T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid

T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T

A

19.05.2010

5. Tutorium Analysis II

Sommersemester 2010

(T5.1) (Strikt normierte R¨aume)

Ein normierter Raum (V,k·k) heißtstrikt normiertoderstrikt konvex, falls f¨ur allex, y∈V gilt

kxk ≤1 kyk ≤1 kx−yk>0







=⇒

x+y 2

<1.

Sein∈N,n≥2. Zeigen Sie, dass (Rⁿ,k · k2) strikt normiert ist, (Rⁿ,k · k∞) aber nicht.

(Hier istkxk2=pPn

i=1x²_i undkxk∞= max{|x₁|,|x₂|, . . . ,|x_n|}f¨urx∈Rⁿ.) L¨osung.

Seienx, y ∈ Rⁿmit kxk2 ≤1,kyk2 ≤1 undkx−yk2 >0. Die euklidische Normk · k2

ist die kanonische Norm bez¨uglich des inneres Produktshx, yi=Pn

i=1x_iy_iinRⁿ, also gilt nach (G4.1)(c)

kx+yk²2+kx−yk²2= 2kxk²2+ 2kyk²2, d. h.

kx+yk²2= 2kxk²2+ 2kyk²2− kx−yk²2. Also gilt

kx+yk2=q

2kxk²2+ 2kyk²2− kx−yk²2, und somit

x+y 2

2

= rkxk²2

2 +kyk²2

2 −kx−yk²2

4 ≤

r

1−kx−yk²2

4 <1.

Also ist (Rⁿ,k · k2) strikt normiert.

Seix= (1,1, . . . ,1)∈Rⁿundy= (1,0,0, . . . ,0)∈Rⁿ. Dann istx−y= (0,1, . . . ,1) und somit giltkxk∞=kyk∞= 1 undkx−yk∞= 1>0. Es gilt aber

x+y

2 =

1,1

2,1 2, . . . ,1

2

, 1

also ist

x+y 2

∞

= 1. Daher ist (Rⁿ,k · k∞) nicht strikt normiert.

(T5.2) (Orthogonale Matrizen und Kompaktheit)

Es sein∈N. Eine MatrixM∈R^n×nheißtorthogonal, wennM^T =M⁻¹gilt, wobeiM^T die transponierte Matrix vonM bezeichnet.

Zeigen Sie, dass die MengeO(n) der orthogonalenn×n-Matrizen eine kompakte Teilmenge vonRⁿ²ist. Hierbei identifizieren wir einen×n-MatrixM= (a_jk)ⁿ_j,k=1mit dem Vektor

(a11, . . . , a_1n, a₂₁, . . . , a_2n, . . . , a_n1, . . . , a_nn)∈Rⁿ².

Hinweis:Betrachten Sie f¨ur 1≤j, k≤ndie Abbildungf_jk:Rⁿ²→R, die durch

f_jk(M) =

n

X

l=1

a_lja_lk

f¨urM= (ajk)ⁿ_j,k=1∈Rⁿ²gegeben ist.

L¨osung.

Wir zeigen, dassO(n) eine abgeschlossene und beschr¨ankte Teilmenge desRⁿ² ist, dann folgt die Behauptung aus dem Satz von Heine–Borel (Forster,Analysis 2, § 3 Satz 5).

Dazu beobachten wir zun¨achst, dass einen×n-MatrixMgenau dann inO(n) liegt, wenn M^TM=Ingilt.

Nun definieren wir f¨ur 1≤j, k≤ndie Abbildungf_jk:Rⁿ²→Raus dem Hinweis durch

f_jk(M) =

n

X

l=1

a_lja_lk

f¨urM= (ajk)ⁿ_j,k=1∈Rⁿ². Dann ist

(f_jk(M))ⁿ_j,k=1=M^TM,

also istM∈O(n), genau dann wennf_jk(M) = 1 ist, wann immerj=kist undf_jk(M) = 0 im Fallej6=kgilt. Weiter ist zu bemerken, dassf_jkf¨ur jede Wahl vonjundkoffensichtlich eine stetige Abbildung ist.

Da{0}und{1} abgeschlossene Teilmengen vonRsind, folgt aus der zweite Bemerkung nach§2 Satz 11, dass

O(n) =

n

\

j=1

f_jj⁻¹({1})

!

∩ \

1≤j,k≤n, j6=k

f_jk⁻¹({0})

!

2

abgeschlossen inRⁿ² ist. Es bleibt also zu zeigen, dass O(n) in Rⁿ² beschr¨ankt ist. Sei dazu M = (a_jk)ⁿ_j,k=1 ∈ O(n). Dann ist der Euklidische Abstand zwischen dem Punkt (a11, . . . , a_1n, a₂₁, . . . , a_2n, . . . , a_n1, . . . , a_nn)∈Rⁿ²und dem Punkt (0, . . . ,0)∈Rⁿ²gegeben

durch v

u u t

n

X

j,k=1

a²_jk=p

f₁₁(M) +. . .+f_nn(M) =√ n.

Also istO(n) beschr¨ankt und der Beweis beendet.

3