in die Meteorologie (met210)

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie (met210)

- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

IV Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik

– Divergenz und Rotation – Massenerhaltung

– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung

– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung

– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme

– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere

– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

3

IV.2 Die Bewegungsgleichung

• Die Newtonschen Axiome

• Die wirksamen Kräfte – Druckgradient

– Schwerkraft – Reibungskraft

– Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)

• Die Navier-Stokes-Gleichung

• Skalenanalyse

– geostrophische Approximation – hydrostatische Approximation

– geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem

IV.2.1 Bewegungsgleichung im Inertialsystem

const v

K = 0 _a = Axiom

1.

dt K v m d ^a =

Axiom 2.

21

12 K

K = − Axiom 3.

=

i Ki

K

) Axiom"

("4.

Korrolar

Im kräftefreien Raum bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit fort.

Auf angreifende Kräfte reagiert ein Körper mit einer Beschleunigung (auch Definition der Masse).

Greift eine Kraft an einem Körper an, so wirkt eine gleiche Kraft mit umgekehrtem

Vorzeichen (actio = reactio).

Unterschiedliche Kräfte addieren sich vektoriell zur Gesamtkraft.

Die Newtonschen Axiome, die nur in einem Inertialsystem gelten, sind der Ausgangspunkt für die Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde.

5

IV.2.2 Auf die Atmosphäre wirksame Kräfte

a) in einem Inertialsystem gilt nach Axiom 2 und dem Korrolar

ng schleunigu Reibungsbe

g chleunigun Schwerebes

unigung entbeschle

Druckgradi

mit

gung Beschleuni

oder

Kraft ifische

massenspez

mit

,

3 2 1 3

1

f f f f

f

f m f

K dt

v K d

dt v m d

i i

a a

=

=

≡

=

=

Druckgradientbeschleunigung

B A

x₀, y₀, z₀

x z

y x z

y

• An allen Wänden des Volumens ( x y z) wirkt der Luftdruck als Impulsflussdichte p=Kraft/Fläche =Impuls/(Zeit x Fläche)

• Fläche A: p(x₀+ x/2)=p(x₀)+( p/ x)( x/2)

• Fläche B: p(x₀ - x/2)=p(x₀) -( p/ x)( x/2) Nettoimpulsflussdichte in x-Richtung p(x₀+ x/2)-p(x₀ - x/2)=- ( p/ x) x Nettokraft (Druck x Fläche)

K_x=-( p/ x) x y z= -( p/ x)V

massenspezifische Kraft (Beschleunigung) f_x=K_x/m=-( p/ x)V/m -(1/ )( p/ x)

z p f p

y f p

x

f_{p x} p _{p y p z} = − ∇

∂

− ∂

∂ =

− ∂

∂ =

− ∂

= ρ ρ ρ ρ

1 1

1 1

p ,

,

, , , oder f

7

Schwerebeschleunigung

−

−

=

=

z N

y N N

g

g g g

f

, ,

0

gN g^z

sein g

che Erdoberflä der

auf senkrecht muss

igung lbeschleun

Zentrifuga

on) (Gravitati Anziehung

Newtonsche mit

: bereits kennen

Wir

g g g

g g

g

Z N

Z N +

=

Im Inertialsystem dürfen wir aber die Zentrifugalbeschleunigung der Erde nicht einbeziehen.

Also gilt

Reibungskraft (1)

x, y, z

Austausch von Molekülen zwischen

den Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeit durch thermische Bewegung

molekulare Reibung=

Austausch von Luftpaketen zwischen

den Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeit durch

Turbulenz

turbulente Reibung=

«

Prinzip der Reibung: Analog zum Druck ist Reibung als Impulsaustausch zu sehen, allerdings nun parallel zu den Grenzflächen

9

Reibungskraft (2)

Grundlegender Ansatz:

Schubspannung, intuitiv zunächst nur

für Reibung in der Horizontalen ^{mit ,}[ ] ^Zähigkeit

ms kg z

u

=

∂

= ∂

β β β τ

[ ] ^{Impulsflussdichte wie der Druck}

m / /

2s s m kg m

s m ms

kg =

τ =

) / (z₀ z 2

xz + ∆

τ

) / (z₀ z 2

xz − ∆

τ

x y

z x₀, y₀, z₀

• _xz: Schub in Richtung x durch Impulsaustausch in Richtung ±z

• wirkt oben und unten am Volumen

• Differenz bewirkt Nettoschub

10

Reibungskraft (3)

xz(z₀+ z/2) = 0

xz(z₀- z/2) > 0

xz= _xz(z₀+ z/2)- _xz(z₀- z/2)<0 Abbremsung

xz(z₀+ z/2) > 0

xz(z₀- z/2) < 0

xz= _xz(z₀+ z/2)- _xz(z₀- z/2)»0 starke Beschleunigung

xz(z₀+ z/2) >0

xz(z₀- z/2) > 0

xz= _xz(z₀+ z/2)- _xz(z₀- z/2)~0 weder Abbremsung noch Beschleunigung

Entscheidend für Abbremsung oder

Beschneunigung ist also nicht der Impulstransport selbst, sondern dessen räumliche Änderung:

Konvergenz beschleunigt, Divergenz bremst.

z u

∂

= β ∂ τ

11

Reibungskraft (5)

Berechnung der Nettokraft in x-Richtung (Impulsflussdivergenz):

x nach ng

schleunigu Reibungsbe

/ )

( )

/ (

über

) / (

) / (

, , ,

z m

V z m

f K

z z z

z z

z y z x

y x z

z y

x z

z K

xz x xz

x R R

xz xz xz xz

xz xz

x R

∂

= ∂

∂

= ∂

=

∂ ∆

±∂

=

∆

±

∆

∆

∂ ∆

= ∂

∆

∆

∆

−

−

∆

∆

∆ +

=

τ ρ τ

τ τ τ τ

τ τ

1

2 2

2 2

0 0

0 0

Laminare und turbulente Strömungen

t koeffizien Diffusions

er turbulent K

Zähigkeit molekulare

bzw.

he, kinematisc

, mit

) (

) 1 (

1

1

ulent turb

laminar

1 1

2 2

,

ρµ

ν µ υ

ρ ρ ρ ρυ

ρ µ

ρ β τ

ρ

=

∂

∂

∂

≈ ∂

∂

≅ ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

≡ ∂

∂

= ∂

z z u z K

z u

z z u z K

z u z

z u z

z u z

f_{R x} z^xz

Reibungskraft (6)

∂ + ∂

∂

∂ ∂

+ ∂

∂

∂ ∂

+ ∂

∂

∂

=

⋅

∇

=

=

zy zx

yz yx

xz xy

yz xz

zy xy

zx yx

y x

z x

z y

τ τ

τ τ

τ τ

ρ ρ τ τ

τ

τ τ

τ τ

τ

1

f und

_R 1

0 0

0

Problem: Neben _xz existieren noch _xy und _xx,

und analog für die anderen Richtungen _yx, _yy und _yz, und _zx, _zy und _zz. Die _ii sind schon durch die Druckgradientkraft erledigt!

Lösung: Schubspannungstensor

13

Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im Inertialsystem

ρ τ

ρ

−

= 1 1

a p gN

dt v d

In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten die bekannten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigungen nicht auf!

Als brauchbares Inertialsystem kann dabei ein in der Sonne

verankertes Koordinatensystem sein, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels ausrichtet.

b) im erdfesten Bezugssystem

• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern muss.

• Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung im

Inertialsystem beizubehalten.

• Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte

interpretiert werden

IV.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem

15

Coriolisbeschleunigung

- qualitativ (1) - • Ein von P (fest auf der Scheibe)

nach Q geworfener Körper hat auch eine x-Komponente der

Geschwindigkeit; sie entspricht etwa der u-Bewegung von P.

• Nach der Zeit t ist P bei P‘ und auch der Körper muss etwa die gleiche Strecke in x-Richtung nach Q‘ zurück gelegt haben.

• Der Punkt Q hat sich aber nur nach Q‘‘ verlagert, durch die kleinere

Entfernung von der Drehachse.

• Der Körper hat sich also relativ zur Scheibenoberfläche nach rechts bewegt.

• Analoges ergibt sich für die umgekehrte Richtung.

t₀

t+ t

P P‘

Q

Q‘‘

Q‘

Coriolisbeschleunigung

- qualitativ (2) - • Die Vektoren seien Wege nach einer festen Zeit t.

• P wirft nach Q (blauer Vektor).

• Doch gleichzeitig ist die Drehung der Scheibe zu berücksichtigen (roter Vektor).

• Die Summe ist der grüne Vektor, der die Position des Balls im Intertialsystem

anzeigt.

• Beachte nun die Position des Balls Q‘‘ relativ zu der Geraden P‘ Q‘.

Rechtsablenkung

P

P‘

P P‘

Q‘ Q

Q Q‘

Q‘‘

Q‘‘

17

Coriolisbeschleunigung - halb quantitativ (1) -

A t

1

+

2

3

v

s

C B

s= u t=(u (A)- u (B)) t

=(Rcos( ) / t - Rcos( + ) / t) t

=(R(cos( ) - cos( + )) ) t mit Länge und Breite Mit b_C= 2 s/( t)² (Annahme einer

konstanten Beschleunigung nach Ost:

s=1/2b_ct²) und / t=v/R t= R/v folgt

b_C= 2R(cos( )-cos( + )) / ( R/v )

= - 2 v (cos( + )-cos( )) / ( )

= - 2 v ( cos( )) / ( ) -2 vd(cos )/d

= 2 vsin

• Ein Körper startet bei A mit

konstanter Geschwindigkeit v nach B (nach Norden) und hält v aufrecht über ein Zeitintervall t.

• Durch Erhaltung des Ost-Impulses nimmt er dabei eine Relativge-

schwindigkeit in Ostrichtung u auf, und hat nach t die Strecke s nach Osten zurückgelegt.

ϕ

, v sin

b_{C u} = 2Ω

• Der Körper beschleunigt nach rechts in Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Breite

Coriolisbeschleunigung - halb quantitativ (2) -

2 u cos

P

2 u sin

2 u R

r

• Ein Körper bewege sich mit der Relativgeschwindigkeit u nach Ost.

• Er hat dann die

Absolutgeschwindigkeit u_a=u+ r=u+ Rcos .

• Da er einer Kreisbewegung folgt folgt eine Zentrifugalbeschleuni- gung von (u_a)²/r.

( )

r u u

r r r u

r

u_a^{2 2} ₂ ²

2Ω + +

Ω Ω =

= +

• Der erste Term ist das bekannte g_z.

• Die beiden letzten Terme beschreiben die zusätzliche Zentrifugalbeschleuni- gung durch die (relative) u-Bewegung.

• Der dabei meist dominierende mittlere Term (nur er hängt vom Vorzeichen von u ab!) lässt sich in eine z und eine y-Komponente aufteilen

(Abbildung).

• Offensichtlich erfolgt in der Horizon- talen wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit der Beschleunigung

ϕ

, u sin

b_{C v} = −2Ω

19

Coriolisbeschleunigung - formal (1) -

• Betrachtung der Darstellung eines Vektors im Intertialsystem und im rotierenden Erdsystem

• Bildung der zeitlichen Ableitung unter Berücksichtigung der Änderung des rotierenden Koordinatensystems

• Anwendung auf den Vektor der absoluten Geschwindigkeit.

Coriolisbeschleunigung - formal (2) -

x

y z

i j

k

x‘

z‘

y‘ Ω

i ′ j ′

k′

dt a a d

k a j

a i

dt a a d

k a

j a

i dt a

a d

dt k a d dt

j a d dt

i a d

dt a d

dt k a j d

dt a i d

dt a d

dt k j da dt

i da dt da dt

a d

k a j

a i

a

k a j a i a a

z y

x

z y

x

z y

x

y z x

y z x

z y

x

z y

x

× Ω

′ +

=

′

× ′ Ω

′+

× ′ Ω

′+

× ′ Ω

′ +

=

× ′

′Ω

′+

×

′Ω

′+

×

′Ω

′ +

=

′ ′

′ + + ′

′ ′ +

= ′

′ ′

′+ + ′

′ ′

=

+ +

=

′ + ′

′ + ′

′

= ′

+ +

=

System gten

beschleuni im

Änderung e

beobachtet

folgt

daraus

Vektor

21

Coriolisbeschleunigung

- formal (3) - ^{dt a}

a d dt

a

d = ′ + Ω ×

( )

r dt v

r r d

dt d dt

v d

r v

dt r d dt

v d

dt v v d

dt v d

r v

dt r r d dt

r d

v a a

a

× Ω

× Ω +

× Ω

′ +

× Ω + Ω ×

+ ′

= ′

× Ω

× Ω +

× Ω +

×

′ Ω

′ +

=

×

′ +

=

× Ω +

=

× Ω

′ +

=

=

v mit identisch

_a

Coriolisbeschleunigung - formal (4) -

V IV

II III I

r v

dt r d dt

v d dt

v

d′ = _a − ′Ω × − Ω × − Ω × Ω × 2

I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche

II. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte) III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s

kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar) IV. Coriolisbeschleunigung

V. Zentrifugalbeschleunigung

23

Coriolisbeschleunigung - formal (5)

( )

Ω Ω

−

− Ω

= Ω Ω

Ω

−

=

× Ω

−

≡

ϕ ϕ

ϕ ϕ

cos sin

cos sin

u u

w v

w v

u

k j

i v

f_{C x y z}

2 2 2

2 2

Coriolisbeschleunigung

y

z

Äqu.

ϕ ϕ sin cos

da

z y x

=

=

= 0

Mit dem Coriolisparameter f=2 sin gilt für die horizontale Komponente

h h

C

v k f

u,v fu w

fv fu

w f fv

×

−

=

<<

≅ −

− Ω

= − cos , da

,

ϕ 2

Wo ist u²/r von Folie 18 geblieben?

Navier-Stokes-Gleichung (1)

r v

dt r d dt

v d dt

v

d _a ′Ω × − Ω × − Ω × Ω ×

−

′ =

2

ρ τ

ρ ^{∇ − + ∇ ⋅}

−

= 1 p gk 1 dt

v

d _a

+

fR

v k

g p

v t v

v dt

v

d + ⋅∇ = − ∇ − − Ω × +

∂

= ∂ 1 2

) ρ

(

Dabei wurden

• totale Ableitung in partielle Ableitungen gesplittet

• Rotationsvektor als konstant angenommen

• Zentrifugalbeschleunigung in der Schwerebeschleunigung integriert

• d‘/dt=d/dt gesetzt

• Reibung verallgemeinert

25

Navier-Stokes-Gleichung (2)

fR

v k

g p

v t v

v dt

v

d + ⋅∇ = − ∇ − − Ω × +

∂

= ∂ 1 2

) ρ

(

komponentenweise

( )

z R

y R

x R

f -g

z u p z

w w y

v w x

u w t

w dt

dw

f y v

p z

w v y

v v x

u v t

v dt

dv

f w

x v p z

w u y

v u x

u u t

u dt

du

, , ,

cos

sin

cos sin

+ Ω

∂ +

− ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

+ Ω

∂ −

− ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

+

− Ω

∂ +

− ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

ρ ϕ ρ ϕ

ϕ ρ ϕ

1 2 1 2 1 2

gekoppelte nichtlinear Diff‘gleichungen 2. Ordnung

IV.2.3 Skalenanalyse

- für synoptische Systeme der mittleren Breiten -

• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente (Vertikalwind)

-> statische Grundgleichung

• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente (Horizonalwind)

-> der geostrophische Wind

27

Skalenanalyse (2)

- charakteristische synoptische Größen -

• Horizontalgeschw. U ~ 10 m/s

• Vertikalgeschw. W ~ 10^-2 m/s

• Länge L ~ 10⁶ m (1000 km)

• Höhe H ~ 10⁴ m (10 km)

• Luftdruckvariat. ∆P ~ 10³ Pa (10 hPa)

• Zeit L/U = T ~ 10⁵ s (ca. 1 Tag)

• Coriolisparam. f = 2Ωsinϕ ~ 10^-4 s^-1

• Luftdichte ρ ~ 1 kg/m³

• Luftdruck am Boden p_o ~ 10⁵ Pa (1000 hPa)

Skalenanalyse (3)

– horizontale Bewegungsgleichung -

x

FFr

w x v

p dt

du

) ,

cos sin

( − +

Ω

∂ +

− ∂

= ϕ ϕ

ρ ²

1

y

FFr

y u p dt

dv

,

sin +

Ω

∂ −

− ∂

= ϕ

ρ ²

1

U/T 1/ρ ∆p/L fU fW -

10^-4 10^-3 10^-3 10^-6 - m/s²

...Coriolisbeschleunigung und Druckgradientbeschleunigung heben sich gegenseitig auf!

y fu p

x fv p

∂

− ∂

=

∂

= ∂

ρ ρ

1 1

29

synoptische Skalenanalyse (4)

– geostrophischer Wind -

p f k

p v

k , f y

fu p x

fv p

h

h h

∇

×

=

∇

−

=

∂ ×

− ∂

∂ =

= ∂

ρ

ρ ρ

ρ

1

1 1

1

vh

oder

,

p p 3 p p 2 p

p 1 p

F F_P,H

C,H

vg

T

H

x p , v f

y u p

p f k

v

g g

h g

∂

≡ ∂

∂

− ∂

≡

∇

×

≡

1 1

1

geostrophischer Wind:

30

synoptische Skalenanalyse (5)

- 3. Bewegungsgleichung -

z

f

u z g

p dt

dw

cos +

Ω +

∂ −

− ∂

= ϕ

ρ ²

1

W/T 1/ρ p_o/H g fU -

10^-7 10 10 10^-3 - m/s²

z g

p = − ρ

∂

∂

31

Synoptische Skalenanalyse (6)

- Berücksichtigung der Beschleunigung -

ag

ag u

g v

g f u u

dt v dv

v dt f

du

y fu p

dt dv x

fv p dt

du

) (

, ) (

,

−

−

=

−

=

∂

− ∂

=

∂ +

− ∂

=

− ρ ρ

1 1

Offensichtlich bestimmt der ageostrophische Wind die Änderung des Windes.

Wann ist das wichtig?

ist.

groß Zahl,

- Rossby

² , ,

,

Wenn ^LU R_o

fL U fUL

U fU

U fUT

U fv

fu dt dv dt

du

≡

=

=

=

=

Mit gegebenen Zahlen gilt R_o=0,1, also 10% Fehler bei Anname des

geostrophischen Windes. Bei L=100 km und sonst unveränderten Skalen gilt R_o=1, also 100% Fehler (z.B. für Mesoszyklonen, oder mit U

größer bei Hurrikanen)

Übungen zu IV.2

1. Berechne den Vektor der Druckgradientbeschleunigung, wenn bei

p=1000 hPa und einer Temperatur von 20°C der Luftdruck von Westen nach Osten um 5 hPa auf 100 km abnimmt.

2. Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45°N und am Äquator.

3. Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die Zentrifugalbeschleunigung auf Seite 18 ab.

4. Erläutere die Ableitung der Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen.

5. Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des

Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag mit dem der Coriolisbeschleunigung.

6. Versuche eine Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung für einen Badewannenwirbel.