TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT DORTMUND Sommersemester 2008
FAKULT ¨AT STATISTIK 21.5.2008
Prof. Dr. G. Trenkler Blatt 6
Dipl.-Stat. M. Arnold Dipl.-Math. R. Kwiecien
Ubungen zur Vorlesung¨
Statistik IV
Aufgabe 20
a) Konstruieren Sie zwei stochastisch unabh¨angige ZufallsvariablenX und Y mit stetigen Vertei- lungen und den folgenden Eigenschaften: Ein Lageparameter der Verteilung von X ist gr¨oßer als der entsprechende Lageparameter der Verteilung vonY (also z.B. E(X)> E(Y) oder x0,5 > y0,5), aber gleichzeitig giltP(X > Y)< 12.
b) Ist der Wilcoxon-Rangsummen-Test in der Situation aus (a) geeignet, um einen Test f¨ur diesen Lageparameter durchzuf¨uhren? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 21(halbe Punktzahl)
Bei einem Biertest wurden 4 Biersorten von einer Gruppe von Pr¨ufpersonen auf folgende Art bewertet.
Produkt bitter hefe fruchtig stark
DAB 6,4 7,1 3,5 6,4
Kronen 2,3 5,7 5,1 2,9
Stifts 5,1 6,5 3,8 5,7
Thier 6,5 6,6 3,5 6,5
Fassen Sie die Biersorten als Stichprobe aus der Menge aller Dortmunder Biere auf. Bestimmen Sie einen Sch¨atzer f¨ur die mittlere Bitterkeit, Hefigkeit, Fruchtigkeit bzw. St¨arke der Dortmunder Biere. Sch¨atzen Sie die Varianzen dieser Variablen und die Kovarianzen zwischen jeweils zweien von ihnen.
Aufgabe 22
Betrachten Sie die Transformation
yi =Axi.+b, i= 1, . . . , n, wobeiA∼(q, p) und b∼(q,1) ist. Zeigen Sie, dass dann
¯
y=A¯x+b und DY =ADXA0
gilt, wobei ¯x den Mittelwertvektor undDX die Kovarianzmatrix f¨ur die xi. bezeichnen.
Aufgabe 23(halbe Punktzahl)
Zeigen Sie, dass die Stichprobenkovarianzmatrix Dder standardisierten Beobachtungen xij −x¯j
pdjj (i= 1, . . . , n;j = 1, . . . , p)
gleich der StichprobenkorrelationsmatrixR der urspr¨unglichen Beobachtungen xij ist.
Aufgabe 24
Zeigen Sie, dass der Rang der StichprobenkorrelationsmatrixR gleich dem Rang der Stichproben- kovarianzmatrixS ist.
Abgabe: Mittwoch, 28.5.2008, 8:15 Uhr, in den Briefkasten im Mathefoyer. Bitte vermerken Sie auf der Abgabe, welche ¨Ubung Sie besuchen.
