Ubungsblatt 4 zur Vorlesung ”Angewandte Stochastik” ¨
Rekurrenz, Transienz, Periodizit¨at
Herausgabe des ¨Ubungsblattes: Woche 12, Abgabe der L¨osungen: Woche 14 (bis Freitag, 16.15 Uhr), R¨uckgabe und Besprechung: Woche 15
Must Aufgabe 23 [Diagramm]
Machen Sie ein Diagramm (Mengen mit korrekten Teilmengen), wo die Resultate von Satz 4.10 bzgl. Rekur- renz/Transienz mitsamt Beispielen und Gegenbeispielen veranschaulicht werden.
Aufgabe 24 [! als ¨Aquivalenzrelation]
Zeigen Sie, dass die Relation!eine ¨Aquivalenzrelation ist.
Standard Aufgabe 25 [einfache Beispiele][2.5 Punkte]
Zeichnen Sie den ¨Ubergangsgraphen, d.h. das System der Pfeile, die m¨oglichen ¨Uberg¨angen entsprechen (pij >0), und bestimmen Sie Kommunikationsklassen, rekurrente, transiente und periodische Zust¨ande f¨ur folgende ¨Ubergangsmatrizen:
a)
1
2 1
2 0
1
2 1
4 1
0 13 423
,
b)
1
2 1
2 0 0
1
2 1
2 0 0
1 4
1 4
1 4
1
0 0 0 14
,
c)
0 0 12 12
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0
,
d)
1 2 1
2 0 0 0
1 2 1
2 0 0 0
0 0 12 12 0 0 0 12 12 0
1 4 1
4 0 0 12
,
e)
1
2 1
2 0 0 0
1
4 3
4 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 12 0 12
0 0 0 1 0
.
Geben Sie bitte immer an, aus welchem Satz aus der Vorlesung Sie Ihre Schl¨usse gezogen haben.
Aufgabe 26 [Rekurrenz ist eine Klasseneigenschaft][2 Punkte]
Vervollst¨andigen Sie den Beweis von Satz 4.9, d.h.: Seii!j. Beweisen Sie: Istirekurrent, dann ist auch j rekurrent.
Aufgabe 27 [nicht abgeschlossene Kommunikationsklasse][2 Punkte]
Vervollst¨andigen Sie den Beweis von Satz 4.10, d.h.: SeiKeine nicht abgeschlossene Kommunikationsklasse.
Beweisen Sie, dassK verg¨anglich (transient) ist.
Aufgabe 28 [Simulation (Treffwahrscheinlichkeit & E[Zeit bis Absorption])][2+2+2 Punkte]
Sei (Xn)n≥0eine zuf¨allige, symmetrische Irrfahrt (engl. random walk (RW)) auf der Menge{0,1,2, . . . ,9,10}.
Die ¨Ubergangsmatrix sei derart, dasspi,i−1=pi,i+1= 0.5 f¨uri∈ {1,2, . . . ,8,9}.
a) Sei p00 =p10,10 = 1, also sind 0 und 10 absorbierend. Es ist wohl so, dass Xn f¨ur grossen entweder 0 oder 10 ist (dies muss nicht bewiesen werden). Versuchen Sie durch eine Simulation in Abh¨angigkeit des Startwertes herauszufinden, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dassXn in 0 absorbiert wird.
b) Sei p00=p10,9= 1, das heisst nur der Zustand 0 ist absorbierend. Versuchen Sie durch Simulationen in Abh¨angigkeit des Startwertes herauszufinden, wie gross die erwartete Zeit ist, bisXn in 0 absorbiert ist.
c) Gegeben, der Zufallsgenerator ist perfekt. Beweisen Sie, dass die Simulationen von a) gegen die richti- gen theoretischen Werte konvergieren m¨ussen. Die richtigen, theoretischen Werte werden wir in Kapitel 5 berechnen.
Honours Aufgabe 29 [kleine Analysis-Aufgabe][3 Punkte]
Seienqi∈(0,1), i≥0. Zeigen Sie, dass dann gilt:
n→∞lim Yn
j=0
(1−qj)
= 0, wennP
j≥0qj=∞
>0, wennP
j≥0qj<∞.
Aufgabe 30 [Simulation Dauer, bis 99 % der RW retour][8 Punkte]
Sei P[Xi = 1] = P[Xi = −1] = 0.5 f¨ur alle i ≥ 1; die (Xi)i≥1 seien iid Zufallsgr¨ossen. Definiere einen symmetrischen Random WalkS0:= 0 und f¨urn≥1 :Sn:=Pn
i=1Xi. Sei T := min
n≥1{n|Sn = 0}
die Stoppzeit der ersten R¨uckkehr nach 0. Machen Sie eine Simulation, uma∈Nzu finden, sodass P[T ≤a] ˙=0.99.
Tipp: Die Zahlaist kleiner als 7000. Sobald ein Random Walk l¨anger als 7000 Schritte braucht, k¨onnen Sie abbrechen.
