Wahrscheinlichkeitsrechnung II STOCHASTIK

Wahrscheinlichkeitsrechnung II

STOCHASTIK Kapitel 3 MNProfil - gymnasiale Oberstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

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26. April 2020

Uberblick ¨ ¨ uber die bisherigen STOCHASTIK - Themen:

1 Statistik

1.1 Beschreibende Statistik

1.2 Charakterisierung von H¨ aufigkeitsverteilungen 1.3 Die passende Gerade (Lineare Regression) 1.4 Anwendungen

2 Wahrscheinlichkeit 2.1 Grundlagen

2.2 Definitionen & elementare Rechenregeln 2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

2.4 Kombinatorik

I

Inhaltsverzeichnis

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 1

3.1 Das Arbeiten mit diesen Unterlagen . . . . 2

3.2 Repetition zur Wahrscheinlichkeit I . . . . 3

3.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen . . . . 4

3.3.1 Kapiteltest . . . . 14

3.4 Die Masszahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . 15

3.4.1 Kapiteltest . . . . 23

3.5 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . 25

3.5.1 Die Binomialverteilung . . . . 26

3.5.2 Die Hypergeometrische Verteilung . . . . 34

3.5.3 Die Poisson-Verteilung . . . . 39

3.5.4 Kapiteltest . . . . 42

3.6 Anhang - zu den Aufgabenserien . . . . 48

II

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung II

Dieses Skript dient zur Unterst¨ utzung bei der Durcharbeitung von Lothar Papula’s

Mathematik f¨ ur Ingenieure und Naturwissenschaftler (Band 3; Kapitel 4)

Als Unterrichtsmethode w¨ ahlen wir einen

” slightly“ flipped classroom. Als ei- ne Methode des integrierten Lernens (blended learning) werden wir auch wieder Elemente des E-learnings zur Anwendung kommen.

(Diese sind jedoch noch in Arbeit)

Dabei behandeln wir die folgenden Themen:

• Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable

• Kennwerte/ Masszahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

• Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen

(Binomial-, Hypergeometrisch- und Poissonverteilung) wobei wir uns vorwiegend auf die diskreten F¨ alle beschr¨ anken.

Die stetigen F¨ alle werden im Kapitel Wahrscheinlichkeit III, nach der Einf¨ uhrung der Integralrechnung in der Analysis und unter deren Anwendung behandelt.

1

3.1 Das Arbeiten mit diesen Unterlagen

Die Abschnitte sind so aufgebaut, dass von mir

• ein kurzer ¨ Uberblick ¨ uber den Inhalt gegeben wird,

• die notwendigen Begriffe & Notationen eingef¨ uhrt werden,

• das Wichtigste an einem Beispiel ausf¨ uhrlich dargestellt wird.

Anschliessend seid ihr aufgefordert, die zugeh¨ origen Beispiele und Er- kl¨ arungen zu den theoretischen Grundlagen aus dem Skript von Papula durchzuarbeiten.

• Wir sammeln und diskutieren nach eurem Durcharbeiten Unklarheiten und Fragen,

• schliessen den Theorieteil mit einer Kurzpr¨ ufung zur Selbstkontrolle ab

• und ihr beendet den Abschnitt mit dem L¨ osen zugeh¨ origer Aufgaben.

und wie immer beginnen wir mit einer kurzen Repetition der vorhergehenden Kapitel . . .

2

3.2 Repetition zur Wahrscheinlichkeit I

• brainstorming

• Abkl¨ arungen, Erg¨ anzungen, . . . :

3

3.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

(Vorlage Papula: Kapitel 4: p.315 - 326)

• Um was geht’s ?

Um die Einf¨ uhrung der folgenden Begriffe:

– Zufallsvariable, - gr¨ osse, – Wahrscheinlichkeitsfunktion, – Verteilungsfunktion.

und damit auch um die Verwendung des Begriffes der Funkti- on und deren Darstellungsm¨ oglichkeiten in der Wahrscheinlich- keitsrechnung.

• Wir ben¨ otigen dazu die folgenden Begriffe und Notationen:

– f : A → B , x 7→ f (x) f¨ ur Funktionen, – Ω f¨ ur die Ergebnismenge,

– ω

_i

∈ Ω f¨ ur die Elementarereignisse.

4

• Das Wichtigste erkl¨ art an einem Beispiel:

Wir verwenden eine Urne mit 4 weissen und 3 schwarzen Kugeln und wenden darauf das Experiment dreimal Ziehen mit Zur¨ uck- legen an.

5

Aufgaben 3.1 Wir betrachten das folgende Experiment:

Wir haben eine Urne mit 5 roten und 2 gr¨ unen Kugeln und ziehen ohne Zur¨ ucklegen dreimal.

• Lege eine sinnvolle ZV X fest.

• Definiere die ZV X und die Wahrscheinlichkeitsfunktion f mit zugeh¨ origen Defninitions- & Wertebereichen.

• Stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion f und die zugeh¨ orige Wahr- scheinlichkeitsverteilung F graphisch dar.

6

Aufgaben 3.2 Arbeiten mit Papula:

• Arbeite die Beispiele 1 bis 3 auf p.322 - 326 durch,

• bearbeite die zugeh¨ orige Theorie & Bemerkungen.

• Zugeh¨ orige Aufgaben finden sich im Anhang, im Abschnitt 4, Aufgaben 1) - 5).

7

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 315

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

4.1 Zufallsvariable oder Zufallsgriißen

Wrr kehren zunächst zu den drei Standardbeispielen aus Abschnitt 2.1 zurück, um an ihnen den wichtigen Begriff Zufallsvariable oder Zufallsgröße vorzubereiten.

4.1.1 Einrührende Beispiele

StandanlbeispieI 1: Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels

Die Augenzahl X nimmt bei jedem Wurf genau einen der sechs Werte I, 2, 3, 4, 5 und 6 an. Sie kann daher als eine Funktion angesehen werden, die jedem Elementarereignis genau eine reelle Zahl zuordnet. Da jedoch der spezielle Wert, den die Größe X (Au- genzahl) bei einem bestimmten Wurf annimmt, einzig und alleine vom Zufall abhängt, nennt man diese Größe folgerichtig Zufallsgröße oder Zufal/svariable. llrr Wert ist nicht vorhersehbar, sondern ausschließlich zr,ifallsbedingt.

StandanlbeispieI 2: Augensumme beim Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln

Wrr interessieren uns in diesem Zufallsexperiment für die folgende Größe:

X = Augensumme beider Würfel

Sie kann als Zufal/sprodukt jeden der insgesamt 11 möglichen Werte 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 und 12 annehmen. Die Augensumme X ist daher eine Zufallsgröße oder Zu- fallsvariable. Jedem der 36 Elementarereignisse

(1; 1), (1; 2), (1; 3), ... , (6; 5), (6; 6)

entspricht dabei ein bestimmter Wert der Augensumme X Die folgende Tahelle zeigt, welche Elementarereignisse dabei zu welcher Augensumme gehören.

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6) (6; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (3; 5) (4; 5) (5; 5) (6; 5)

(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (4; 4) (5; 4) (6; 4) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (5; 3) (6; 3)

(5; 1) (5; 2) (6; 2) (6; 1)

316 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zum Beispiel wird die Augensumme X = 4 durch die folgenden drei Elementarereig- nisse (geordneten Augenpaare) realisiert (I. Würfel: weiß; 2. Würfel: grau; Bild lI-50):

(1;3) (2;2) (3; 1)

Blld ll-SO Augenpaare mit der Augensumme 4

Standardbeispie13: Zufällige Entnahme von Kugeln aus einer Urne (mit Zurücklegen) Eine Urne enthalte 5 Kugeln. darunter 3 weiße und 2 schwarze Kugeln (Bild lI-51):

1000 • • 1

Blld ll-Sl

Nacheinander ziehen wir ganz zufällig 3 Kugeln. wobei wir nach jeder Ziehung die ge- zogene Kugel wieder in die Urne zurücklegen. und notieren dabei die Farbe der gezoge- nen Kugeln. Unser Interesse gilt nun der Größe

X = Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln

Sie kann nur die vier reellen Werte O. I. 2 und 3 annehmen. Welchen dieser Werte sie in einem konkreten Fall dabei annimmt, lässt sich jedoch nicht vorausbestimmen. sondern ist zufallsbedingt. d. h. X ist eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable. Zu jedem der ins- gesamt 8 Elementarereignisse

000 . • 00. 0.0. 00 • . • • 0 . • 0 •. 0 ••. • • •

gehört genau ein Wert der Zufallsgröße X. Die folgende Tabelle zeigt, welche E1emen- tarereignisse zu welchen X-Werten gehören.

X 0 I 2 3

000 . 0 0 _{0 . 0} • • _{. 0 .} 0 •••

0 0 . 0 • •

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 317 4.1.2 Definition einer Zufallsvariablen

Der anband unserer Standardbeispiele eingeführte Begriff Zufallsvariable oder Zufalls- große lässt sich allgemein wie folgt definieren:

Definition: Unter einer Zufallsgroße oder Zufa/lsvariab/en X verstehen wir eine Funktion, die jedem Elementarereignis OJ aus der Ergebnismenge Q eines Zufallsexperiments genau eine reelle Zahl X (OJ) zuordnet.

Anmerkungen

(1) Zufallsvariab/e werdeo üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben, ihre Werte dagegen mit kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet.

(2) Wir unterscheiden noch zwischen einer diskreten und einer stetigen Zufallsvaria- bien. Eine Zufallsvariable X heißt dabei diskret, wenn sie nur endlich viele oder abziJhlbar unendlich viele reelle Werte annehmen kann. Sie heißt dagegen stetig, wenn sie jeden beliebigen Wert aus einem (reellen) endlichen oder unendlichen Intervall annehmen kann.

• Beispiele

(1) Ein homogener Würfel wird fünfmal geworfen und dabei wird festgestellt, wie oft die Augenzahl .. I" auftritt. Dann ist die Größe

X = Anzahl von Würfen mit der Augenzahl .. 1"

eine diskrete Zufallsvariable mit den möglichen Werten 0, 1, 2, 3, 4 und 5.

(2) Die Augensumme X beim gleichzeitigen Wurf zweier homogener Würfel ist eine diskrete Zufallsgröße (Zufallsvariable ) mit den unendlich vielen möglichen Werten

2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11, 12.

(3) Die Anzahl X der Atome, die in einem bestimmten Zeitintervall in einer radioakti- ven Substanz zerfallen, lässt sich mit einem Zählgerät leicht feststellen. X ist da- bei eine diskrete Zufallsvariable mit den abziJhlbar unendlich vielen Werten 0, I, 2,3,4,5, ....

(4) In einem Werk werden zylinderförrnige Scheiben mit einem vorgeschriebenen Durchmesser von 5 mm (dem sog. Sollwert) in großer Stückzahl hergestellt. Infol- ge zufallsbedingter Schwankungen wird jedoch der Durchmesser X einer aus der Gesamtproduktion wahllos herausgegriffenen Zylinderscheibe mehr oder weniger stark von diesem Sollwert abweichen. Der Durchmesser X einer solchen Scheibe kann dabei als eine stetige Zufallsvariable aufgefasst werdeo, deren Werte sich in einem bestimmten Intervall bewegen.

•

318 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

4.2 Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen

Bei einer Zufallsvariablen X sind folgende Eigenscbaften von besonderer Bedeutung:

I. Der Wertebereich;

2. Die Wahrscheinlichkeit P dafür, dass die Zufallsvariable X einen bestimmten Wert annimmt (bei einer diskreten Variablen) bzw. wertemäßig in einem bestimm- ten lotervallliegt (bei einer stetigen Variablen).

Mit dem Wertebereich einer Zufallsvariablen haben wir uns bereits in dem vorange- gangenen Abschnitt beschäftigt. Die zweite Eigenschaft führt uns nun zu dem Begriff der Verteilungsfunktion F (x) einer Zufallsvariablen X Diese Funktion bestimmt dabei definitionsgemäß die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen Zahl x ist. Demnach gilt ganz allgemein:

F(x) = P(X :5 x) (II-72)

Wir fassen zusammen und ergänzen:

VerteilUDgSfunktion einer Zufallsvariablen

Die Verteilungsfunktion F (x) einer Zufallsvariablen X ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen Zahl x ist:

F(x) = P(X :5 x) (II-73)

Eine Zufallsvariable X wird dabei durch ihre Verteilungsfunktion F (x) vollstän- dig beschrieben.

Verteilungsfunktionen besitzen ganz allgemein die folgenden Eigenschaften (siehe hierzu auch die Bilder II-52 und II-53):

(I) F (x) ist eine nwnoton wachsende Funktion mit 0:5 F (x) :5 I.

(2) tim F(x) = 0 (unmögliches Ereignis) (II-74)

x-+-oo

(3) tim F(x) = I (sicheres Ereignis) (II-75)

(4) Die Wahrscheinlichkeit P (a < X :5 b) dafür, dass die Zufallsvariable X ei- nen Wert zwischen a (ausschließlich) und b (einschließlich) annimmt, lässt sich mit Hilfe der Verteilungsfunktion F (x) wie folgt berechnen (a < b) 17):

P(a < X:5 b) = F(b) - F(a) (II-76)

17) Bei einer stetigen Zufallsvariablen gilt diese Formel auch fUr das abgeschlossene Intervall a ~ X ~ b:

P(a,;;X';; b) ~F(b) -F(a)

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufall.variablen 319 Bild lI-52 zeigt den typischen Verlauf der Verteilung.funktion F (x) für eine stetige Zufall.variable X Im Falle einer diskreten Zufallsvariablen verläuft die Verteilung.- funktion treppenjörmig wie in Bild lI-53 skizziert.

F(x)

x

BUd D-52 lYPischer Verlauf der Verteilung,funktion F (x) einer stetigen Zufall.variablen X

F(x)

x

Bild D·53 Treppenförmiger Verlauf der Verteilung,funktion F (x) einerdismten Zufall,variablen X

4.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen (diskrete Verteilung)

Bei einer diskreten Zufall.variablen X gehört zu jedem Wert Xi eine bestimmte Wahr- scheinlichkeit P (X = Xi) = Pi. Wir erhalten eine sog. Verteilungstabelle von folgen- dem Aussehen:

Xi

I :: I :: I :: I I :: I

P(X = X;)

320 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die diskrete Funktion

{ P' I(x) =

o'

x = Xi (i = 1,2,3, ... )

für (II-77)

alle übrigen X

heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Verteilung. Sie lässt sich graphisch durch ein Stabdiagramm, auch Wahrscheinlichkeitsdiagramm genannt, datstellen. Bild II-54 zeigt das Wahrscheinlichkeitsdiagramm einer diskreten Zufallsvariablen mit endlich vie- len Wetten.

((x)

I

Dabei gilt stets I(Xi) = Pi ~ 0

x

BDdll-S4

Stabdiagramm für die Wabr- scheinlicbkeitsfunktion f (x) einer diskreten Verteilung ("Wabrscheinlichkeitsdia- gramm")

(II-78) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion

I

(x) ist ferner normiert:

00 00

L

^{I (Xi) =}

L

^{Pi = 1}

;=1 ;=1

F(x) 1

(II-79)

BUd ll-SS Verteilung'funktion F (x) einer diskreten Verteilung

~--- ___ .. _ ("Treppenfunktion")

xn x

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 321 Die zugehörige Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsvariablen X ist

F(x) = P(X _~ x) = LI(Xi) (1I-80)

XI:5:x

wobei über alle Werte x i ~ X zu summieren ist Die graphische Darstellung der Vertei- lungsfunktion F (x) führt uns zu einer sog. Treppenfunktion. Bild lI-55 zeigt eine sol- che Treppenfunktion im Falle einer diskreten Zufallsvariablen mit endlich vielen Werten.

Sie macht an den SprungsteIlen Xl, X2, X3, ••• , x n der Reihe nach Sprünge der Größe PJ.P2,P3, ... ,Po und ist zwischen zwei aufeinander folgenden Sprungstellen konstant.

WIr fassen zusammen:

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen (diskrete Verteilung)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen X lässt sich durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion

{ PO I(x) = ;

X = Xi (i = 1,2,3, ... )

für (1I-81)

alle übrigen X oder durch die zugehörige Verteilungsfunktion

F(x)

=

P(X ~ x)

=

LI(Xi) (1I-82)

Xi:5:x

vollständig beschreiben (p i: Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable X den Wert Xi annimmt; siehe hierzu die Bilder lI-54 und lI-55).

Wahrscheinlichkeitsfunktion

I

(x) und Verteilungsfunktion F (x) besitzen dabei die folgenden Eigenschaften:

(I) I (Xi) 2': 0 (1I-83)

(2)

I

(x) ist nonniert, d. h. es gilt

00

LI(Xi) = I (1I-84)

;=1

(3) F (x) ist eine monoton wachsende Funktion mit 0 ~ F (x) ~ I.

(4) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die diskrete Zufallsvariable X einen Wert zwischen a (ausschließlich) und b (einschließlich) annimmt, berechnet sich dann mit Hilfe der Verteilungsfunktion F (x) wie folgt:

P(a < X ~ b) = F(b) - F(a) (1I-85)

322 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Beispiele

(I) Beim Zufallsexperiment "Wurf eines homogenen Würfels" (Standardbeispiel I) ist die diskrete Zufallsvariable

x

⁼ Erreichte Augenzahl

wie folgt verteilt (es handelt sich um ein Laplace-Experiment):

Xi

f (x;) I I 6

2 I 6

3 I 6

4 I 6

5 I 6

6 I 6

Bild lI-56 verdeutlicht diese sog. Gleichverteilung durch ein Stabdiagramm (Wahr- scheinlichkeitsdiagramm).

'(x) 1/6

1 2 3 4 5 6 x

Blld ll-S6 Stabdiagramm für die Zufall.variable "X = Erreichte Augenzabl"

beim Wurf eines homogenen Würfels

Die zugehörige Verteilungsfunktion F (x) ist in Bild lI-57 dargestellt.

F(x) 1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6

1/6

2 3 4 5 6 x

Blld ll-S7 Verteilungsfunktion für die Zufallsvariahle "X = Erreichte Augenzahl"

beim Wurf eines homogenen Würfels

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 323 (2) Beim Zufallsexperiment "Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln"

(Standardbeispiel 2) besteht die Ergebnismenge Q aus den insgesamt 36 gleich- wahrscheinlichen Elementarereignissen (geordneten Augenpaaren) (I; I), (I; 2), (I; 3), ... , (6; 5), (6; 6). WIr bettachten die Zufallsvariable

x

⁼ Erreichte Augensumme

Sie ist diskret und nimmt die möglichen Werte 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 und 12 mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten an. Zunächst bestimmen wit mit dem nachfolgenden Schema, welche und wie viele Elementarereignisse zu den einzel- nen Werten der Augensunune X gehören:

(I; I) (I; 2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)

'" ^{/ / / / /}

2 (2; I) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)

'" ^{/ / / / /}

3 (3; I) (3; 2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)

'" ^{/ / / / /}

4 (4; I) (4; 2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)

'" ^{/ / / / /}

5 (5; I) (5; 2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)

6'"

/ / / / /

(6; I) (6; 2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)

'" '" '" '" '" '"

7 8 9 10 11 12

Elementarereignisse, die zut gleichen Augensunune führen, sind dutCh eine Iinie miteinander verbunden. Z. B. vetbindet die dick gezeichnete Linie alle Elementat- ereignisse mit der Augensumme X = 5. Daraus ergibt sich dann die folgende Häufigkeitstabelle (ni: absolute Häufigkeit):

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(I; I) (I; 2) (I; 3) (I; 4) (I; 5) (I; 6) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6) (6; 6) (2; I) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (3; 5) (4; 5) (5; 5) (6; 5)

(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (4; 4) (5; 4) (6; 4) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (5; 3) (6; 3)

(5; 1) (5; 2) (6; 2) (6; 1)

ni 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

324 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Alle 36 Elementarereignisse sind dabei gleichwahrscheinlich (Pi = p = 1/36 mit i = 1, 2, ... , 36). Daber erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten für die mögli- chen Werte der Zufallsvariablen X (,,Augensumme"), indem wir die absoluten Häu- figkeiten mit 1/36 multiplizieren. Dies führt zu der folgenden Verteilungstabelle:

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(Xi) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

- - - - -

36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

Bild lI-58 zeigt das Stabdiagramm, Bild lI-59 die zugehörige VerteilungsjunJaion.

fix)

6/36

1/36

T T

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

Bild 11-58 Stabdiagramm für die Zufallsvariable "x = Augensumme"

beim Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen WUrfeIn

F(x)

1 30/36

20/36

10/36

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x Bild 11-59 Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable "X = Augensumme"

beim Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 325 (3) Wir kommen auf unser Urnenbeispiel aus Abschnitt 2.1 (Standardbeispiel 3) zu- rück und berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der 8 Ele- mentarereignisse

000 . • 00. 0.0. 00 •. • • 0 . • 0 •. 0 • • . • • •

Dabei beachten wir. dass eine weiße Kugel mit der Wahrscheinlichkeit p ( 0) = 3/5 und eine schwarze Kugel mit der Wahrscheinlichkeit p ( . ) = 2/5 gezogen wird.

Da wir die jeweils gezogene Kugel stets zurücklegen. sind alle Ziehungen von- einander unabhängig. Die insgesamt 8 möglichen Elementarereignisse treten daher mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten ein (berechnet mit dem Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse).

Anzahl der gezogenen

Elementarereignis Wahrscheinlichkeit schwarzen Kugeln

3 3 3 27

0

000

^{_ . _ . -}_{5 5 5} = ₁₂₅

. 0 0

} jeweils

~. ~.~

⁼

II~

I

0 . 0

00 •

• • 0

} jeweils

~. ~.~

⁼

II~

2

. 0 .

0 • •

2 2 2

3

•••

^{_ ' _ 0 -5}

Die diskrete Zufallsvariable

x

= Anzahl der erhaltenen schwarzen Irngeln bei drei Ziehungen mit Zurücklegen

5 5

= ^-₁₂₅ 8

kaun dabei die Werte O. 1.2 und 3 annehmen. Sie sind wie folgt verteilt:

Xi f(Xi)

o

27 125

I 2 3

8 125

326 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bild II-60 zeigt das Stabdiagramm dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die zugehö- rige Verteilungsfunktion F (x) ist in Bild II-61 dargestellt

f(x) 54/125

36/125 27/125

8/125

o

¹ 2 3 x

Bili! 11-60 Stabdiagramm zum Urnenbeispiel

F(x)

1 117/125

81/125

27/125

o

1 2 3 Bili! 11-61 Verteilungsfunktion zum Urnenbeispiel

x

•

3.3.1 Kapiteltest

Mathematik - Kurz - Test (10min)

Wahrscheinlichkeit II (1. Teil)

1. Definiere die folgenden Begriffe:

(a) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) heisst normiert :⇔

(b) Zufallsvariable

2. Erkl¨ are den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion

3. Ein homogener W¨ urfel wird viermal geworfen und die Zufallsvariable X wie folgt definiert:

X = Anzahl von W¨ urfen mit der Augenzahl 2 Bestimme die m¨ oglichen Werte f¨ ur X.

4. Ein fiktives Zufallsexperiment liefert die folgende Verteilungstabelle:

x

i

2 4 6 12 18

f (x

i

)

₁₅³ ₁₅⁶ ₁₅² ₁₅² ₁₅²

Skizziere . . .

• das zugeh¨ orige Stabdiagramm,

• Bestimme P (X ≤ 12),

• Bestimme P (X < 16).

14

3.4 Die Masszahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

(Vorlage Papula: Kapitel 5: p.335 - 344; ohne 5.1.3, 5.2)

• Um was geht’s ?

Um die Einf¨ uhrung von Kennwerten oder Masszahlen einer Ver- teilung, was uns auf die folgenden Begriffe f¨ uhren wird:

– der Mittel- oder Erwartungswert µ, – die Varianz σ

²

,

– die Standardabweichung σ.

• Was wir schon wissen . . .

ist, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsva- riable eindeutig und vollst¨ andig durch die Wahrscheinlichkeits- funktion f (x) oder die Verteilungsfunktion F (x) beschreiben l¨ asst.

Eine weitere M¨ oglichkeit der Charakterisierung ist durch die Kennwerte oder Masszahlen der Verteilung m¨ oglich.

• Wir definieren . . .

Def.: F¨ ur eine (diskreten) Zufallsvariablen X mit der zugeh¨ origen Wahr- scheinlichkeitsfunktion f (x) werden die folgenden Begriffe defi- niert:

– Der Mittelwert µ = E[X] := P

i

x

i

· f (x

i

) – Die Varianz σ

²

= V ar[X] := P

i

(x

i

− µ)

²

· f (x

i

) – Die Standardabweichung σ := p

V ar[X ]

15

• Das Wichtigste wieder erkl¨ art an unserem Beispiel:

Wir verwenden eine Urne mit 4 weissen und 3 schwarzen Kugeln und wenden darauf das Experiment dreimal Ziehen mit Zur¨ uck- legen an.

16

Aufgaben 3.3 Arbeiten mit Papula:

• Arbeite die Beispiele 1 und 2 auf p.342 - 344 durch,

• bearbeite die zugeh¨ orige Theorie & Bemerkungen.

• Zugeh¨ orige Aufgaben finden sich im Anhang, im Abschnitt 5: 1),5),7) und 8).

17

5 Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Wir berechnen sie wie folgt:

P (T ~ 10) = I - P (T :-:; 10) = I - F (10) = I - (1 - e -1) =

= ^{1 - 1}

+

e-¹ = e-¹ = ^0,368

335

Rund 36,8 % der elektronischen Bauelemente sind demnach zur Zeit t = 10 noch funktionstüchtig.

(4) Zur Beschreibung von Ermüdungserscheinungen bei Werkstoffen wird häufig die sog. Weibull-Verteilung herangezogen. Die Lebensdauer T eines Werkstücks, eines Geräts oder einer Maschine besitzt dann eine Verteilungsfunktion vom 1yP

F (t) = 1 _ e(-at" (t > 0)

mit den Parametern a und ß (für t :-:; 0 ist F (t) = 0). Die zugehörige Dich- tefunktion erhalten wir hieraus durch Differentiation nach der Variablen t:

f(t) = F'(t) =

! ^{[1 -}

e(-at"] =

0 -

e(-at" . (-aßt P- 1) =

= aßtP-1 . e(-at"

(für t > 0, ansonsten ist f (t) = 0).

5 Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

•

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer (diskreten oder stetigen) Zufallsvariablen X lässt sich in eindeutiger und vollständiger Weise entweder durch die Verteilungsfunktion F (x) oder aber durch die zugehörige Wahrscheinlichkeits-bzw. Dichtefunktion f (x) beschrei- ben. Die Verteilung kann aber auch durch bestimmte Parameter, die man als Kennwerte oder Maßzahlen der Verteilung bezeichnet, charakterisiert werden. Zu ihnen zählen u. a.

- der Mittel-oder Erwartungswert 1', - die Varianz a² und

- die StandankWweichung a.

Sie sind wichtige Sonderfälle einer Gruppe von Kennwerten, die als Momente einer Wabrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet werden 20). Der Mittelwert I' kennzeichnet da- bei in gewisser Weise das Zentrum oder die Mitte der Wahrscheinlichkeitsverteilung, während die Varianz a² und die StandankWweichung a geeignete Maßzahlen für die Streuung der Werte um diesen Mittelwert darstellen.

20) Im Rahmen dieser einführenden Darstell.un.g können wir auf die Momente einer Verteilung nicht näher eingehen und verweisen den Leser auf die spezielle Fachliteratur (siehe Literaturverzeichnis).

336

5.1 Erwartungswert einer Zufallsvariablen 5.1.1 Ein einführendes Beispiel

II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Beim Zufallsexperiment "Wurf eines Iwmogenen Würfels" treten die 6 möglichen Werte I, 2, 3, 4, 5 und 6 der diskreten Zufallsvariablen

x

= Erzielte Augenzahl

mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Wenn wir dieses Experiment nur oft genug wie- derholen, können wir "erwarten", dass die mittlere Augenzahl in der Nähe des arith- metischen Mittels aus den 6 möglichen Werten I bis 6 liegt. WIr "erwarten" somit bei hinreichend großen Versuchsserien eine mittlere Augenzahl von nahezu

x

= I

+

2

+

3

+

4

+

5

+

6 = 21 =

2.

= 3 5

6 6 2 ' (II-96)

Dieser Wert ist der sog. Erwartungswert der Zufallsvariablen X in dem beschriebenen Würfelexperiment. Bei einer großen Anzahl von Würfen können wir daher erwarten, dass wir pro Wurf eine mittlere Augenzabl von 3,5 erhalten.

5.1.2 Erwartungswert einer diskreten ZufaIlsvariablen

In dem soeben beschriebenen Beispiel traten die möglichen Werte der diskreten Zufalls- variablen X (" Erzielte Augenzahl beim Würfeln") alle mit der gleichen Wahrscheinlich- keit auf. Im Allgemeinen jedoch sind die Werte einer diskreten Zufallsvariablen X nicht gleichverteilt Bei der Berechnung des Erwartungswertes spielt daher die Wahrscheinlich- keitsfunktion f (x) eine entscheidende Rolle. Sie bestimmt in gewisser Weise die Gewichtungsfaktoren, mit denen die möglichen Werte x i in die Berechnung eingehen.

Den Erwartungswert der Zufallsvariablen X erhält man dann als Summe der gewichte- ten Werte Xi • f (Xi). Dies führt zu der folgenden Definition:

Definition: Unter dem Erwartungswert E (X) einer diskreten Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) versteht man die Größe

E(X) = LXi· f(Xi) (II-97)

i

Anmerkung

In der Definitionsformel (II-97) wird über alle möglichen Werte Xi summiert. Bei einer diskreten Zufallsvarlablen mit abzäh/bar unendlich vielen Werten wird dabei die absolu- te Konvergenz der (unendlichen) Reihe in Gleichung (II-97) vorausgesetzt. Andernfalls besitzt die Verteilung keinen Erwartungswert.

5 Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 337

• Beispiele

(1) Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit der Verteilungstabelle

x,

I 2 3 4

f (x;) 1/8 3/8 3/8 1/8 Sie besitzt den folgenden Erwartungswert:

4 1 3 3 1

E(X) = ~x, -fex,) = 1 - 8 + 2 - 8 + 3 - 8 + 4 - 8 = ,- 1

1 6 9 4 20

=8+8+8+8=8=2,5

(2) Beim "Wurf eines homogenen Würfels" ist die diskrete Zufallsvariable X = Erzielte Augenzahl

gleichverteilt (p, = f (x,) = 1/6 für i = 1,2, ___ ,6):

2 3 4 5 6

fex,) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Sie besitzt den folgenden Erwartungswert:

6

E(X) =

LX, -

^{fex,) =}

i=1

1 1 1 1 1 1

= 1 - - + 2 - - + 3 - - + 4 - - + 5 - - + 6 - - =

6 6 6 6 6 6

1 1 7

=

"6

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =

"6 -

21 =

"2

= 3,5 5.1.3 Erwartungswert einer sletigen Zufallsvariablen

•

Im Falle einer stetigen Zufallsvariablen X definieren wir den Erwartungswert E (X) wie folgt:

Definition: Unter dem Erwartungswert E (X) einer stetigen Zufallsvariablen X mit der Dichtefunktion f (x) versteht man die Größe

00

E(X) =

J

^{x- f(x)dx (11-98)}

-00

338 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Anmerkung ₀₀

Es wird vorausgesetzt, dass das Integral

die Verteilung keinen Erwartungswert.

J ^I

^x

^{I .}

f (x) dx existiert. Andernfalls besitzt

-00

• Beispiel

Die Lebensdauer T eines bestimmten elektronischen Bauelements kann in guter Nähe- rung als eine exponentialveneilte Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

f(t) = { 0 l . e-^lr

t< 0 für

t ~ 0 betrachtet werden (mit l > 0; Bild II-72).

t(t)

Bild ll-72

Dichtefunktion der exponentialverteil- ten Zufallsvariablen "T ~ Lebensdauer eines elektronischen Bauelements"

Die mittlere Lebensdauer ist daun durch den Erwartungswen E (T) gegeben. Wir erhalten:

00 00 00

E(T) =

J

^t·f(t)dt=

J

t·l·e-l'dt=l·

J

t·e-l.tdt =

-00 0 0

• Integral Nr. 313

=

l[-l~2-

^1.

e-

^{lr[ =}

1

^{[(-lt - 1)·}

e-l'l:

⁼

1 1

= - (0

+

1) = -

l l

Wir erinnern: Die Exponentialfunktion e^l' strebt für t ---> 00 schneller gegen unend- lich als die lineare Punktion -At - 1. Daher gilt:

lim (-lt - 1) . e-Ä '

=

lim

-ltl~

¹

=

0

1-400 1--400 e

•

5 Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 339 5.2 Erwartungswert einer Funktion

WIr ordnen der Zufallsvariablen X durch die Funktionsgleichung Z = g (X) in ein- deutiger Weise eine neue, von X abhängige Zufallsvariable Z zu. Der Erwartungswert E (Z) = E [g (X)] dieser Funktion wird dann wie folgt definiert:

Definition: X sei eine Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeits-bzw. Dichte- funktion f (x) und Z = g (X) eine von X abhängige Funktion. Unter dem Erwartungswert E (Z)

=

E [g (X)] der Funktion Z

=

g (X) versteht man dann die folgende Größe:

(1) Falls X eine diskrete Zufallsvariable ist:

E(Z)

=

E[g(X)]

=

Lg(x;J . f(x.) (11-99)

•

(2) Falls X eine stetige Zufallsvariable ist:

00

E(Z)

=

E[g(X)]

= J

^g(x) . fex) dx (11-100)

-00

Anmerkungen

(1) Für eine konstante Funktion Z = ^{g (x)} = const. = c gilt:

E(Z) = E(c) = c (11-101)

(2) Sind g, (X) und g2 (X) zwei von der gleichen Zufallsgröße X abhängige Funk- tionen, so gilt der Linearitätssatz :

E[a· g,(X)

+

b· g2(X)] = a· E[g,(X)]

+

b· E[g2(X)]

(a, b: reelle Konstanten).

• Beispiele

(1) X sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion fex) = e-^X (für x ~ 0, sonstf(x) = 0)

(11-102)

Dann besitzt die Zufallsvariable (Funktion) Z = 2 X

+

1 den folgenden Er- wartungswert:

00

E(Z) = E(2X + 1) = 2· E(X) + E(I) = 2·

J

^{X· e-xdx +1 =}

, o

• Integral Nr. 313

= 2 [ (-x - I ) . e -x

l:

^{+ 1 =} 2 (0 + 1) + 1 = 2 + 1 = 3

340 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

(2) Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit der folgenden Verteilungstabelle :

x,

f (x,)

1 1 8

2 3 8

3 3 8

4 1 8

Wir berechnen den Erwartungswert der von X abhängigen Funktion Z = X² nach der Definitionsformel (II-99) mit g (x) = x²:

4

E(Z) = E(X²) = LX? . fex,) = i=1

5.3 Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen

•

Im Falle einer diskreten Zufallsvariablen X lautet die Definition der drei Kennwerte Mittelwert 1', Varianz a2 und Standardabweichung a wie folgt:

Definitionen: Der diskreten Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsfunk- tion f (x) werden die folgenden Kennwerte oder Maßzahlen zuge- ordnet:

(1) Mittelwert I'

I' = E(X) = LX, . fex,)

,

(1I-103) (2) Varianz 0'

a2 ₌ Var(X) = L(x,

,

_1')2 ·f(x,) (1I-104) (3) Standardabweichung u

Die Standardabweichung a ist die Quadratwurzel aus der Va- rianz a² = Var (X):

a = -/Var(X) (1I-105)

5 Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 341 Anmerkungen

(I) Der Mittelwert " ist somit definitionsgemäß der Erwartungswert E (X) der diskreten Zufallsvariablen X.

(2) Die Varianz a 2 ist der Erwartungswert der diskreten Zufallsvariablen (Funktion) Z = (X - ,,) 2, durch die die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert "

beschrieben wird:

a² = E[(X -,,)2] =

L

^{(Xi -} ,,)2. fex;) (TI-106)

i

(3) Für die Varianz gilt stets a² ;:>: O. Sie ist ein geeignetes Maß für die Streuung der einzelnen Werte X i um den Mittelwert ". Bei kleiner Varianz liegen die meisten Werte in der Nähe von " und größere Abweichungen vom Mittelwert treten nur mit geringen Wabrscheinlichkeiten auf.

(4) Häufig wird auch die Standardabweichung a ;:>: 0 als Streuungsmaß verwendet Sie beschreibt die durchschnittliche (mittlere) Abweichung der Zufallsvariablen X von ihrem Mittelwert " und besitzt gegenüber der Varianz den Vorteil, dass sie die gleiche Dimension und Einheit hat wie die Zufallsvariable X.

(5) Bei einer symmetrischen Verteilung mit dem Symmetriezentrum Xo gilt:

" = E(X) = Xo (TI-I07)

(falls der Mittelwert" existiert; siehe hierzu das nachfolgende Beispiel (2)).

(6) Die der Zufallsvariablen X zugeordneten Kennwerte ", a² und a werden häufig auch als Kennwerte der diskreten Verteilung bezeichnet (z. B. ,,: Mittelwert der Verteilung).

(7) Für die Varianz a2 wird häufig auch das Symbol D 2 (X) verwendet.

Für die Varianz a2 einer Zufallsvariablen X lässt sich noch eine spezielle Formel her- leiten, die in den Anwendungen oft bequemer ist als die Definitionsformel (TI-I04):

a² = E[(X - ,,)2] = E(X 2 _ 2"X

+

,,2) =

= E(X²) _

2". -- --

E(X) ^"

+,,2.

E(I) ^I =

= E (X 2) _ 2,,2

+

,,2 = E (X2) _ ,,2 Somit gilt allgemein:

a 2 = E[(X _ ,,)2] = E(X2) _ ,,2

(TI-108)

(TI-109)

342 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Beispiele

(I) Beim "Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln" ist die diskrete Zu- fallsvariable

X = Erzielte Augensumme

nach Beispiel 2 aus Abschnitt 4.3 wie folgt verteilt:

X; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x;) ^{I 2} -^{3 4} -⁵ -⁶ -^{5 4} -^{3 2 I}

36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

Mittelwert fJ.. Varianz a² und Standordabweichung a berechnen wir zweck- mäßigerweise mit Hilfe der folgenden (schrittweise) erweiterten Verteilungstabelle (jetzt in spaltemörmiger Anordnung):

X; 36· f(x;) 36· X; • f(x;) Xi - f.l (X; - fJ.)2 • 36 . f(x;)

2 I 2 -5 25·1=25

3 2 6 -4 16·2 = 32

4 3 12 -3 9 . 3 = 27

5 4 20 -2 4·4 = 16

6 5 30 -I 1·5= 5

7 6 42 0 0·6= 0

8 5 40 I 1·5= 5

9 4 36 2 4·4 = 16

10 3 30 3 9 . 3 = 27

11 2 22 4 16·2 = 32

12 I 12 5 25·1=25

L

^{252 0 210}

Zum Aufbau dieser Tabelle

1. Schritt: Die beiden Zeilen der ursprünglichen Verteilungstabelle werden als Spal- ten I und 2 übernommen, wobei wir die Wabrscheinlichkeitswerte f (x;) mit dem gemeinsamen Nenner 36 multipliziert haben, um die Brüche zu beseitigen. Die 3.

Spalte enthält das zeilenweise berechnete Produkt der Spalten I und 2 (also die Wer- te X; • 36 . f(x;) = 36 . X; • f(x;)), aus ihrer grau unterlegten Summe in der letzten Zeile erhält man den Mittelwert fJ.:

I I 252

fJ. =

L

^{X; • f (x;) = - .}

L

^{36 . X; • f (x;) = -} . 252 = - = 7

; 36 ; 36 36

5 Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 343 2. Schritt: Nach der erfolgten Berechnung des Mittelwertes wird die Tabelle sinn- voller Weise um zwei weitere Spalten erweitert. Spalte 4 enthält die Abweichungen x. - fJ., Spalte 5 die Abweichungsquadrate, multipliziert mit den Werten der 2.

Spalte. Ihre Summe wird für die Berechnung der Varianz a² benötigt:

2 " 2 I " 2

a =L..J(x,-fJ.) ·f(x.)=-.L..J(X'-fJ.) . 36·f(x.)=

i 36 i

I 210

= 36 . 210 =

36

= 5,83

Die Standanlabweichung beträgt somit a = v'5,83 = 2,42.

Der Mittelwert fJ. = 7 fällt dabei erwartungsgemäß mit dem Symmetriezentrum Xo = 7 der Verteilung zusammen (Bild II-73). Bei oftmaliger Wiederholung des Würfelexperiments "erwarten" wir daher eine durchschnittliche Augensumme von nahezu 7.

fix)

6/36

1/36

T T

2 3 4 5 6 7 6 9 10 11 12 x

t

Symmetriezentrum (Erwartungswert)

Bild ll-73 Stabdiagramm für die Verteilung der ,,Augensumme X" beim Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln

(2) Einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen Kugeln entnehmen wir nacheinander drei Kugeln mit Zurücklegen (Stanlwrdbeispiel 3, Abschnitt 2.1). Die diskrete Zu- fallsvariable

X = Anzahl der schwarzen Kugeln bei drei Ziehungen mit Zurücklegen besitzt dann die folgende Verteilung (siehe hierzu auch Beispiel 3 aus Abschnitt 4.3):

x.

f (x;)

o

27 125

I 54 125

2 36 125

3 8 125

344 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Der Erwartungs-oder Mittelwert ist somit nach Gleichung (II-103):

4 TI _{~ ~} 8

# =

L

^Xi . f (Xi) = 0 . 125 + 1 . 125 + 2 . 125 + 3 . 125 =

1=1

54 72 24 150 6

= 0 + 125 + 125 + 125 = 125 =

"5

= 1,2

Wir interpretieren dieses Ergebnis wie folgt: Wenn wir dieses Zufallsexperiment z.

B. 1OOO-mal wiederholen (dabei werden insgesamt 3000 Kugeln gezogen), so dür- fen wir "erwarten", dass sich unter den 3000 gezogenen Kugeln nahezu 1200 schwarze Kugeln befinden.

Die Varianz a² wollen wir diesmal nicht nach der Definitionsformel (II-104), son- dern nach der rechnerisch bequemeren Formel (II-109) bestimmen. Dazu benötigen wir noch den Erwartungswert E (X2), der sich wie folgt berechnet:

2 ~2 2 2 7 2 5 4 2 3 6 2 8

E(X)=L..x··f(x,)=O · - + 1 · - + 2 · - + 3 . - =

i_I ' 125 125

rn

125

54 144 72 270 54

= 0 + 125 + 125 + 125 = ¹²⁵ = ²⁵ = ^2,16 Für die Varianz erhalten wir damit nach Formel (II-109):

a² = E (X²) - #2 = 2,16 - 1,2 2 = 2,16 - 1,44 = 0,72

Die Standardabweichung beträgt demnach a

=

';0,72

=

0,85.

•

5.4 Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen

Bei einer stetigen Zufallsvariablen X werden die drei Kennwerte Mittelwert #, Varianz a² und Standarrklbweichung a wie folgt in der Integralform definiert:

Definitionen: Der stetigen Zufallsvariablen X mit der Dichtefunktion f (x) wer- den die folgenden Kennwerte oder Maßzahlen zugeordnet:

(1) Mittelwert fl

00

# = E(X) =

J

^{X ·f(x)dx (lI-llO)}

- 0 0

(2) Varianz q' 00

a² = Var (X) =

J

^(x - ^{#)2 .} f(x) dx (lI-ll1)

- 0 0

3.4.1 Kapiteltest

Mathematik - Kurz - Test (10min)

Wahrscheinlichkeit II (2. Teil)

1. Definiere die folgenden Begriffe

• Erwartungswert

• Varianz

2. Ein fiktives Zufallsexperiment liefert die folgende Verteilungstabelle:

x

i

3 4 8 12 24

f (x

i

)

₁₅⁷ ₁₅³ ₁₅² ₁₅¹ ₁₅²

Bestimme die zugeh¨ origen Kennwerte

3. Ein weiteres Zufallsexperiment liefert die folgende Verteilungstabelle:

x

i

1.2 −1.4 −1.9 2.1 f (x

i

)

₁₇^{2 12}₁₇ ⁻¹_{17 17}⁴

Kennzeichne, was nicht richtig sein kann.

23

Wir diskutieren noch die folgende Aufgabe:

24

3.5 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen

(Vorlage Papula: Kapitel 6: p.350 - 370)

• Um was geht’s ?

Um die Wahrscheinlichkeitsfunktion bei Bernoulliexperimenten und der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem mehr- fach stattfindendem Experiment eine vorgegebene H¨ aufigkeit er- reicht.

Dies f¨ uhrt uns auf die folgenden Begriffe:

– die Binomialverteilung,

– die Hypergeometrische Verteilung, – die Poissonverteilung.

• Was wir neu einf¨ uhren m¨ ussen . . .

ist der Begriff des Bernoulliexperimentes:

• und was wir nat¨ urlich schon mitbringen ist . . . das Wissen ¨ uber die folgenden Begriffe:

– ZV,

– Wahrscheinlichkeitsfunktion, – Verteilungsfunktion,

– µ, σ

²

und σ.

25

3.5.1 Die Binomialverteilung (p.350 - 360)

• Die Voraussetzungen sind . . . – ein Bernoulliexperiment, – konstante Wahrscheinlichkeiten.

• . . . und zur Herleitung wollen wir ein weiteres mal ein (diesmal neues & etwas gr¨ osseres) Zahlenbeispiel durcharbeiten:

Wir verwenden eine Urne mit 15 (M) violetten und 31 (N-M) gelb- gepunkteten Kugeln aus welcher wir nacheinander 8 (n) Kugeln mit Zur¨ ucklegen ziehen.

– und beginnen wie immer mit . . .

– und definieren was wir bestimmen wollen:

– Eine m¨ ogliche Darstellung der gezogenen Kugeln ist . . .

mit der zugeh¨ origen Wahrscheinlichkeit:

– Die Anzahl aller m¨ oglicher Darstellungen ist . . .

– Somit folgt als L¨ osung:

• Die Verallgemeinerung f¨ uhrt auf:

26

Aufgaben 3.4 Arbeiten mit Papula:

• Arbeite die Beispiele 1 bis 3 auf p.358 - 360 durch,

• bearbeite die zugeh¨ orige Theorie & Bemerkungen.

• Zugeh¨ orige Aufgaben finden sich im Anhang, im Abschnitt 6: 1) bis 7).

27

350 II Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Beispiele

(I) Die Zufallsvariable X besitze die beiden Kennwerte I'x = 10 und

ai

^{= 1.}

Daraus berechnen sich Mittelwert I' z und Varianz a~ der linearen Funktion Z = 2X+ 1 wie folgt (a = 2,b = 1):

I'z = a . I'x

+

b = 2 . 10

+

¹ = 20

+

¹ = 21 ai = a² •

ai

= 2² . 1 = 4

Die Standarrlabweichung beträgt somit a z =

v'4

= 2.

(2) X sei eine Zufallsvariable mit dem Mittelwert I' x = I' und der Varianz

ai

= a²• Durch die lineare Transjo177Ultion

X-I' 1 1 I'

Z = - - = - (X - 1') = - . X - -

a a a a

wird die Zufallsvariable X in eine Zufallsvariable Z mit dem Mittelwert I' z = 0 und der Varianz a~ = 1 übergefiihrt:

1 1 ' 1 ' 1 ' I'z = a . I'x

+

b = - . I' - - = - - - = 0

a a a a

ai = a² •

ai

=

(~) 2 .

^{a2 =}

:2 .

^{a2 = I}

Die durchgeführte Transformation heißt Standaniisierung oder Standanitransforma- tion, die Zufallsvariable Z ist die zu X gehörige standaniisierte Zufallsvariable .

6 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen

6.1 Binomialverteilung Bernoulli-Experiment

•

Zufallsexperimente mit nur zwei verschiedenen möglichen Ausgängen (Ergebnissen) füh- ren zur Binomialverteilung. Bei einem solchen Experiment tritt ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p und das zu A komplementäre Ereignis A mit der Wahrschein- lichkeit q = 1 - p ein. Dies gilt auch für jede Wiederholung des Experiments, d. h.

das Ereignis A tritt bei jeder Durchführung des Experiments mit der gleichen und somit konstanten Wahrscheinlichkeit p ein. Man bezeichnet ein Experiment dieser Art, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, als ein Bernoulli-Experiment. Wrr geben zu- nächst zwei einfache Beispiele.

6 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen 351

• Beispiele

(I) Beim Miinzwurj (Wurf einer homogenen Münze) sind nur die beiden sich gegen- seitig ausschließenden Ereignisse

A: ,,zahf' und A: "Wappen"

möglich. Sie treten bei jedem Wurf mit den Wahrscheinlichkeiten p

=

P(A)

=

1/2 und q = P(A) = 1/2 auf. Es handelt sich also beim Münzwurf um ein Bernoulli-Experiment.

(2) In einer Urne befinden sich 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Bei der (zuflilligen) Entnahme einer Kugel sind nur die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereig- nisse

A: Ziehung einer weißen Kugel und

A: Ziehung einer schwarzen Kugel möglich. Sie treten mit den Wahrscheinlichkeiten

p = P(A) = 5/8 und q = P(A) = 3/8

auf. WIrd dabei die jeweils gezogene Kugel vor der nächsten Ziehung in die Urne zurückgelegt, so erfolgen auch alle weiteren Ziehungen mit diesen konstanten Wahrscheinlichkeiten. Auch in diesem Beispiel handelt es sich somit um ein Ber- noulli-Experiment mit den Wahrscheinlichkeiten p = 5/8 und q = 3/8.

(3) Bei der Massenproduktion eines bestimmten elektronischen Bauteils ist aus lang- jähriger Erfahrung bekannt, dass der Ausschussanteil 3 % beträgt (d. h. 3 % der produzierten Bauteile sind unbrauchbar). Die Fertigung der einzelnen Bauteile soll dabei völlig unabhängig voneinander erfolgen. Wrr können dann die Herstellung eines Bauteils als ein Zufallsexperiment auffassen, bei dem nur die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse

A: brauchbares Teil und A: unbrauchbares Teil möglich sind. Sie treten mit den (konstanten) Wahrscheinlichkeiten

p = P(A) = 0,03 und q = P(A) = 0,97 auf. Auch hier handelt es sich also um ein Bernoulli-Experiment.

•

Wrr betrachten jetzt ein sog. Mehrstufen-Experiment, das aus einer n-fachen Ausführung eines Bernoulli-Experiments mit den beiden möglichen (und sich gegenseitig aus- schließenden) Ereignissen A und A besteht. Dabei setzen wir voraus, dass das Ereignis A injedem der n Teilexperimente mit der gleichen Wahrscheinlichkeit P (A) = const. = p eintritt und die Ergebnisse der einzelnen Stnfen voneinander unabhängig sind.

352 II Wahrscheinlichkeitsrechnung Diese Voraussetzungen sind z. B. in den beiden weiter oben angeführten Beispielen

"Münzwur!" und "Ziehung einer Kugel mit Zurücklegen" bei einer mehrfachen Versuchsausführung stets erfüllt Ein derartiges Mehrstufen-Experiment nennen wir ein Bemoulli-Experiment vom Umfang n. Dann kann die Zufallsvariable

x

⁼ Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis A bei einer n-fachen Ausführung des Bernoulli-Experiments eintrin

jeden der Werte 0, I, 2, ... , n annehmen. Wir interessieren uns nun für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X = x (" das Ereignis A trin bei n Versuchsaus- führungen genau x-mal ein"). Die Verteilung dieser Zufallsvariablen X soll im Folgen- den anband eines eiufachen Urnenmodells hergeleitet werden.

Herleitung der Binomialverteilung am Urnemnodell

In einer Urne befinden sich weiße und schwarze Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ziehung eine weiße Kugel zu erhalten, sei p. Dann ist q = I - p die Wahrschein- lichkeit dafür, bei einer Ziehung eine schwarze Kugel zu erhalten (Bild II-75).

1000 .. ·0 ... 1

~~/ \~/

p q=l-p

Bnd 11-75

Die Ziehung einer weißen Kugel erfolgt mit der Wahrscheinlichkeit p, die einer schwarzen Kugel mit der Wahrschein- lichlreit q = 1 -P

Das Ereignis A wird dabei durch eine weiße Kugel, das Komp/ementärereignis A durch eine schwarze Kugel symbolisch dargestellt. Die Ziehung einer weißen Kugel ist daher gleichbedeutend mit dem Eintreten des Ereignisses A.

Nach jeder Ziehung wird die jeweils gezogene Kugel in die Urne zurückgelegt (Ziehung mit Zurücklegen). Daber bleiben die Wabrscheinlichkeiten p und q für jede Ziehung konstant²¹). Wir ziehen nun nacheinander n Kugeln, darunter mögen sich daun genau x weiße und somit n - x schwarze Kugeln befinden. Unser mehrstufiges Bemoulli- Experiment vom Umfang n führe dabei zu der in Bild II-76 dargestellten Anordnung der gezogenen Kugeln 22).

000· .. 0 •• ···•

Bild 11·76

x-mal (n-x)-mal

21) Befinden sich in der Urne insgesamt N Kugeln, darunter M weiße und somit N - M schwarze Kugeln,

M N-M

so ist P = N und q = ~.

22) Bei dieser speziellen Realisierung sind wir von der Annahme ausgegangen, dass zuniichst x weiBe und anschließend n -x schwarze Kugeln gezogen wurden.

6 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen 353

Da jede der x weißen Kugeln mit der Wahrscheinlichkeit p und jede der n - x schwarzen Kugeln mit der Wahrscheinlichkeit q gezogen wurde, ist die Wahrscheinlich- keit für diese spezielle Realisierung der Zufallsvariablen

x

⁼ Anzahl der gezogenen weißen Kugeln bei n Ziehungen mit ZUTÜCldegen nach dem Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse (ll-62) durch das Produkt

(p . p . p ... p) . (q . q . q ... q) = pX . qn-x (ll-129)

. . . .

• •

x-mal (n - xl-mal

gegeben. Es sind jedoch noch weitere Realisierungen des Ereignisses X = x möglich.

Sie entstehen offensichtlich durch Permutation der insgesamt n gezogenen Kugeln. Diese zerfallen dabei in zwei Klassen zu je x weißen und n - x schwarzen Kugeln. Die Anzahl der Permutationen ist dann nach Gleichung (ll-5) mit nl = x und n2 = n - x durch den folgenden Ausdruck gegeben:

n! (n)

P(n;x;n - x) = '( _ )' =

x. n x. x ^(ll-130)

Jede der Permutationen beschreibt dabei eine ganz spezielle Realisierung des Ereignisses X = x und tritt daher mit der Wahrscheinlichkeit pX . qn-x ein. Da alle Realisie- rungen sich gegenseitig ausschließen, addieren sich nach dem Atlditionsaxiom (ll43) die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Realisierungen und wir erhalten 23):

(x = O,I,2,,,.,n) (ll-l3l)

Dies aber ist die gesuchte Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) der diskreten Binomialver- teilung:

(x = O,1,2,,,.,n) (ll-132) n und p sind dabei die Parameter der Binomialverteilung, deren Verteilungstabelle das folgende Aussehen hat:

x 0 1 2 n

fex) qn

G)

^{qn-l .p} ( ; ) qn-2 . p2 pn

Bild ll-77 zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung für n=6 und verschiedene Werte der Wahrscheinlichkeit p.

23) Es gibt genau ( : ) Realisierungen des Ereignisses X = x, jede tritt dabei mit der Wahrscheinlichkeit pl: . qn-x ein.

354 fix)

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

a) 0

fix) 0,4 0,3 0,2 0,1

b) 0

fix) 0,4 0,3 0,2 0,1

c) 0 2

2

2

II Wahrscheinlichkeitsrechnung

I n=6;p=O,1 I

3 4 5 6 x

I n=6;p=O,5 I

3 4 5 6 x

I n=8;p=O,8 I

3 4 5 6 x

Hüd H-77 Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Hinomialverteilung für den Parameter n ~ 6 und verschiedene Werte der Wahrscheinlichkeit p

a) p ~ 0,1 b) p ~ 0,5 c) p ~ 0,8

Die Bezeichnung Binomialverteilung erklärt sich aus der Eigenschaft, dass die in der Verteilungstabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten der Reihe nach den Summanden in der binomischen Entwicklung von (q

+

^p)" entsprechen 24):

(q

+

p)" = q"

+ G)

^{qn-l . p}

⁺ G)

^{qn-2 . p2}

^{+ ... +}

^{pn (II-133)}

-...--. . ^.. . ^{. -...--}

f(O) f(l) f(2) f(n)

24) Vergleiche hierzu den Binomischen Lehrsatz in Band 1, Abschnitt 1.6.

6 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung lautet wie folgt:

F(x) = P(X

~

^{x) =}

L (n)

^{p' . qn-.}

k::;x k

355

(ll-134) Bild ll-78 zeigt den Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) und der zugehörigen Verteilungsfunktion F (x) für die Parameterwerte n = 5 und p = 0,5.

f(x)

I n=5;p=0.51 0.35

0.30 0.25 0.20 0.15 0,10 0.05

T

a) Wahrscheinlicbkeitsfunktion

0 2 3 4 5 x

F(x)

I n=5;p=0.5 I 0,031 0.158

0.313

b) Verteilungsfunktion

o 2 3 4 5 x

Bild ll-78 Wahrscheinlichkeitsfunktion fex) und zugehörige Verteilungsfunktion F(x) einer Binomialverteilung mit den Parametern n = 5 und p = 0,5 a) Wahrscheinlicbkeitsfunktion f (x)

b) Verteilungsfunktion F (x)