Analysis I für M, LaG/M, Ph 9.Übungsblatt
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 9.06.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Minitest)
Sei f :R⊇D→Reine Funktion undx0∈D.
Aus welchen der folgenden Aussagen folgt die Stetigkeit von f inx0? (Sie sollten nicht länger als10 Minutenfür den Minitest benötigen.)
(∃" >0) (∀δ >0) (∀x∈D:|x−x0|< δ)⇒ |f(x)−f(x0)|< ".
Für jede Folge(xn)n∈N⊆Dmit lim
n→∞xn=x0gilt: lim
n→∞f(xn) =f(lim
n→∞xn).
(∀" >0) (∃δ >0) (∀x∈D:|x−x0|< ")⇒ |f(x)−f(x0)|< δ.
(∀" >0) (∃δ >0) (∀x∈D:|x−x0|< δ)⇒ |f(x)−f(x0)|< ".
(∀" >0) (∃δ >0) (∀x,y∈D:|x−y|< δ)⇒ |f(x)−f(y)|< ".
Es gibt eine Folge(xn)n∈N⊆Dmit lim
n→∞xn=x0, so daß
nlim→∞f(xn) =f(lim
n→∞xn)ist.
Aufgabe G2 (Stetigkeit)
(a) SeiD⊆Rund f :D→Reine Funktion, sowie x0∈D. Ist zusätzlichx0ein Häufungspunkt vonD, so ist f inx0 genau dann stetig, wennlimx→x0f(x) =f(x0)gilt.
(b) Beweisen Sie Satz 18.3 im Skript:
Sei D⊆R und f,g : D→R seien stetig in x0 ∈D. Dann sind die Funktionen f +g, f g und |f| stetig in x0. Ist x0∈D˜:={x∈D:g(x)6=0}, so ist die Funktionf/g: ˜D→Rstetig inx0.
Aufgabe G3 (Grenzwerte und Stetigkeit)
Es seien zwei Funktionen f,g:[0,∞)→Rgegeben durch
f(x):=
sin1
x, fallsx6=0, 0, fallsx=0,
g(x):=
xsin1
x, fallsx6=0, 0, fallsx=0.
(a) Skizzieren Sie die Graphen vonf undg.
(b) Bestimmen Sie die Grenzwertelimx→0sin1x undlimx→0xsin1x, falls sie existieren.
(c) Sind f und/odergjeweils stetig in0?
Hausübung
Aufgabe H1 (Grenzwerte)
(a) Beweisen Sie: Ist(xn)eine bestimmt divergente Folge gegen plus oder minus unendlich, so giltxn6=0für fast alle n∈N. Weiter ist die Folge(1/xn)n≥kfür ein geeignetesk∈Neine Nullfolge.
1
(b) Ist(yn)eine Nullfolge mit yn6=0für allen∈N, so ist(1/yn)im Allgemeinen nicht bestimmt divergent. Geben Sie hierzu ein Beispiel an.
(c) Beweisen Sie, dass für jede Nullfolge(yn)mityn6=0für allen∈Ndie Folge(1/|yn|)bestimmt gegen∞divergiert.
Aufgabe H2 (Kriterium für Stetigkeit)
Finden Sie für die folgenden Funktionen f :D→Rfür ein beliebigesx0∈Dund ein beliebigesε >0einδ >0, so daß gilt
|x−x0|< δ⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.
(a) f :R→R, f(x) =a x+bmita,b∈R. (b) f :R→R, f(x) =x3
(c) f :(0,∞)→(0,∞), f(x) = 1x
(d) Kann obenδunabhängig vonx0gewählt werden?
Aufgabe H3 (Stetigkeit)
In welchen Punkten ist die Funktion f :R→Rmit
f(x) =
1 fürx≥1,
1
n für 1n≤x< n−11 (n=2, 3, 4, . . .), 0 fürx≤0.
stetig?
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