Ubungsblatt 2 ¨ Stochastik 2 / SS 2015
Ausgabetermin: 21.04.2015 Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Abgabetermin: 28.04.2015 Markus B¨ohm, Kai K¨ummel
Aufgabe 1. Eineσ-AlgebraF ¨uber Ω heißt separabel, falls ein abz¨ahlbares MengensystemG ⊆ F existiert, so dassF=σ(G) (F hat einen abz¨ahlbaren Erzeuger).
a) IstB(R) separabel?
b) geben Sie ein Beispiel zweier σ-AlgebrenF1 und F2 an, sodass F1 nicht separabel ist, F2 separabel undF1⊆ F2.
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass jede offene TeilmengeG⊆Rals h¨ochstens abz¨ahlbare Vereinigung G=G
n
(an, bn).
von paarweise disjunkten offenen Intervallen dargestellt werden kann. Ist diese Darstellung eindeutig?
Aufgabe 3.
a) Sei Ω =t∞n=1An undA1=σ(Ai, i≥1). Bestimmen Sie|A1|.
b) SeiA2 :={A⊆N:A oderAc endlich}. Zeigen Sie, dassA2eine Algebra, jedoch keine σ-Algebra auf Nist.
Aufgabe 4. (2 Punkte)
Sei {A1, . . . , An} ein Mengensystem, wobeiAk ⊆Ω,k= 1, . . . , n und A=σ(A1, . . . , An). Beschreiben Sie Aund zeigen Sie, dass|A| ≤22n.
Aufgabe 5. (5 Punkte)
SeiAn,n≥1, eine Folge von Teilmengen von Ω. Wir definieren den unteren bzw. oberen Mengenlimes der Folge als
A∗:= lim inf
n→∞ An:=
∞
[
n=1
∞
\
k=n
Ak, bzw. A∗:= lim sup
n→∞
An:=
∞
\
n=1
∞
[
k=n
Ak.
a) Beschreiben Sie verbal die Bedeutung vonω∈A∗ undω∈A∗. b) Zeigen Sie, dassA∗⊆A∗.
c) Ist die Folge An monoton, so gilt
lim inf
n→∞ An = lim sup
n→∞
An
d) Zeigen Sie
(A∗)c= lim sup
n→∞
Acn und (A∗)c= lim inf
n→∞ Acn.
e) Sei A1:= (0,1],A2= (0,12],A3= (12,1],A4= (0,13],A5= (13,23],A6= (23,1] usw. Bestimmen SieA∗
undA∗.
Aufgabe 6. (3 Punkte)
SeiGein Mengensystem undF=σ(G). Zeigen Sie, dass f¨ur jedesA∈ F ein h¨ochstens abz¨ahlbarer Erzeuger GA={GAi ∈ G, i≥1}existiert mitA∈σ(GA).
Abgabetermin: Die mit gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und am 21.04.2015 vor der Vorlesung abzugeben oder bis 10 Uhr im B¨uro 3523b (Ernst-Abbe-Platz 2).
Zulassungsvoraussetzung f¨ur die Klausur:Vorrechnen von mindestens einer Aufgabe in der ¨Ubung und und das Erreichen von 50% der Punkte f¨ur die Hausaufgaben
Klausurtermin:Mittwoch, 22.07.2015, 10 –12 Uhr, H¨orsaal 145, UHG, F¨urstengraben 1 Nachklausurtermin:Mittwoch, 30.09.2015, 10 –12 Uhr, H¨orsaal 145, UHG, F¨urstengraben 1
