(Hinweis: Man betrachte etwa die Herleitung u0:B →B →C u:B B →C u:B C →+u B →C v:B →+v B →B w0:B B C und schreibe sie als Herleitungsterm.) Aufgabe 24

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen

Iosif Petrakis, Helmut Schwichtenberg

Wintersemester 2012/2013 Blatt 6

Ubungen zur Vorlesung¨

”Mathematische Logik“

Aufgabe 21. Man zeige (a) `A∨ ¬A.˜

(b) ` ¬¬(A∨ ¬A).

Aufgabe 22. Man leite die Peirce-Formel ((P → Q) → P) → P her aus

¬¬P →P und⊥ →Q.

Aufgabe 23. Man zeige, daß die Einschrittreduktion → zwischen Herlei- tungen nicht konfluent ist. (Hinweis: Man betrachte etwa die Herleitung

u₀:B →B →C u:B

B →C u:B

C →⁺u B →C

v:B

→⁺v

B →B w0:B B

C und schreibe sie als Herleitungsterm.)

Aufgabe 24. SeiAein fest gew¨ahltes Aussagensymbol. F¨ur nat¨urliche Zah- len kdefinieren wir die FormelkA durch 0A:=A, (k+ 1)A:= (kA→kA).

Die Church-Numerale nk seien definiert durch

n_k:=λ_v^kA→kAλ_ukA(vⁿu) mitv⁰u:=u,vⁿ⁺¹u:=v(vⁿu).

(a) Man gebe den Herleitungsbaum f¨ur 3₀ an.

→_β sei der Abschluß von 7→_β, also definiert durch (i) WennM 7→_β M⁰, soM →_β M⁰.

(ii) Wenn M →_β M⁰, soM N →_β M⁰N,N M →_β N M⁰,λ_vM →_β λ_vM⁰.

=_β sei die von→_β erzeugte ¨Aquivalenzrelation (also die kleinste ¨Aquivalenz- relation auf Herleitungstermen, die →_β enth¨alt). Man zeige

(b) nkv(mkvu) =β (m+n)kvu. (Ind. nachn, mit (n+ 1)kvu=β v(nkvu).) (c) n_k(m_kv) =_β (mn)_kv. (Ind. nachn, mit (b) undn_kv =_β λu(n_kvu).) (d) mk+1nk=β (n^m)k f¨urm≥1. (Aus (c) durch Induktion nachm.)

Abgabe. Mittwoch, 28. November 2012, in der Vorlesung.