HUMBOLDT-UNIVERSIT ¨AT ZU BERLIN INSTITUT F ¨UR PHYSIK
Mathematische Grundlagen (WS10/11)
Vorlesung: Prof. Dr. L. Schimansky-Geier Ubungen: Dr. A. Straube, S. Martens ¨
Ubungsblatt 4: ¨ Exponentialfunktion, trigonometrische und hyperbolische Funktionen
Ausgabe: 09.11.2010 Abgabe: 16.11.2010
1. Aufgabe (2 Punkte)
Der radioaktiver Zerfall wird durch die Exponentialfunktion beschrieben N(t) =N0exp(−αt).
N0 sei die Zahl der Teilchen zum Zeitpunkt t = 0 und α die stets positive Zerfallsrate. Nach welcher Zeittist einn-tel der anf¨anglichen TeilchenzahlN0 zerfallen? Geben Sie die allgemeine Form und die speziellen Ergebnisse fuer n= 2 und n= 4 an.
2. Aufgabe (10 Punkte)
Beweisen Sie folgende Beziehungen:
a) sin(x±y) = sin(x) cos(y)±cos(x) sin(y), b) cos(x±y) = cos(x) cos(y)∓sin(x) sin(y),
c) tan(x±y) = tan(x)±tan(y) 1∓tan(x) tan(y), d) arctan(x) + arctan(y) = arctan
x+y 1−xy
,
e) cosh(x±y) = cosh(x) cosh(y)±sinh(x) sinh(y),
Hinweis: Nutzen Sie die Exponentialdarstellung der trigonometrischen bzw. der hyperbolischen Funktionen.
3. Aufgabe (3 Punkte)
Berechnen Sie f¨ur folgende Funktionen y=f(x) die erste Ableitung y′ = dydx: (a) y=f(x) =x8/3, (b) y=f(x) = 2x+ 3
(x2+ 3x)2 , (c) y=f(x) = exp x2
