in die Meteorologie (met210)

(1)

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie (met210)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

(2)

VI Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik

– Divergenz und Rotation – Massenerhaltung

– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung

– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung

– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme

– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur

und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie

teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

(3)

VI.2 Die Bewegungsgleichung

• Die Newtonschen Axiome

• Die wirksamen Kräfte – Druckgradient

– Schwerkraft – Reibungskraft

– Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)

• Die Navier-Stokes-Gleichung

• Skalenanalyse

– geostrophische Approximation – hydrostatische Approximation

– geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem

(4)

• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern muss.

• Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit

Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung (gradlinig und gleichförmig, konstanter Geschwindigkeitsvektor) im Inertialsystem

beizubehalten.

• Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte

interpretiert werden.

VI.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem

(5)

Coriolisbeschleunigung

- qualitativ (1) - • Ein von P (fest auf der Scheibe)

nach Q geworfener Körper hat auch eine x-Komponente der

Geschwindigkeit; sie entspricht der u-Geschwindigkeit von P.

• Nach der Zeit Δt ist P bei P‘ und auch der Körper muss etwa die gleiche Strecke in x-Richtung nach Q‘ zurück gelegt haben.

• Der Punkt Q hat sich aber nur nach Q‘‘ verlagert - durch die kleinere Entfernung von der Drehachse im Vergleich zu P.

• Der Körper hat sich also relativ zur Scheibenoberfläche nach rechts bewegt.

• Analoges ergibt sich für die umgekehrte Richtung.

t

₀

t+Δt

P P‘

Q Q‘‘

Q‘

(6)

Coriolisbeschleunigung

- qualitativ (2) - • Die Vektoren seien Wege nach einer festen Zeit Δt.

• P wirft nach Q (blauer Vektor).

• Doch gleichzeitig ist die Drehung der Scheibe zu berücksichtigen (roter Vektor).

• Die Summe ist der grüne Vektor, der die Position des Balls im Intertialsystem

anzeigt.

• Beachte nun die Position des Balls Q‘‘ relativ zu der Geraden P‘ Q‘.

 Rechtsablenkung

P‘

P P‘

Q‘ Q

Q Q‘

Q‘‘

(7)

Coriolisbeschleunigung - halb quantitativ (1) -

A t

1

+

3

v

s

C B

Δs= Δu

_Ω

Δt=(u

_Ω

(A)- u

_Ω

(B))Δt

=(Rcos(φ)Δλ/Δt - Rcos(φ +Δφ)Δλ/Δt) Δt

=(R(cos(φ) - cos(φ +Δφ))Ω) Δt mit λ Länge und φ Breite Mit b

_C

= 2Δs/(Δt)² (Annahme einer

konstanten Beschleunigung nach Ost:

→s=1/2b

_c

t²) und Δφ/Δt=v/R → Δt= Δφ R/v folgt

b

_C

= 2R(cos(φ)-cos(φ +Δφ))Ω / (Δφ R/v )

= - 2Ωv (cos(φ+Δφ)-cos(φ)) / (Δφ)

= - 2Ωv (Δcos(φ)) / (Δφ)

≈ -2Ωvd(cosφ)/dφ

= 2Ωvsinφ

• Ein Körper startet bei A mit

konstanter Geschwindigkeit v nach B (nach Norden) und hält v aufrecht über ein Zeitintervall Δt.

• Durch Erhaltung des Ost-Impulses nimmt er dabei eine Relativge-

schwindigkeit in Ostrichtung Δu

_Ω

auf, und hat nach Δt die Strecke Δs nach Osten zurückgelegt.



,

v sin

b

_C _u

 2 

• Der Körper beschleunigt nach rechts in Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Breite

Δ

(8)

Coriolisbeschleunigung - halb quantitativ (2) -

2 u cos

P

^{2 u}

R r

• Ein Körper bewege sich mit der Relativgeschwindigkeit u nach Ost.

• Er hat dann die

Absolutgeschwindigkeit u

_a

=u+Ωr=u+ΩRcosφ.

• Da er einer Kreisbewegung folgt folgt eine Zentrifugalbeschleuni- gung von (u

_a

)

²

/r.

 

r u u

r r r u

r

u

_a² ² ₂ ²

2  





 

 

• Der erste Term ist das bekannte g

_z

.

• Die beiden letzten Terme beschreiben die zusätzliche Zentrifugalbeschleunigung durch die (relative) u-Bewegung.

• Der dabei meist dominierende mittlere Term (nur er hängt vom Vorzeichen von u ab!) lässt sich in eine z und eine y-Komponente aufteilen (Abbildung).

• Der letzte Term ist ein metrischer Term, der verschwindet, wenn man eine ortsfeste Tangentialebene als Referenz annimmt.

• Offensichtlich erfolgt in der Horizontalen wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit



,

v sin

b

_C _u

 2 

Wir hatten:

(9)

Coriolisbeschleunigung - formal (1) -

• Betrachtung der Darstellung eines Vektors im Intertialsystem und im rotierenden Erdsystem

• Bildung der zeitlichen Ableitung unter Berücksichtigung der Änderung des rotierenden Koordinatensystems

• Anwendung auf den Vektor der absoluten

Geschwindigkeit

(10)

Coriolisbeschleunigung - formal (2) -

y z

i 

 j k 

x‘

z‘

y‘  

i   j 

 k  

a d

k a

j a

i dt a

a d

dt k a d dt

j a d dt

i a d

dt a d

dt k a j d

dt a i d

dt a d

dt k j da dt

i da dt da dt

a d

k a j

a i

a

k a j a i a a

z y

x

z y

x

y z x

z y

x

z y

x

 



 



 





 



 

 



 

 



 



 

 

 



 

 



 

 



 

 

 

 



 

 



 



 

 

 

 









 



 



 





System gten

beschleuni im

Änderung e

beobachtet

folgt

daraus

Vektor

Relativsystem =Tangentialebene fest

an der Kugeloberfläche

(11)

Coriolisbeschleunigung - formal (3) -

dt a a d dt

a

d    





 



 

 v r

dt r r d

dt d dt

v d

r v

dt r d dt

v d

Ω v dt

v d

dt v d

r v

dt r r d dt

r d

v

a a

a

 



 



 

















 







 

 

 



















 

 





 















 



v mit identisch

_a

(12)

Coriolisbeschleunigung - formal (4) -

        





  

 





 



V IV

II III I

r v

dt r d dt

v d dt

v

d _a

















 

 

 

2 I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche

II. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte) III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s

kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar) IV. Coriolisbeschleunigung

V. Zentrifugalbeschleunigung

(13)

Coriolisbeschleunigung - formal (5)

 

 







 































 cos

sin

cos sin

u u

w v

u

k j

i v

f

_C _x _y _z

2 2 2

2 2



 

Coriolisbeschleunigung 

y

z

Äqu.



 sin cos

da

Ω Ω

Ω

z y x



 0

Mit dem Coriolisparameter f=2Ωsinφ gilt weiter:

2 cos

2 cos u

C

fv w

f fu



   

 

   

  

 

u²/r taucht als metrischer Term nicht mehr auf,

da eine Tangentialebene betrachtet wird.

(14)

Navier-Stokes-Gleichung (1)

r v

dt r d dt

v d dt

v

d   _a       

















 

 

 

2 1 1

a

N

dv p g

dt 

 

    +  

f R

v k

g p

v t v

v dt

v

d          



















 

  1 2

) 

(

Dabei wurde

• die totale Ableitung nach Euler zerlegt,

• der Rotationsvektor als konstant angenommen,

(15)

Navier-Stokes-Gleichung (2)

f R

v k

g p

v t v

v dt

v

d          



















 

  1 2

) 

(

komponentenweise

,

1 2 cos

1 1 2 cos

 



 

    

         

    

       

    

        

    

R x

R y

du u u u u p

u v w fv w f

dt t x y z x

dv v v v v p

u v w fu f

dt t x y z y

dw w w w w p

u v w g u

dt t x y z z  f

_{R z}^,

gekoppelte nichtlineare Diff‘gleichungen 2. Ordnung

(16)

Übungen zu VI.2.2

1. Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45 N und am Äquator?

2. Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die

Zentrifugalbeschleunigung (halb quantitative Ableitung der Coriolisbeschleunigung) ab.

3. Erläutere die formale Ableitung der Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen.

4. Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des

Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag

mit dem der Coriolisbeschleunigung.