Ubungsblatt 3 ¨ Stochastik 2 / SS 2015
Ausgabetermin: 28.04.2015 Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Abgabetermin: 05.05.2015 Markus B¨ohm, Kai K¨ummel
Aufgabe 1. Seien Ω und E nichtleere Mengen und f : Ω →E eine Abbildung. Das Urbild einer Menge A⊆E vonf ist durchf−1(A) ={ω∈Ω :f(ω)∈A}definiert. F¨ur ein beliebiges MengensystemE ⊆ P(E) sei f−1(E) =
f−1(A) :A∈ E . Es sei nun E ⊆ P(E) beliebig aber fest. Beweisen Sie, dass es sich bei f−1(σ(E)) um eineσ-Algebra handelt und die Gleichheitf−1(σ(E)) =σ(f−1(E)) gilt.
Aufgabe 2. SeiA ⊆ P(Ω),B ⊆Ω, und
A ∩B :={A∩B: A∈ A}.
Zeigen Sie, dass
σ(A ∩B) =σ(A)∩B.
Aufgabe 3.
a) Sei Ω eine abz¨ahlbare Menge,F =P(Ω). Man definiere die Mengenabbildungµdurch µ(A) :=
(0, |A|<∞,
∞, |A|=∞.
Zeigen Sie, dassµadditiv ist, jedoch nicht σ-additiv.
b) Auf dem messbaren Raum (N,P(N)) sei das Z¨ahlmaß µ(A) = |A|, A ⊆ N definiert. Gilt f¨ur jede Mengenfolge A1⊇A2⊇. . . mitAn ⊆Ndie Gleichheit
n→∞lim µ(An) =µ
∞
\
n=1
An
!
? Aufgabe 4. (2 Punkte)
Sei Ω :={1,2,3,4} undA:={{1,2},{2,4},{1,3},{3,4}}. Bestimmen Sie zwei WahrscheinlichkeitsmaßeP undQaufσ(A) mit
(i) P=QaufA, (ii) P6=Qaufσ(A).
Aufgabe 5. (4 Punkte) Definiere
A={x∈[0,1] : x= 0, x1x2x3. . . , xi6= 5, i≥1}.
Beweisen Sie, dass es sich bei der MengeAum eine Borelmenge handelt und bestimmen Sie λ(A), wobei λ das Lebesguemaß bezeichnet.
Aufgabe 6. (2+2 Punkte)
Ein Maßµauf einem messbaren Raum (Ω,F) heißtvollst¨andig, wenn jede Teilmenge einer jedenµ–Nullmenge zuF geh¨ort.
Es sei (Ω,F, µ) ein beliebiger Maßraum. Dieµ–Vervollst¨andigung vonF ist die kleinsteσ–AlgebraF0¨uber Ω, welcheF enth¨alt und f¨ur beliebigesN ∈ F mitµ(N) = 0 auch jede Teilmenge vonN enth¨alt.
Zeigen Sie:
a) Es gilt
F0=
A∪N0:A∈ F undN0⊂N f¨ur einN ∈ F mitµ(N) = 0 .
b) F¨ur A ∈ F und N0 ⊂ N ∈ F mit µ(N) = 0 definieren wir µ0 gegeben durch µ0 A∪N0
:= µ(A).
Zeigen Sie, dassµ0 ein Maß auf (Ω,F0) ist. (Zeigen Sie zun¨achst, dassµ0 wohldefiniert ist.)
Abgabetermin: Die mit gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und am 05.05.2015 vor der Vorlesung abzugeben oder bis 10 Uhr im B¨uro 3523b (Ernst-Abbe-Platz 2).
Zulassungsvoraussetzung f¨ur die Klausur:Vorrechnen von mindestens einer Aufgabe in der ¨Ubung und und das Erreichen von 50% der Punkte f¨ur die Hausaufgaben
Klausurtermin:Mittwoch, 22.07.2015, 10 –12 Uhr, H¨orsaal 145, UHG, F¨urstengraben 1 Nachklausurtermin:Mittwoch, 30.09.2015, 10 –12 Uhr, H¨orsaal 145, UHG, F¨urstengraben 1
