Hans Walser, [20150102] Trinomialkoeffizienten 1 Worum geht es Es wird eine Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks der Binomialkoeffizienten besprochen. 2 Das Dreieck Die Abbildung 1 zeigt das Zahlendreieck.

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Hans Walser, [20150102]

Trinomialkoeffizienten 1 Worum geht es

Es wird eine Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks der Binomialkoeffizienten besprochen.

2 Das Dreieck

Die Abbildung 1 zeigt das Zahlendreieck.

Abb. 1: Zahlendreieck

Jede Zahl ist die Summe der drei Zahlen unmittelbar oberhalb sowie links und rechts oberhalb.

Man kann es auch so sehen: Eine Zeile wird dreimal versetzt unter einander geschrieben und dann wird addiert (Abb. 2).

Abb. 2: Zeile dreimal addieren

1 4 10 16 19 16 10 4 1

1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1

1 4 10 16 19 16 10 4 1

(2)

Die Zahlen ergeben sich als Koeffizienten durch das Potenzieren eines Trinoms:

p²+pq+q²

( )

⁰⁼¹

p²+pq+q²

( )

¹⁼^1p²⁺¹^pq^+1q²

p²+pq+q²

( )

²⁼^1p⁴⁺²^p³^q⁺^3p²^q²⁺²^pq³⁺^1q⁴

p²+pq+q²

( )

³⁼^1p⁶⁺^3p⁵^q⁺⁶^p⁴^q²⁺⁷^p³^q³⁺⁶^p²^q⁴⁺^3pq⁵^+1q⁶

p²+pq+q²

( )

⁴⁼^1p⁸⁺⁴^p⁷^q⁺¹⁰^p⁶^q²⁺¹⁶^p⁵^q³⁺¹⁹^p⁴^q⁴⁺¹⁶^p³^q⁵⁺¹⁰^p²^q⁶⁺⁴^pq⁷^+1q⁸

Alternativ kann mit einem quadratischen Polynom gearbeitet werden:

x²+x+1

( )

⁰ ⁼¹

x²+x+1

( )

¹⁼^1x²⁺^1x⁺¹

x²+x+1

( )

² ⁼^1x⁴ ⁺²^x³⁺^3x²⁺²^x⁺¹

x²+x+1

( )

³⁼^1x⁶⁺^3x⁵⁺^6x⁴ ⁺⁷^x³⁺^6x²⁺^3x⁺¹

x²+x+1

( )

⁴ ⁼^1x⁸⁺^4x⁷⁺^10x⁶⁺^16x⁵⁺¹⁹^x⁴⁺^16x³⁺^10x²⁺⁴^x⁺¹

3 Schreibweise und Indizierung

Für die Zahlen des Zahlendreieckes der Abbildung 1 habe ich die Schreibweise t_n,k , n∈

{

0, 1, 2, ...

}

^,^k^{∈ −}

{

^n,⁻ⁿ⁺^{1, ... ,}ⁿ⁻^1,ⁿ

}

gewählt (Abb. 3).

Abb. 3: Schreibweise und Indizierung In dieser Bezeichnung gilt die Rekursion:

t_n,k =t_n−1,k−1+t_n−1,k+t_n−1,k+1

(3)

Wir haben die Symmetriebeziehung:

t_n,−_k =t_n,k

4 Link zu den üblichen Trinomialkoeffizienten

Wir potenzieren das Standard-Trinom

(

a+b+c

)

. Zunächst erhalten wir zum Beispiel für den Exponenten 4:

a+b+c

( )

⁴ ⁼ ^a⁴⁺^4a³^b⁺^4a³^c⁺^6a²^b²^+12a²^bc⁺^6a²^c²⁺^4ab³⁺^12ab²^c

+12abc²+4ac³+b⁴+4b³c+6b²c²+4bc³+c⁴

Das ist eine hässliche Darstellung. Sie kann verbessert werden durch eine zweidimensi- onale dreiecksförmige Anordnung (Abb. 4). Die Terme im Dreieck sind zu summieren.

Abb. 4: Dreiecksanordnung

Die Koeffizienten dieses Schemas sind die üblichen Trinomialkoeffizienten für n = 4.

Wir erkennen die gewöhnlichen Binomialkoeffizienten und Produkte davon.

Wenn wir nun die Trinomialkoeffizienten spaltenweise addieren (Abb. 5), ergibt sich die zu 4 gehörende Zeile des Zahlenschemas der Abbildung 1.

(a + b + c)⁴ =

4a³b

4b³c

4a³c

4bc³ 6a²b²

12a²bc 12abc² 12ab²c

6a²c²

6b²c² 4ab³

4ac³ 1a⁴

1b⁴

1c⁴

(4)

Abb. 5: Spaltenweise Addition

Die Stimmigkeit dieses Verfahrens kann wie folgt eingesehen werden. In den Formeln der Abbildung 4 ersetzen wir a= p², b= pq und c=q² (Abb. 6).

Die Terme in einer Spalte enthalten dieselben Variablen mit denselben Potenzen. Wir können also spaltenweise addieren.

4

10 10

4

4 6

12

16 16

12 12

19 6

6 4

4 1

1

1 1

(5)

Abb. 6: Einsicht

In unserer Bezeichnung für t_n,k ergeben sich damit folgende Summenformeln:

t_n,_k=

( )

_k+2ⁿ _j

( )

^k+2^k+^j^j

j=0

n−k

⎢⎣ ⎥⎦2

∑

⁼^n! _j=0 j!(k+j)^!(¹^n−k−2^j)^!

n−k

⎢⎣ ⎥⎦2

∑

Wer Lust hat, kann einen Induktionsbeweis versuchen.

(p² + pq + q²)⁴ =

4(p²)³(pq)

4p⁷q

4(pq)³(q²)

4(p²)³(q²)

10p⁶q²

4(pq)(q²)³

4pq⁷ 6(p²)²(pq)²

16p⁵q³ 16p³q⁵

6(p²)²(q²)²

19p⁴q⁴

6(pq)²(q²)² 4(p²)(pq)³

4(p²)(q²)³

10p²q⁶ 1(p²)⁴

1p⁸

1(pq)⁴

1(q²)⁴

1q⁸ 12(p²)(pq)²(q²)

12(p²)²(pq)(q²) 12(p²)(pq)(q²)²

(6)

5 Farbliche Gestaltung

Wir können wie beim Pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten nun auch die Tri- nomialkoeffizienten modulo m farblich codieren.

In der Abbildung 7 wird zwischen gerade (schwarz) und ungerade (rot) unterschieden.

Abb. 7: Gerade und ungerade Wir erhalten eine fraktale Struktur, das war ja auch zu erwarten.

In der Abbildung 8 wird modulo 3 gearbeitet.

Abb. 8: Modulo 3

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Die Abbildung 9 gibt die Situation für modulo 4.

Abb. 9: Modulo 4 Die Abbildung 7 schließlich für modulo 5.

Abb. 7: Modulo 5