Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 4. Juli 2019
Fourier - Transformation
f(t) : R→R nichtperiodische Funktion (Zeitfunktion)
f ist st¨uckweise stetig differenzierbar in jedem Intervall [a, b] sowie R∞
−∞|f(t)|dt <∞ Die Formeln f¨ur f(t) gelten in den Stetigkeitspunkten von f.
komplexe Form Fourier-Integralsatz
f(t) = 1 2π
Z ∞
−∞
F(ω)eiωt dω F(ω) =
Z ∞
−∞
f(τ)e−iωτ dτ
f(t) = 1 2π
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
f(τ)eiω(t−τ) dτ
dω
F(ω) – Fourier-Transformierte von f(t) (Frequenzfunktion) reelle Form
f(t) = Z ∞
0
a(ω) cos ωt+b(ω) sin ωt dω a(ω) = 1
π ReF(ω) = 1 π
Z ∞
−∞
f(τ) cos ωτ dτ F(ω) =
π(a(ω)−i b(ω)) ω >0 π(a(−ω) +i b(−ω)) ω <0 b(ω) =−1
π ImF(ω) = 1 π
Z ∞
−∞
f(τ) sin ωτ dτ Amplitudenform
f(t) = Z ∞
0
A(ω) sin (ωt+ϕ(ω))dω A(ω) =p
a(ω)2+b(ω)2 a(ω) = A(ω) sinϕ(ω)
π A(ω) =|F(ω)| – Amplitudenspektrum b(ω) = A(ω) cosϕ(ω) ϕ(ω) = Arg (i F(ω)) – Phasenspektrum
Symmetriefall
f gerade: F(ω) = 2 Z ∞
0
f(τ) cos ωτ dτ f ungerade: F(ω) =−2i Z ∞
0
f(τ) sin ωτ dτ
Diskrete Fourier - Transformation (DFT, FFT)
f = (f0, f1, . . . , fN−1)⊤ ∈RN mit fN =f0 – diskrete periodische Funktion
¨uber dem Zeitgitter {t0, t1, . . . , tN} mit tn =n∆t , n= 0, . . . , N −1, N∆t =T fm =
N−1
X
k=0
Fkeiωktm, m= 0, . . . , N−1 Fk= 1
N
N−1
X
n=0
fne−iωktn, k = 0, . . . , N−1
fm = 1 N
N−1
X
k=0 N−1
X
n=0
fneiωk(tm−tn), m= 0, . . . , N−1
F = (F0, F1, . . . , FN−1)⊤∈CN – diskrete Fourier-Transformierte von f (endliches Spektrum)
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Dr. U. Streit 4. Juli 2019
Fourier - Transformation : Rechenregeln
Zeitbereich Frequenzbereich
Zeitfunktion: f(t), f1(t), f2(t) Frequenzfunktion: F(ω), F1(ω), F2(ω) : F =F(f), Fi=F(fi), i= 1,2 Linearkombination
a f1(t) +b f2(t), a, b∈C a F1(ω) +b F2(ω) Ahnlichkeit¨
f(a t), a6= 0 1aF ωa
Verschiebung
f(t−a), a∈R e−iaωF(ω)
eibtf(t), b ∈C F(ω−b)
Faltung
(f1∗f2)(t) :=R∞
−∞f1(t−τ)f2(τ) dτ F1(ω)·F2(ω) Differentiation
f′(t) iω F(ω)
t f(t) i F ′(ω)
Integration Rt
−∞f(τ) dτ iω1 F(ω)
wennR∞
−∞f(τ)dτ = 0
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