Analysis I für M, LaG/M, Ph 5.Übungsblatt
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 12.05.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Oberer und unterer Limes)
Es seien(an)n∈Nund(bn)n∈Nzwei beschränkte Folgen inRund es geltean≥0undbn≥0für allen∈N. Zeigen Sie lim sup
n→∞ (an·bn)≤lim sup
n→∞
an·lim sup
n→∞
bn. Unter welchen weiteren Bedingungen gilt dabei sogar „=“ anstelle von „≤“?
(a) Keine weiteren Bedingungen.
(b) (an)n∈Noder(bn)n∈Nist konvergent.
(c) (an)n∈Nund(bn)n∈Nsind konvergent.
Beweisen Sie in (a), (b) und (c) jeweils ihre Antwort, bzw. geben Sie ein Gegenbeispiel an.
Aufgabe G2 (Häufungspunkte)
Bestimmen Sie jeweils alle Häufungspunkte der folgenden Folgen:
an:= (−1)n
1+1 n
n
, n∈N bn:= (−1)n 1
pn, n∈N cn:=2n, n∈N.
Aufgabe G3 (Cauchy-Folgen)
Wir betrachten die rekursiv definierte Folgea0=2,an+1= 12 an+a2
n
. In Tutorium 4, Aufgabe 4 wurde gezeigt, dass
diese Folge gegenp
2konvergiert.
(a) Zeigen Sie, dassan∈Qfür allen∈N
(b) Zeigen Sie, dass(an)eine Cauchy-Folge inQist.
(c) Folgern Sie, dass die Folge nicht inQkonvergiert. Ist dies ein Widerspruch zu Satz 11.2?
Hausübung
Aufgabe H1 (Oberer und unterer Limes)
Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen reeller Zahlen den unteren Limes sowie den oberen Limes.
an:=
((1+1n)n nungerade (1+1n)n+1 ngerade bn:= (−1)npn
n+ n!
nn
cn:=
1+21n n=3k 2+n+1n n=3k+1
2 n=3k+2
k=0, 1, 2, . . .
1
Aufgabe H2 (Häufungswerte)
Berechnen Sie alle Häufungswerte der angegeneben Folgen
an:=p np
5+n−p 2+n bn:= 2n+ (−3)n
(−2)n+3n cn:=pn
n!
Aufgabe H3 (Cauchy-Folgen)
Seia0:=0,a1:=1und an:= (an−1+an−2)/2für n=2, 3, . . .. Zeigen Sie induktiv, dass an+1−an= (−1)n/2nund beweisen Sie die Konvergenz der Folge(an)mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums.
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