Gruppe
Unter einer Gruppe (G , ) versteht man eine Menge G, auf der eine bin¨ are Operation definiert ist:
: G × G 7−→ G ,
d.h. jedem Elementepaar (a, b) : a, b ∈ G ist ein Element a b ∈ G zugeordnet. Ferner m¨ ussen folgende Eigenschaften gelten:
Assoziativit¨ at: (a b) c = a (b c ) ∀a, b, c ∈ G
Neutrales Element: Es existiert ein eindeutig bestimmtes neutrales Element e ∈ G, d.h.
e a = a e = a ∀a ∈ G
Inverses Element: Zu jedem Element a ∈ G existiert ein eindeutig bestimmtes inverses Element a
−1∈ G mit
a a
−1= a
−1a = e
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Operation kommutativ ist:
a b = b a ∀a, b ∈ G
Wenn aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, welche Operation verwendet
wird, schreibt man h¨ aufig statt (G , ) nur G .
Beispiel
Die bijektiven reellen Funktionen f : R → R bilden bez¨ uglich der Hintereinanderschaltung ◦ eine Gruppe.
Verifizierung der Gruppenaxiome Assoziativit¨ at:
((f ◦ g ) ◦ h)(x) = f (g (h(x))) = (f ◦ (g ◦ h))(x) Neutrales Element: Identit¨ at
e : x 7→ x Inverses Element: Umkehrfunktion
f
−1: f (x) 7→ x
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f : x 7→ 2x, g : x 7→ x + 1
f (g (x)) = 2(x + 1) 6= 2x + 1 = g (f (x))
Beispiel
Abelsche Gruppe
Z
n= Z mod n
der Restklassen {0, 1, . . . , n − 1} mit der Addition modulo n als Gruppenoperation
Illustration der Gruppenaxiome f¨ ur Z
4= {0, 1, 2, 3}
Assoziativit¨ at
(1 + 2 mod 4) + 3 mod 4 = 3 + 3 mod 4 = 6 mod 4 = 2
1 + (2 + 3 mod 4) mod 4 = 1 + (5 mod 4) mod 4 = 1 + 1 mod 4 = 2 X Neutrales Element 0
3 + 0 mod 4 = 0 + 3 mod 4 = 3
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0 = 1 + 3 mod 4 = 2 + 2 mod 4 = 3 + 1 mod 4 Die Multiplikation modulo 4 definiert keine Gruppenstruktur, denn beispielsweise gilt
2 = 2 · 1 mod 4 = 2 mod 4
= 2 · 3 mod 4 = 6 mod 4
= ⇒ keine Eindeutigkeit des neutralen Elements (1 6= 3)
Gruppentafel
Die Operation auf einer endlichen Gruppe G = {g
1, . . . , g
n} kann durch die Verkn¨ upfungsmatrix A definiert werden:
A : a
j,k= g
jg
kF¨ ur eine abelsche (kommutative) Gruppe ist A symmetrisch:
g
jg
k= g
kg
j⇐⇒ A = A
t.
Die erste nicht-abelsche Gruppe hat 6 Elemente und kann mit den Permutationen von {1, 2, 3} identifiziert werden.
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