Analysis I für M, LaG/M, Ph 3.Übungsblatt
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 28.04.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Infima und Suprema)
(a) Es seienA,B⊂Rnichtleere beschränkte Mengen.
Beweisen Sie:sup(A∪B) =max{supA, supB}.
Gilt zusätzlichA∩B6=;, so istsup(A∩B)≤min{supA, supB}. Kann hier das Kleiner-Zeichen auftreten?
(b) Bestimmen Sie das Infimum und das Supremum von
B:=§ x
1+x :x>−1 ª
,
falls diese existieren.
Aufgabe G2 (Binomialkoeffizienten) Beweisen Sie
(a) Fürx,y∈Rundn∈Ngilt:
(x+y)n=
n
X
k=0
n k
xkyn−k
(b)
n
Y
i=1
2i−1 2i = 1
22n 2n
n
Aufgabe G3 (Konvergente Folgen)
(a) Seian=1−1n. Zeigen Sie mittels der Definition der Konvergenz von Folgen, dass(an)n∈Nkonvergiert und bestim- men Sie den Grenzwert.
(b) Seibn=Pn m=0
1
2
m
. Zeigen Sie, dass(bn)n∈Nkonvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Hausübung
Aufgabe H1 (Natürliche Zahlen)
Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen mittels vollständiger Induktion:
(a) Für allen∈N,n≥3gilt2n+1<n2 (b) Für allen∈N,n6=3giltn2≤2n
(c) Für allen∈N,n≥4gilt2n<n!
Aufgabe H2 (Funktionen)
Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen injektiv, surjektiv und/oder bijektiv sind. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion.
1
(a)
g:Z→N, g(x) =x2
(b)
h:(−1,∞)→(−∞, 1), h(x) = x x+1 (c)
k:R→R, k(x) =
(x :x<1 (x−1)2+1 :x≥1
Aufgabe H3 (Konvergente Folgen)
Untersuchen Sie, ob die folgenden Folgen inRkonvergieren:
(a)
an= n2−1 n+1
(b)
bn= (−1)n 1 pn
2
