Analysis I für M, LaG/M, Ph 9.Übungsblatt
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 9.06.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest)
Sei f :R⊇D→Reine Funktion undx0∈D.
Aus welchen der folgenden Aussagen folgt die Stetigkeit von f inx0? (Sie sollten nicht länger als10 Minutenfür den Minitest benötigen.)
(∃" >0) (∀δ >0) (∀x∈D:|x−x0|< δ)⇒ |f(x)−f(x0)|< ".
Für jede Folge(xn)n∈N⊆Dmit lim
n→∞xn=x0gilt: lim
n→∞f(xn) =f(lim
n→∞xn).
(∀" >0) (∃δ >0) (∀x∈D:|x−x0|< ")⇒ |f(x)−f(x0)|< δ.
(∀" >0) (∃δ >0) (∀x∈D:|x−x0|< δ)⇒ |f(x)−f(x0)|< ".
(∀" >0) (∃δ >0) (∀x,y∈D:|x−y|< δ)⇒ |f(x)−f(y)|< ".
Es gibt eine Folge(xn)n∈N⊆Dmit lim
n→∞xn=x0, so daß
nlim→∞f(xn) =f(lim
n→∞xn)ist.
Lösung:
(∃" >0) (∀δ >0) (∀x∈D:|x−x0|< δ)⇒ |f(x)−f(x0)|< ".
Für jede Folge(xn)n∈N⊆Dmit lim
n→∞xn=x0gilt: lim
n→∞f(xn) =f(lim
n→∞xn).
(∀" >0) (∃δ >0) (∀x∈D:|x−x0|< ")⇒ |f(x)−f(x0)|< δ.
(∀" >0) (∃δ >0) (∀x∈D:|x−x0|< δ)⇒ |f(x)−f(x0)|< ".
(∀" >0) (∃δ >0) (∀x,y∈D:|x−y|< δ)⇒ |f(x)−f(y)|< ".
Es gibt eine Folge(xn)n∈N⊆Dmit lim
n→∞xn=x0, so daß
n→∞lim f(xn) =f(lim
n→∞xn)ist.
Aufgabe G2 (Stetigkeit)
(a) SeiD⊆Rund f :D→Reine Funktion, sowie x0∈D. Ist zusätzlichx0ein Häufungspunkt vonD, so ist f inx0 genau dann stetig, wennlimx→x0f(x) =f(x0)gilt.
(b) Beweisen Sie Satz 18.3 im Skript:
Sei D⊆R und f,g : D→R seien stetig in x0 ∈D. Dann sind die Funktionen f +g, f g und |f| stetig in x0. Ist x0∈D˜:={x∈D:g(x)6=0}, so ist die Funktionf/g: ˜D→Rstetig inx0.
Lösung:
(a) ⇒: Sei f stetig inx0und sei(xn)eine beliebige Folge, die gegenx0konvergiert. Nach Satz 18.2 giltlimn→∞f(xn) = f(x0).
⇐: Seilimn→∞f(xn) =f(x0), d.h. für jede gegenx0konvergente Folge(xn)mitxn6=x0für allen∈Nkonvergiert die Folge f(xn)gegen f(x0). Um die Stetigkeit von f mittels Satz 18.2 zu zeigen, benötigen wir allerdings fürjede gegenx0konvergente Folge(yn), dass die Folgef(yn)gegenf(x0)konvergiert, also insbesondere auch für Folgen, in denen yn=x0für beliebige vielen∈N.
Betrachten wir aber eine solche Folge(yn), so können wir diese in zwei Teilfolgen zerlegen; eine Teilfolge enthält alle Folgengliederak6= x0, die andere alle Folgengliederbk= x0. Für beide Teilfolgen giltlimk→∞f(ak) = f(x0) bzwlimk→∞f(bk) = f(x0); für die erste nach Voraussetzung, für die zweite trivialerweise. Da die Folge f(yn)keine weiteren Häufungspunkte besitzen kann, ist f(x0)der Grenzwert. Nach Satz 18.2 ist f also stetig.
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(b) Seien f,g stetig in x0. Nach Satz 18.2 gilt für jede in Dgegen x0 konvergente Folge(xn), dass die Folgen f(xn) und g(xn)konvergieren mitlimn→∞f(xn) = f(x0)undlimn→∞g(xn) =g(x0). Nach Satz 17.9 a) existieren dann auch die Limites von f+g, f gund|f|fürx→x0und sind gegeben durch f(x0) +g(x0), f(x0)g(x0)und|f(x0)|. Erneutes Anwenden von Satz 18.2 liefert nun die Stetigkeit der Funktionen f +g, f gund|f|inx0.
Die Stetigkeit vonf/gwird ganz analog gezeigt. Gegebenenfalls müssen wir allerdings die gegenx0konvergenten Folgen (xn) so abändern, dass xn ∈ D˜ für alle n ∈ N. Dies ist aber kein Problem, da höchstens endlich viele Folgenglieder davon betroffen sind.
Aufgabe G3 (Grenzwerte und Stetigkeit)
Es seien zwei Funktionen f,g:[0,∞)→Rgegeben durch
f(x):=
sin1
x, fallsx6=0, 0, fallsx=0,
g(x):=
xsin1
x, fallsx6=0, 0, fallsx=0.
(a) Skizzieren Sie die Graphen vonf undg.
(b) Bestimmen Sie die Grenzwertelimx→0sin1x undlimx→0xsin1x, falls sie existieren.
(c) Sind f und/odergjeweils stetig in0?
Lösung:
(a) Siehe Abbildung 1 und Abbildung 2.
Abbildung 1:sin(1x)
(b) Zur Untersuchung des ersten Grenzwertes betrachten wir die Folge xn := nπ2, n∈N. Dann konvergiert(xn)n∈N gegen0. Aber die Folge
sinx1
n
n∈N konvergiert nicht, denn es gilt sinx1
n
=
sinnπ
2
= 1für ungerade nund
sinx1
n
=
sinnπ
2
=0für geraden. Also existiert der Grenzwert limx→0sin1
x nicht.
Wir wenden uns dem Grenzwert
limx→0xsin1 x zu. Es ist
sin1x
≤1für allex∈Rmitx6=0, also gilt
xsin1 x ≤ |x|
2
Abbildung 2:xsin(1x)
für diesex∈R. Damit haben wir
limx→0
xsin1 x =0, und somit
x→0limxsin1 x =0.
(c) Die Funktion f ist nicht stetig in 0, denn wir haben in (b) ja eine Folge (xn)n∈N im Definitionsbereich von f konstruiert, für dielimn→∞xn=0und f(xn) =sinx1
n 6→0=f(0)gilt.
Da nach (b)
xlim→0xsin1 x =0
ist, wissen wir, dass für jede Folge(xn)n∈Nim Definitionsbereich vongmit
n→∞lim xn=0
auch
n→∞lim g(xn) =0
gilt. Also istgstetig in0.
Hausübung
Aufgabe H1 (Grenzwerte)
(a) Beweisen Sie: Ist(xn)eine bestimmt divergente Folge gegen plus oder minus unendlich, so giltxn6=0für fast alle n∈N. Weiter ist die Folge(1/xn)n≥kfür ein geeignetesk∈Neine Nullfolge.
(b) Ist(yn)eine Nullfolge mit yn6=0für allen∈N, so ist(1/yn)im Allgemeinen nicht bestimmt divergent. Geben Sie hierzu ein Beispiel an.
(c) Beweisen Sie, dass für jede Nullfolge(yn)mityn6=0für allen∈Ndie Folge(1/|yn|)bestimmt gegen∞divergiert.
Lösung:
(a) Wir nehmen o.B.d.A. an, die Folge(xn) divergiert bestimmt gegen∞. Nach Definition gilt z.B. für C =1, dass ein n0∈N existiert, so dass xn> 1für allen ≥ n0. Es kann also höchstens endlich vielen geben mit xn =0, dementsprechend giltxn6=0für fast allen∈N.
Betrachten wir nun die Folge(1/xn)n≥kmitk∈N, so dassxn6=0fürn≥k.(1/xn)ist eine Nullfolge, falls für jedes
ε >0einn0∈Nexistiert, so dass|(1/xn)|< εfür allen>n0. Dies folgt aber direkt aus der bestimmten Divergenz
von(xn), mitε=C1. (b) yn= (−1)n1n
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(c) Sei(yn)eine Nullfolge mit yn6=0für allen∈N. Nach Satz 7.8 ist die Folge|(yn)|ebenfalls eine Nullfolge. Somit existiert für beliebigesε >0einn0∈N, so dass|(yn)|< εfür allen>n0. Dies bedeutet aber, dass(1/|yn|)>C:=1ε für allen>n0, die Folge(1/|yn|)divergiert also bestimmt gegen∞.
Aufgabe H2 (Kriterium für Stetigkeit)
Finden Sie für die folgenden Funktionen f :D→Rfür ein beliebigesx0∈Dund ein beliebigesε >0einδ >0, so daß gilt
|x−x0|< δ⇒ |f(x)−f(x0)|< ε. (a) f :R→R, f(x) =a x+bmita,b∈R.
(b) f :R→R, f(x) =x3
(c) f :(0,∞)→(0,∞), f(x) = 1x
(d) Kann obenδunabhängig vonx0gewählt werden?
Lösung:
(a)
|a x+b−(a x0+b)|=|a||x−x0|< ε fürδ:=|a|ε, da
|x−x0|< δ ⇒ |a||x−x0|<|a|δ=ε.
(b) Mit Satz 5.2 c) gilt
|x−x0|3= x−x0
·
x02+x x0+x2 ≤
3|x0|2+1 x−x0
< ε fürxnahe genug beix0undδ:=3|xε
0|2+1, da
3|x0|2+1 x−x0
<
3|x0|2+1
·δ=ε.
(c) Fürx,x0>0undx>12x0gilt
1 x − 1
x0 =
x0−x x x0
≤
x0−x
1
2x02 < ε fürδ:=12x02ε, denn
x0−x
1
2x20 < δ
1 2x02=ε
(d) In a) istδunabhängig vonx0, in b) und c) hingegen nicht. Funktionen, für dieδunabhängig von x0ist heißen gleichmäßig stetig.
Aufgabe H3 (Stetigkeit)
In welchen Punkten ist die Funktion f :R→Rmit
f(x) =
1 fürx≥1,
1
n für 1n≤x< n−11 (n=2, 3, 4, . . .), 0 fürx≤0.
stetig?
Lösung: Zunächst einmal ist die Funktionf an den Stellenx mitx>1,x<0sowie x∈(1n,n1
−1),n=2, 3, 4 . . ., stetig, da dort f konstant ist.
Ferner istx=0eine Stetigkeitsstelle. Denn für" >0setzen wirδ=". Dann gilt für allexmit der Eigenschaft|x−0|< δ:
|f(x)−f(0)|=|f(x)−0| ≤ |x|< ".
An den Stellen x = 1n, n∈N, ist die Funktion unstetig. Denn sei (xk)k∈N eine Folge die gegen 1n konvergiere, wobei xk< 1nfür allek∈Nsei, dann konvergiert die Bildfolge(f(xk))k∈Ngegen n+11 6= 1n=f(1n).
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