Ubungsblatt 1 ¨ Stochastik 2 / SS 2015
Ausgabetermin: 14.04.2015 Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Abgabetermin: 21.04.2015 M.Sc. Kai K¨ummel
Aufgabe 1. Es sei (Ω,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
1. Geben Sie die Definition der Unabh¨angigkeit von a) zwei EreignissenA∈ F undB∈ F,
b) nEreignissen A1, . . . , An∈ F, an.
2. Es seien A, B, C ∈ F. Die Ereignisse A und B seien disjunkt und A und C seien unabh¨angig. Die Ereignisse B und C sind ebenfalls unabh¨angig. Beweisen Sie, dass daraus die Unabh¨angigkeit von A∪B undC folgt.
Aufgabe 2. Es sei q ≥ 2. Eine Zufallsvariable X nehme Werte in {0,1,2, . . .} an. F¨ur k ∈ {1,2, . . .} ist Folgendes gegeben:
P(X =k) =q−k. a) Berechnen Sie die WahrscheinlichkeitP(X= 0).
b) Wieso darfqnicht kleiner als 2 sein?
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert EX.
Aufgabe 3. Die Zufallsvariablen X und Y seien unabh¨angig und jeweils exponentiell verteilt mit dem Parameterλ >0.
1. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen−Y und skizzieren Sie diese. Welche Dichte besitzt−Y?
2. Zeigen Sie, dassZ =X−Y Laplace-verteilt ist und daher die Dichtef(z) =λ2e−λ|z|,z∈R, besitzt.
Aufgabe 4. (2 Punkte)
Bei einem fairen Spiel betr¨agt die Gewinnwahrscheinlichkeit 50%. Es werden sechs Partien gespielt. Wie wahrscheinlich ist es genau vier zu gewinnen? Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, mindestens zwei Spiele gewonnen zu haben?
Aufgabe 5. (4 Punkte)
1. Formulieren Sie den Poissonschen Grenzwertsatz.
2. In einer Fabrik werden t¨aglich 100 Produkte hergestellt. Im Mittel sind 2% der Produkte fehlerhaft.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine komplette Tagesproduktion fehlerfrei? Wie wahrscheinlich ist es, dass h¨ochstens zwei Produkte kaputt sind? Benutzen Sie jeweils den Poissonschen Grenzwertsatz und sch¨atzen Sie den Approximationsfehler ab.
Aufgabe 6. (1+2 Punkte)
Es seiθ >0. F¨ur ein geeignetesc∈Rist folgende Funktion fθ(x) = c
x2+θ1[1,∞)(x), x∈R,
eine Dichte. Die ZufallsvariablenX1, . . . , Xn seien unabh¨angig und jeweils gem¨aßfθ verteilt.
a) Bestimmen Sie die Konstantec∈R.
b) Geben Sie den Momentenmethodesch¨atzerθn∗ f¨ur den Parameterθ an.
Abgabetermin: Die mit gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und am 21.04.2015 vor der Vorlesung abzugeben oder bis 10 Uhr im B¨uro 3523b (Ernst-Abbe-Platz 2).
Zulassungsvoraussetzung f¨ur die Klausur:Vorrechnen von mindestens einer Aufgabe in der ¨Ubung und und das Erreichen von 50% der Punkte f¨ur die Hausaufgaben.