Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Robert Denk
Olaf Weinmann
18. Mai 2006 ¢¢AA¢¢AA ¢¢AA
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Analysis IV 4. Übungsblatt
Aufgabe 4.1 Es seiT:Rn−→Rneine bijektive, lineare Abbildung. Zeigen Sie, dassT(A)für jedesA∈B(Rn)Lebesgue-messbar ist und dass die durchµ(A) :=λ(T(A))denierte Abbildung µ:B(Rn)−→[0,∞]ein Maÿ aufB(Rn)ist.
Aufgabe 4.2 Es sei f ∈L1(X, µ)beliebig gewählt. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Ist(An)n∈N⊂A mit Ai∩Aj =∅ füri6=j, dann gilt mitA:=S
n∈NAn: Z
A
fdµ= X∞ n=1
Z
An
fdµ.
(ii) IstA∈A beliebig gewählt undN ∈A eineµ-Nullmenge, so folgt Z
A
fdµ= Z
A∪N
fdµ.
Denition 4.1 Wir setzen Rn:=¡ R¢n
und denieren die Borel-Sigma-Algebra auf Rn durch B(Rn) :=σ¡
{(a,∞]⊂Rn:a∈Rn}¢
Aufgabe 4.3 Es sei (X,A) ein Messraum und f1, ..., fn: X −→ R A−meÿbare Abbil- dungen. Ferner sei die Abbildung F: Rn −→ R B(Rn)−meÿbar. Zeigen Sie: h: X −→ R, h(x) :=F(f1(x), ..., fn(x)),(x∈X) istA-meÿbar.
Aufgabe 4.4 Eine Folge(µn)n∈Nvon Radon-Maÿen auf einem lokal-kompakten RaumEkon- vergiert genau dann vag gegen ein Radon-Maÿ µ, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Für jede kompakte MengeK ⊂E und jede oene relativ kompakte MengeG⊂Egilt
lim sup
n→∞ µn(K)≤µ(K) bzw. lim inf
n→∞ µn(G)≥µ(G)
Man hat dabei nur zu beachten, dass das Radon-Maÿµdas zur LinearformIµgehörige essentielle MaÿµEssist. Unterstreichen Sie den Begri oen mit einem Farbstift Ihrer Wahl, wobei auf ein Lineal nicht verzichtet werden darf. Diskutieren Sie dann den unterstrichenen Begri mit Ihrem Nebensitzer (sofern vorhanden).
Abgabetermin: Mittwoch 24. Mai 2006 vor 12:00 Uhr in die Briefkästen bei F411.
