Ubungsblatt 4 ¨ Stochastik 2 / SS 2015
Ausgabetermin: 05.05.2015 Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Abgabetermin: 12.05.2015 Markus B¨ohm, Kai K¨ummel
Aufgabe 1. SeiC der Halbring von halboffenen Intervallen (a, b],a≤b. Sei
G(x) =
(0, x <0, 1, x≥0.
AufC definiere die Mengenfunktionν((a, b]) :=G(b)−G(a).
a) Konstruieren Sie die Lebesgue-Fortsetzungµvonν.
b) Zeigen Sie, dass jede TeilmengeA∈ P(R) messbar ist: M=P(R).
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die KlasseMaller Lebesgue-messbaren Teilmengen von [0,1] die M¨achtigkeit 2C :=|P([0,1])|hat.
Aufgabe 3. Konstruieren Sie eine nicht Borel–messbare Teilmenge vonR. Aufgabe 4. (2 Punkte – ¨aquivalente Definition des ¨außeren Maßes)
Es seiAein Ring ¨uberX,mein Maß aufAundµ∗ das ¨außere Maß bzgl.m. Sei ferner
ν∗(E) := infnX∞
n=1
m(An) : E⊆
∞
G
n=1
An, (An)n≥1⊆ Ao
f¨urE ⊆X, (inf(∅) :=∞),
Zeige:ν∗=µ∗ aufP(X).
Aufgabe 5. (3 Punkte) Konstruieren Sie eine Folge An
von Borel-Mengen aufRmit (a) λ(An) = +∞,An⊇An+1undλ(T∞
n=1An) = 0;
(b) λ(An) = +∞,An⊇An+1undλ(T∞
n=1An) = 1;
(c) λ(An) = +∞undT∞
n=1An=N. Aufgabe 6. (4 Punkte)
Sei (αn)n≥1 eine Folge im Intervall (0,1). Aus [0,1] entferne man ein offenes Intervall der L¨ange α1 mit Mittelpunkt 1/2. Aus den beiden verbleibenden Intervallen J11 und J21 entnehme man nun je ein offenes Intervall der L¨angeα2|Ji1|mit dem Mittelpunkt vonJi1als Mittelpunkt. Dann verbleiben vier IntervalleJ12, J22, J32und J42. Auf diese Weise fortfahrend erh¨alt man f¨ur jedes n∈Ngenau 2n disjunkte, abgeschlossene IntervalleJin. Die Menge
C=
∞
\
n=1 2n
G
i=1
Jin
heißt verallgemeinerte Cantor-Menge. Beweisen Sie die Gleichung
λ(C) =
∞
Y
n=1
(1−αn).
Weisen Sie nach, dassαn =n+11 impliziert λ(C) = 0, wohingegen αn= (n+1)1 2 impliziert, dassλ(C)>0.
Abgabetermin: Die mit gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und am 12.05.2015 vor der Vorlesung abzugeben oder bis 10 Uhr im B¨uro 3523b (Ernst-Abbe-Platz 2).
Zulassungsvoraussetzung f¨ur die Klausur:Vorrechnen von mindestens einer Aufgabe in der ¨Ubung und und das Erreichen von 50% der Punkte f¨ur die Hausaufgaben
Klausurtermin:Montag, 20.07.2015, 10 –12 Uhr, H¨orsaal 145, UHG, F¨urstengraben 1 Nachklausurtermin:Mittwoch, 30.09.2015, 10 –12 Uhr, H¨orsaal 145, UHG, F¨urstengraben 1 Raum¨anderung:Vorlesung Donnerstag, 10 –12 Uhr, H¨orsaal 024, UHG, F¨urstengraben 1