Hans Walser, [20190808]
3 d - K r e u z
1 Worum geht es?
Die Abbildung 1 zeigt ein 3d-Kreuz. Dieses ist aus sieben Würfeln zusammengesetzt.
Abb. 1: 3d-Keuz
Die Abbildung 2 zeigt zwei Flechtmodelle [2] von 3d-Kreuzen.
Abb. 2: Flechtm odelle
Das 3d-Kreuz ist ein Raumfüller. Der Raum kann lückenlos und überlappungsfrei mit 3d-Kreuzen ausgefüllt werden. Die Studie versucht, diesen Sachverhalt zu illustrieren.
Für die folgenden Überlegungen setzen wir die Kantenlänge auf eins.
2 2d-Kreuz
Wir holen Anlauf in der Ebene. Das 2d-Kreuz ist aus fünf Quadraten zusammengesetzt, hat also den Flächeninhalt 5. Mit 2d-Kreuzen kann die Ebene lückenlos und überlap- pungsfrei zugedeckt werden (Abb. 3).
Abb. 3: 2d-Kreuze
Ausgehend von einem (grauen) Ursprungskreuz gibt es zwei Vektoren u und v zu un- mittelbar benachbarten Kreuzen. Diese beiden Vektoren sind:
v u
u= 1 2
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥, v= −2 1
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥ (1)
Jedes weitere Kreuz ergibt sich durch eine Verschiebung des Ursprungskreuzes mit ei- ner Linearkombination dieser beiden Vektoren.
Die beiden Vektoren haben beide die Länge 5. Für die Determinante der aus diesen beiden Vektoren bestehenden Matrix ergibt sich:
det 1 −2 2 1
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ =5 (2)
Das heißt, dass das durch diese beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm densel- ben Flächeninhalt 5 hat wie das 2d-Kreuz. In unserem Fall ist das Parallelogramm sogar ein Quadrat.
Dieses Quadrat mit den darin enthaltenen Kreuzteilen gibt Anlass zu einem Kreuzpuzz- le [3].
Und nun in den Raum.
3 Vektoren und Matrix Wir beginnen mit den drei Vektoren:
u= 2 0
−1
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥, v=
−1 2 0
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥, w= 0
−1 2
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥ (3)
Die Abbildung 4 zeigt die drei Vektoren.
Abb. 4: Die drei Vektoren
Für die zugehörige Matrix erhalten wir die Determinante:
det
2 −1 0 0 2 −1
−1 0 2
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟ =7 (4)
Der durch die drei Vektoren aufgespannte Spat (Abb. 5) hat also wie das 3d-Kreuz das Volumen 7.
Der Spat ist kein Würfel, sondern ein Rhombenhexaeder. Die Seitenrhomben haben die Kantenlänge 5 (wie das Quadrat in Abb. 3) und die spitzen Winkel:
arccos 2
( )
5 ≈66.4218° (5)Bei den beiden grauen Punkten kommen drei stumpfe Winkel zusammen. Wegen
u+v+w= 1 1 1
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥ (6)
haben die beiden grauen Punkte den Abstand 3.
Abb. 5: Spat
Wir setzen nun in jedem der vier Punkte der Abbildung 4 ein 3d-Kreuz ein (Abb. 6).
Der Punkt liegt jeweils im Zentrum des 3d-Kreuzes.
Abb. 6: Vier 3d-Kreuze
Die Abbildung 7 zeigt dasselbe als Flechtmodell (alle Kreuze mit gleicher Farbstruk- tur).
Abb. 7: Flechtm odell
Wir setzen nun in den restlichen Punkten des Spates der Abbildung 5 je ein Kreuz ein (Abbildungen 8.0 bis 8.3).
Abb. 8.0: Graues Kreuz
Abb. 8.1: Rotes Kreuz
Abb. 8.2: Grünes Kreuz
Abb. 8.3: Blaues Kreuz
Die acht 3d-Kreuze füllen das Innere des Spates lückenlos und überlappungsfrei. Da mit dem Spat seinerseits der Raum lückenlos und überlappungsfrei gefüllt werden kann, ist das nun auch mit 3d-Kreuzen möglich.
W e b s i t e s
[1] Hans Walser: 3d-Kreuz
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/3/3d-Kreuz/3d-Kreuz.htm [2] Hans Walser: Würfelwelten
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelwelten/Wuerfelwelten.htm [3] Hans Walser: Kreuzpuzzle
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreuzpuzzle2/Kreuzpuzzle2.htm
![Hans Walser, [20170424] Erdbilder 1 Worum geht es? Es wird ein Modell besprochen (Abb. 1). Geodaten aus [1].](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)