Analysis I für M, LaG/M, Ph 2.Übungsblatt
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 21.04.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Körperaxiome)
Beweisen Sie aus den Axiomen (A1)–(A9):
(a) Seia∈R. Das additiv inverse Element zuaist eindeutig, d.h. sindb,c∈Rund geltena+b=0,a+c=0, dann folgt b=c(d.h. die ZuordnungR→R,a7→“additiv Inverses vona” ist eine Funktion. Dies rechtfertigt die Bezeichnung
−afür das additiv Inverse vona).
(b) (−1)·a=−afür allea∈R. (c) −(−a) =afür allea∈R. (d) (−1)(−1) =1.
Notieren Sie jeweils, wo Sie welches Axiom bzw. schon bewiesene Aussagen benutzt haben.
Aufgabe G2 (Summenzeichen, Induktion) (a) Formen Sie6P10
j=21 j+5P9
k=1 2
k2 in einen Ausdruck der GestaltP...n=0(. . .)um.
(b) Beweisen Sie: Für allen∈NgiltPnk=121k=1−21n. Aufgabe G3 (Umgekehrte Dreiecksungleichung)
Beweisen Sie Satz 2.8 (g) aus der Vorlesung: Füra,b∈Rgilt
|a| − |b|
≤ |a−b|. Hausübung
Aufgabe H1 (Anordnungsaxiome)
Beweisen Sie aus den Axiomen (A1)–(A14):
(a) Füra∈Rfolgt ausa≤0, dass−a≥0.
(b) Sinda,b,c∈Rund gilta≤bundc≤0, so istac≥bc. (c) 1>0.
(d) Für allea∈Rista2≥0. Aufgabe H2 (Ungleichungen)
Beweisen Sie und nennen Sie die jeweils benutzen Anordnungsaxiome (die Rechenregeln für “+” und “·” können ohne Weiteres verwendet werden):
(a) Seienx,y∈R. Fallsx<y, so giltx<x+y2 <y. (b) x
y+ y
x ≥2, für allex,y∈R,x,y>0
(c) Zu reellen Zahlenx,y mitx<y gibt es eine reelle Zahlz, so dassx<z<y gilt.
Aufgabe H3 (Induktion)
Zeigen Sie: Für allen∈NgiltPnk=1k2=n(n+1)(2n+1)
6 .
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