Statistische Verfahren SS 2016 - ¨ Ubungsblatt 4
Es seienY1, Y2, . . . Yn unabh¨angige, exponentialverteilte Zufallsgr¨oßen:
Yi ∼Exp(θ), i= 1, . . . , n
1. Simulieren Sie mehrfach Realisierungen einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 20 f¨ur θ= 2 und stellen Sie
• die Likelihoodfunktionen
• die Loglikelihoodfunktionen
• die Scorefunktionen
f¨urθ ∈(0,5) jeweils in einer Grafik dar.
2. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨atzer ˆθf¨urθanalytisch als L¨osung der Score-Gleichung.
3. Bestimmen Sie die erwartete Fisher-Information F(θ). Stellen Sie diese
• f¨ur n= 20 als Funktion des Parameters θ,
• f¨ur θ= 0.5 als Funktion des Stichprobenumfangs dar.
4. Es sei θ = 0.5. Simulieren Sie f¨ur n = 10,20, . . . ,200 die Verteilung des ML- Sch¨atzers (1000 Simulationen)
5. Stellen Sie die gesch¨atzte Verzerrung und die gesch¨atzte Varianz des ML- Sch¨atzers als Funktion des Stichprobenumfangs dar.
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