Statistische Verfahren SS 2016 - ¨ Ubungsblatt 2
(Abgabe als kommentiertes R-Skript bis Donnerstag, 21. April)
1. Es sei Y ∼ N(µ, σ2) mit µ = 5 und σ2 = 2. Bestimmen Sie mit Hilfe von R die Wahrscheinlichkeiten:
P(µ−σ≤Y ≤µ+σ) P(µ−2σ≤Y ≤µ+ 2σ) P(µ−3σ≤Y ≤µ+ 3σ) 2. Es sei
Y = 1
k(U1+. . .+Uk)
wobei U1, . . . , Uk auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallsgr¨oßen sind.
• Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsgr¨oße Y.
• Simulieren Sie f¨ur k = 5 und k = 10 die Verteilung der Zufallsgr¨oße Y (1000 Simulationen) und vergleichen Sie jeweils den Histogrammdich- tesch¨atzer und die empirische Verteilungsfunktion mit der Dichtefunktion bzw. der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung mit entsprechendem Erwartungswert und Varianz.
3. F¨ur den Datensatz
”soilrespiration1.csv“ haben wir das statistische Modell IEYi =IElog(respi) = β0+β1tempi =:µi
Yi ∼N(µi, σ2) betrachtet.
In einem Simulationsprogramm sollen die statistischen Eigenschaften der Sch¨atzer f¨ur β0 und β1 untersucht werden, wenn als Kriterium zur Bestimmung der
”besten“ Regressionsgeraden
• die Summe der quadratischen Abst¨ande in y-RichtungPn
i=1(yi−(b0+b1xi))2
• die Summe der absoluten Abst¨ande in y-Richtung Pn
i=1|yi−(b0+b1xi)|
• die Summe der 4.Potenzen der Abst¨ande in y-RichtungPn
i=1(yi−(b0 +b1xi))4
• die Summe der orthogonalen Abst¨ande zur Regressionsgeraden verwendet werden.
Simulieren Sie dazu mehrfach Pseudobeobachtungen zu obigem statistischen Modell (Verwenden Sie β0 = 4.3, β1 = 0.075 sowieσ2 = 0.07) und sch¨atzen Sie f¨ur jedes dieser Kriterien den Bias und die Varianz des aus diesen Kriterien resultierenden Sch¨atzers (basierend auf mindestens 1000 Simulationen).
