäbe es einy ∈β mit y < x, so wärey ∈x und somity ∈x∩β, Widerspruch.
Satz. Sei α eine Ordinalzahl.
(i) Jedes β ∈α ist eine Ordinalzahl.
(ii) Sei β ⊆α transitiv. Dann ist β =α oder β ∈α;
(iii) Sei γ eine Ordinalzahl. Dann gilt α∈γ oder γ ∈α oder α=γ.
(iv) s(α) =α∪ {α} ist eine Ordinalzahl.
Bei der Veranschaulichung und dem Beweis hilft schon das Beispiel der natürlichen Zahlen, für die wir ähnliche Aussagen bewiesen hatten.
Beweis. (i) Seiβ ∈α. Dann ist β
• wie α durch ≤ geordnet, weil β ⊆α;
• transitiv, weil aus y ∈x ∈β ∈α folgt: y ≤x ≤β, also y ≤β, also y ∈β. (ii) Seiβ 6=α. Wir zeigen: β =r =: min(α\β)∈α.
“⊇”: Aus x ∈r folgt x < r = min(α, β), alsox ∈β.
“⊆”: Aus x ∈ β ∈ α und x 6∈ r folgt r ∈ x (r und x sind vergleichbar) und aus r ∈x ∈β folgt r ∈β (β ist transitiv), Widerspruch.
Definition. Eine Ordinalzahl α heißt Nachfolgezahl, wenn α = β ∪ {β} für eine Ordinalzahl β, und sonst Limeszahl.
Beispiel. ω := N0 ist eine Limeszahl, denn wäre N0 = β ∪ {β}, so wäre β ∈ N0 unds(β)6=N0.
6 ORDINALZAHLEN UND TRANSFINITE INDUKTION
Lemma. Eine Ordinalzahl λ 6= ∅ ist genau dann eine Limeszahl, wenn λ = S λ (die Vereinigung aller Elemente von λ).
Beweis. Ist α = s(β) eine Nachfolgezahl, so folgt aus der Transitivität von β: Sα=S
(β ∪ {β}) =β 6=α.
Ist λ eine Limeszahl und β ∈ λ, so ist s(β) = β ∪ {β} ⊆ λ, also s(β) ∈ λ und somit β ∈S
{β} ⊆S
λ, also λ=S λ.
Satz. (Prinzip der transfiniten Induktion) Seiφeine Eigenschaft von Ordinalzahlen und es gelte:
(i) φ(0) ist wahr,
(ii) ∀α:φ(α) wahr ⇒φ(s(α)) wahr
(iii) (λ Limeszahl und ∀α < λ :φ(α) wahr) ⇒ φ(λ) wahr.
Dann gilt φ(α) für alle α∈On.
Proof. Angenommen, φ(α) ist falsch für ein α ∈On. Sei µ := min{ξ ≤ α : φ(ξ) falsch}. Dann istµ6= 0und für alle ξ < µistφ(ξ) wahr. Istµeine Nachfolgerzahl, folgt ein Widerspruch zu (ii); istµeine Limeszahl, folgt ein Widerspruch zu (iii).
