Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt

Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010

Dr. Robert Haller-Dintelmann 05.05.2010

David Bücher

Christian Brandenburg

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Konvergenz von Folgen) Beweisen Sie:

(a) Eine Folge(an)inRkonvergiert genau dann gegena∈R, wennlim_n→∞|a_n−a|=0.

(b) Seik∈N. Ist die reelle Folge(an)^∞_n=1konvergent, dann auch(an+k)^∞_n=1, und zwar gegen den gleichen Grenzwert.

Lösung:

(a) (a_n)konvergiert gegena

⇔ ∀" >0.∃n₀∈N.∀n≥n₀.|a_n−a|< "

⇔ ∀" >0.∃n₀∈N.∀n≥n₀.

|a_n−a| −0 < "

⇔ (|a_n−a|)konvergiert gegen0.

(b) Angenommen die reelle Folge(a_n)^∞_n=1konvergiert gegena.

Sei" >0. Nach Definition gibt esn₀∈N, so dass|a_n−a|< "für allen≥n₀. Istn≥n₀, dann auchn+k≥n₀. Also

gilt|a_n+k−a|< "für allen≥n₀.

Dies zeigt, dass es zu jedem" >0einn₀∈Ngibt, so dass|a_n+k−a|< "für allen≥n₀. Nach Definition konvergiert daher(an+k)gegena.

Aufgabe G2 (Konvergenz von Folgen)

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

a_n:=(2n²−3n)(n³+1)

(n+2)(n²+n⁴) , n∈N, b_n:=p

n+1−p

n, n∈N,

c_n:=nⁿ

n!, n∈N, d_n:=

1+ 1

3n n

.

Lösung:

a_n: Es gilt für allen∈Nnach kürzen mitn⁵:

a_n=2n⁵−3n⁴+2n²−3n

n⁵+2n⁴+n³+2n² =2−³_n+_n²3−_n³4

1+²_n+_n¹2+_n²3

.

Zur Bestimmung dieses Grenzwertes verwenden wir die Rechenregeln für konvergente Folgen aus Satz 7.8. Wir haben bereits gesehen, dasslimn→∞1/n=0ist. Also ist mit Satz 7.8 (d) ii), angewandt auf die Folge (1/n)^∞_n=1 undα=−3auch die Folge(−3/n)^∞_n=1konvergent mit Grenzwert−3·0=0. Genauso argumentiert man, dass die Folgen€

2/n³Š∞

n=1, −3/n⁴∞

n=1,(2/n)^∞_n=1,€ 1/n²Š∞

n=1und€ 2/n³Š∞

n=1allesamt Nullfolgen sind.

Mit Satz 7.8 d) i) gilt dannlim_n→∞(2−3/n+2/n³−3/n⁴) =2+0+0+0=2undlim_n→∞(1+2/n+1/n²+2/n³) = 1+0+0+0=1. Wenden wir nun noch auf die Folgen im Zähler und Nenner Lemma 7.8 d) iii) und iv) an (man beachte, dass die Folge im Nenner nicht gegen Null konvergiert!), so bekommen wirlim_n→∞a_n=2/1=2.

Bemerkung: In dieser Ausführlichkeit macht man sich diese Argumentation natürlich nur einmal klar, danach schreibt man sowas folgendermaßen auf: Wegen der Rechenregeln für konvergente Folgen gilt:

nlim→∞a_n= lim

n→∞

2−³_n+_n²3−_n³4

1+²_n+_n¹2+_n²3

=2−0+0−0 1+0+0+0=2.

b_n: Für allen∈Ngilt b_n=p

n+1−p n=(p

n+1−p n)(p

n+1+p n) pn+1+p

n = n+1−n pn+1+p

n= 1

pn+1+p n. Da dieser Ausdruch immer positiv ist undp

n≤p

n+1gilt, erhalten wir damit für allen∈N 0≤b_n= 1

pn+1+p

n≤ 1

pn+p n= 1

2p n. Nun istlim_n→∞ ¹

2p n

Satz 7.8

= ¹₂lim_n→∞Æ₁

n Satz 8.1

= ¹₂Æ

lim_n→∞¹_n ^{Bsp. 7.4}= 0. Wir erhalten mit dem Sandwichsatz, ange- wandt auf die konstante Folge(0)^∞_n=1, die Folge 1/(2p

n)∞

n=1und die Folge b_n∞

n=1, dass b_n∞

n=1konvergent ist undlim_n→∞b_n=0gilt.

c_n: Für allen∈Ngilt

c_n=nⁿ n! = n

n· n n−1· n

n−2·. . .·n 2·n

1≥n n·n−1

n−1·n−2 n−2·. . .·2

2·n 1=n.

Nehmen wir nun an die Folge c_n∞

n=1wäre beschränkt, d.h. es gäbe einM∈R, so dass|c_n| ≤Mfür allen∈Ngilt, so erhalten wir

M≥ |c_n|=c_n≥n

für allen∈N, im Widerspruch zur Unbeschränktheit vonN. Also kann c_n∞

n=1nicht beschränkt und damit auch nicht konvergent sein.

d_n: Betrachte die Folge€ d_n⁰Š∞

n=1mitd_n⁰ :=€

1+_3n¹Š3n

. Sei" >0. Wir wissen aus der Vorlesung, dasslimn→∞

€1+¹_nŠn

= e. Es gibt alson₀∈N, so dass

€1+¹_nŠn

−e

< "für allen≥n₀. Dann ist auch|d_n⁰−e|=

€1+_3n¹Š3n

−e < "für allen≥n₀(sogar fürn≥ ⁿ₃⁰). Also konvergiert(d_n⁰)gegene. Nun giltd_n=p³

d_n⁰. Mit Satz 8.1 folgtlim_n→∞d_n=p³ e.

Aufgabe G3 (rekursiv definierte Folge)

Seia₁∈(0, 1)unda_n+1:=a_n(2−a_n)für allen∈N. Hat diese Folge einen Grenzwert?

Es gibt zwei verschiedene Lösungswege, die hier beide gefunden werden sollen.

(a) Leiten Sie aus der rekursiven Vorschrift Eigenschaften ab, die Aussagen über die Konvergenz liefern (analog zu Beispiel 7.12 aus der Vorlesung).

(b) Finden Sie eine Darstellung vona_n, die vona₁undn, aber nicht mehr vona_n−1abhängt und die also insbesondere nicht mehr rekursiv ist. Daraus lassen sich die Konvergenzeigenschaften ganz leicht ablesen.

Lösung:Behauptung:Die Folge konvergiert gegen 1.

(a) Wir zeigen zunächst mit Induktion:0<a_n<1für allen∈N: Induktionsanfang:Nach Voraussetzung ist0<a₁<1.

Induktionsvoraussetzung:Für einn∈Ngelte0<a_n<1.

Induktionsschritt:a_n+1=a_n(2−a_n) =1−(1−a_n)^2(0<a<ⁿ⁾1. Da0<a_n<1, ist0<(1−a_n)²<1, also aucha_n+1>0.

ƒ

Ausa_n<1folgt2−a_n>1, somita_n+1=a_n(2−a_n)>a_n.

Die Folge(a_n)wächst monoton und ist beschränkt, hat also nach Monotonie-Kriterium einen Grenzwerta.

Da nach G1(b) auch(an+1)gegenakonvergiert, folgt mit den Grenzwertsätzen (siehe H1), dassa=a(2−a), also 0=a(1−a), d.h.a=1odera=0. Der Falla=0kann nicht auftreten, weil die Folge monoton wächst mita₁>0.

Alsolim_n→∞a_n=1.

(b) Wir zeigen induktiv:a_n=1−(1−a₁)²ⁿ⁻¹für allen∈N. Induktionsanfang:a₁=1−(1−a₁) =1−(1−a₁)²¹⁻¹. Induktionsvoraussetzung:Für einngeltea_n=1−(1−a₁)²ⁿ⁻¹. Induktionsschritt:

a_n+1=a_n(2−a_n) = (1−(1−a₁)²ⁿ⁻¹)(1+ (1−a₁)²ⁿ⁻¹) =1−(1−a₁)²ⁿ.

ƒ Wegena₁∈(0, 1)ist:lim_n→∞a_n^{Satz 7.8}= 1−lim_n→∞(1−a₁)^{2nSatz 8.2}= 1.

Hausübung

Aufgabe H1 (Rechenregeln für Grenzwerte)

Es seien(a_n),(b_n)Folgen inRmitlimn→∞a_n=aundlimn→∞b_n=b. Beweisen Sie:

(a) limn→∞(a_n+b_n) =a+b (b) lim_n→∞(αan) =αafür alleα∈R

(c) lim_n→∞(a_n·b_n) =a·b Lösung:

(a) Sei" >0. Wähle n_a,n_b ∈N so, dass|a_n−a|< ^"₂ für alle n≥n_a und|b_n−b|< ^"₂ für allen≥n_b. Setzen₀:=

max{n_a,n_b}. Dann gilt für allen≥n₀:|(a_n+b_n)−(a+b)|=|(a_n−a)+(b_n−b)|^∆-Ungl.≤ |a_n−a|+|b_n−b|<₂^"+^"₂=".

Also konvergiert(a_n+b_n)gegena+b.

(b) Sei" >0. Wählen₀∈Nso, dass|a_n−a|<_1+|α|^" für allen≥n₀. Dann gilt|αa_n−αa|=|α| · |a_n−a|<|α| ·_1+|α|^" ≤"

für allen≥n₀. Also konvergiert(αan)gegenαa.

(c) Sei" >0. Setze"⁰:=min{", 1}und wählen_a,n_b∈Nso, dass|a_n−a|<_3(1+|^"0_b|) für allen≥n_aund|b_n−b|<_3(1+|^"0_a|) für allen≥n_b. Setzen₀:=max{n_a,n_b}. Dann gilt

|a_n·b_n−a·b|=|a_n·b_n−a·b_n+a·b_n−a·b|^∆

-Ungl.

≤ |a_n·b_n−a·b_n|+|a·b_n−a·b|=|a_n−a| · |b_n|+|a| · |b_n−b|

< "⁰

3(1+|b|)· |b_n|+|a| · "⁰

3(1+|a|)≤ "⁰

3(1+|b|)· |b+b_n−b|+"⁰

3

∆-Ungl.

≤ "⁰

3(1+|b|)· |b|+ "⁰

3(1+|b|)· |b_n−b|+"⁰

3 <"⁰ 3 +"⁰²

9 +"⁰

3

(∗)≤ "⁰ 3 +"⁰

9 +"⁰

3 ≤"⁰≤".

Bei(∗)wurde verwendet, dass"⁰²≤"⁰, da0≤"⁰≤1.

Also konvergiert(a_n·b_n)gegena·b.

Aufgabe H2 (Konvergenz von Folgen)

Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:

e_n:= c_n+1

c_n , n∈N, (c_nwie in G2) f_n:=3ⁿ·n³

2n n

, n∈N,

g_n:= (−1)ⁿp np

n+1−p n

, n∈N, h_n:=pⁿ

n+5, n∈N.

Lösung:

e_n: Es gilt

e_n= c_n+1

c_n =(n+1)ⁿ⁺¹ (n+1)! ·n!

nⁿ = (n+1)ⁿ⁺¹ (n+1)·nⁿ=

1+1

n n

,

also konvergiert(en)gegen die Eulersche Zahle.

f_n: Wir betrachten die Folge der Quotienten f_n+1

f_n = 3ⁿ⁺¹·(n+1)³

2n+2 n+1

2n n

3ⁿ·n³ =3(n+1)³ n³

(2n)!

n!·n!

(2n+2)!

(n+1)!·(n+1)!

=3

1+1 n

3 (n+1)² (2n+1)(2n+2). Nach den Rechenregeln für Grenzwerte (Satz 7.8 d) gilt lim_n→∞ ^fn+1_f

n = 3·1· ¹₄ = ³₄ < 1. Wähle n₀ so, dass

f_n+1 f_n −³₄

<¹₈ ist für allen≥n₀. Dann gilt ^fn+_f ¹

n < ³₄+¹₈= ⁷₈<1für allen≥n₀. Nun ist fürn≥n₀, da allef_nund somit ^fn+1_f

n positiv sind, 0≤f_n= f_n

0· f_n0+1 f_n0 · f_n0+2

f_n0+1·. . .· f_n f_n−1≤f_n

0·7 8·7

8·. . .·7 8= f_n

0· 7

8 n−n₀

=f_n

0· 8

7 n₀

· 7

8 n

.

Nach Satz 8.2 konvergiert die Folge ((7/8)ⁿ) gegen0, also gilt das auch für (fn₀·(8/7)ⁿ⁰·(7/8)ⁿ). Nach dem Sandwich-Theorem, angewandt auf die Folgen(0),(fn)und(f_n0·(8/7)ⁿ⁰·(7/8)ⁿ), ist damit(f_n)eine Nullfolge.

g_n: Wie bei der Behandlung von b_nin (G2), erhält man für allen∈N g_n= (−1)ⁿp

n+1 1 pn+p

n+1= (−1)ⁿ

pn+1 pn+p

n+1= (−1)ⁿ 1 1+Æ

1+¹_n. Mit Satz 7.8 (d) und Satz 8.1 folgt

n→∞lim|g_n|= 1 1+Æ

limn→∞1+¹_n =1 2.

Wäre(g_n)konvergent mit Grenzwert g ∈R, dann wäre nach Satz 7.8 (c)|g|=lim_n→∞|g_n|= ¹₂. Für den Limes kämen also nur ¹

2und−¹₂in Frage. Wärelim_n→∞g_n=¹₂, dann gäbe esn₀∈Nso, dass g_n−¹₂

<¹₂für allen≥n₀. Dann wäre aberg_n>0für allen≥n₀, ein Widerspruch! Ganz analog im Falllimn→∞g_n=−¹₂.

Also muss die Folge divergent sein.

h_n: Wegen n ≤ n+5 ist pⁿ n ≤ pⁿ

n+5. Wegen n+5 ≤ n² für fast alle n ∈ N (d.h. hier: für n ≥ 3) haben wir pn

n+5 ≤ pⁿ

n² = pⁿ npⁿ

nfür fast alle n ∈N. Laut Vorlesung gilt lim_n→∞pⁿ

n= 1, nach Satz 7.8 (d) ist auch lim_n→∞pⁿ

npⁿ

n=1·1=1. Mit dem Sandwich-Theorem (Satz 7.8 f) folgtlim_n→∞pⁿ

n+5=1.

Aufgabe H3 (Cesàro-Mittel)

Es sei(a_n)^∞_n=1eine reelle Folge. Wir definierenb_n:=¹_nPn k=1a_k.

(a) Beweisen Sie: Falls(a_n)konvergiert, dann auch(b_n), und zwar gegen den gleichen Grenzwert.

Hinweis: Wählen Sie zunächst (geschickt) n₁ ∈N und zerlegen Sie für n ≥ n₁ die Summen b_n = ¹_nPn₁ k=1a_k+

1 n

Pn

k=n₁+1a_k.

(b) Zeigen Sie: Die Umkehrung ist falsch, d.h. wenn(b_n)konvergiert, dann nicht notwendig auch(a_n).

(c) Konvergiert stets(bn), wenn(an)beschränkt ist? Beweis oder Gegenbeispiel.

Bemerkung: Die Folge(b_n)heißt Cesàro-Mittel von(a_n). Lösung:

(a) Es seiader Grenzwert von(a_n). Sei" >0gegeben. Da(a_n)gegenakonvergiert, gibt esn₁∈Nso, dass|a_n−a|<^"₂ für allen≥n₁. Wählen₀∈Nso, dassn₀≥ ²_"Pn₁

k=1|a_k−a|(das gibt es nach dem Satz von Archimedes, Satz 3.4 b). Ist nunn≥n₀, dann

b_n−a =

1 n

n

X

k=1

a_k−a

= 1 n

n

X

k=1

(ak−a)

∆-Ungl.

≤ 1 n

n

X

k=1

|a_k−a|=1 n







n

X

k=n₁+1

|a_k−a|+

n₁

X

k=1

|a_k−a|







<n−n₁

n ·"

2+1 n

n₁

X

k=1

|a_k−a| ≤ "

2+ 1 n₀

n₁

X

k=1

|a_k−a| ≤ "

2+"

2≤". Also konvergiert(b_n)gegena.

(b) Gegenbeispiel:Setzea_n:= (−1)ⁿ,n∈N. Dann istb_n=¹_nPn k=1a_k=

(−¹_n, fallsnungerade

0, fallsngerade . Wie in der Vorlesung gezeigt, divergiert (a_n)(Beispiel 7.4 c). Da aber−¹_n ≤ |b_n| ≤0, konvergiert (b_n)nach dem Sandwich-Theorem

(Satz 7.8 f) gegen0. ƒ

(c) Behauptung:(bn)konvergiert nicht immer, wenn(an)beschränkt ist.

Gegenbeispiel:Setzea_n:= (−1)^k, falls3^k−1<n≤3^kfürk∈N, unda₁:=1. (da die Folge(3^k)^∞_k=0monoton wächst und unbeschränkt ist, gibt es zu jedemn∈N,n≥2, genau ein solchesk)

Dann gilt|b₃k−(−1)^k| ≤ ²₃für allek∈N:

b₃k−(−1)^k =

1 3^k

3^k

X

n=1

a_n−(−1)^k

∆-Ungl.

≤ 1 3^k

3^k

X

n=1

a_n−(−1)^k

= 1 3^k

3^k−1

X

n=1

a_n−(−1)^k + 1

3^k

3^k

X

n=3^k−1+1

a_n−(−1)^k

|a_n|=1

≤ 1 3^k

3^k−1

X

n=1

2+ 1 3^k

3^k

X

n=3^k−1+1

0=2 3.

Das bedeutet aber, dass(bn)nicht konvergieren kann. Ansonsten hätte(bn)einen Grenzwertb. Es gäben₀so, dass

|b_n−b|<¹₃ für allen≥n₀. Wählek∈Nso, dass3^k≥n₀. Dann ist

|b−(−1)^k|=|b−b₃k+b₃k−(−1)^k| ≤ |b−b₃k|+|b₃k−(−1)^k|< 1 3+2

3=1 und

|b−(−1)^k+1|=|b−b₃k+1+b₃k+1−(−1)^k+1| ≤ |b−b₃k+1|+|b₃k+1−(−1)^k+1|<1 3+2

3=1.

Es würde folgen

2=|(−1)^k−(−1)^k+1|=|(−1)^k−b+b−(−1)^k+1| ≤ |(−1)^k−b|+|b−(−1)^k+1|<1+1=2, ein Widerspruch.