Hans Walser, [20170424] Erdbilder 1 Worum geht es? Es wird ein Modell besprochen (Abb. 1). Geodaten aus [1].

Hans Walser, [20170424]

Erdbilder

1 Worum geht es?

Es wird ein Modell besprochen (Abb. 1). Geodaten aus [1].

Abb. 1: Modell

2 Orthografische Projektionen

Abb. 2: Orthografische Projektionen

a) b)

Die Abbildung 2a zeigt die Erdkugel in verschiedenen orthografischen Projektionen.

Das Bild im Kreuzungspunkt zeigt die Erde von vorne. Dabei ist „vorne“ eurozentrisch gedacht (Nullmeridian und Äquator als Mittellinien). Links und rechts davon die Erde ebenfalls von links beziehungsweise rechts, oben der Nordpol, unter dem Kreuzungs- punkt der Südpol und ganz zuunterst die Erde „von hinten“ (Pazifik, aber „auf dem Kopf“).

3 Würfelmodell mit Netz 3.1 Lateinisches Kreuz

Die Anordnung der Projektionen in der Abbildung 2a („lateinisches Kreuz“) lässt an ein Würfelnetz denken (Abb. 2b). Im Anhang eine größere Version als Bastelvorlage.

In jeder Frontalansicht sehen wir eine orthografische Projektion der Erdkugel. Die An- ordnung auf der Würfeloberfläche entspricht den Ansichten, die eine in einen Glaswür- fel eingegossene Erdkugel ergäbe.

Die Abbildung 2b zeigt allerdings bei weitem nicht die einzige Lösung. Die Abbildung 3 zeigt andere konsistente Belegungen mit orthografischen Projektionen.

Abb. 3: Andere Belegungen

Natürlich stellt sich nun die kombinatorische Frage, wie viele Belegungen mit orthogra- fischen Projektionen im lateinischen Kreuz möglich sind. Nun, eine bestimmte Projek- tion zum Beispiel die Sicht auf den Nordpol kann auf jedem der sechs Felder des Kreu- zes abgelegt werden. Die Projektion kann dann allerdings noch um Vielfache von 90°

gedreht werden, also vier Möglichkeiten im selben Feld. Somit haben wir insgesamt 24

a) b)

Möglichkeiten, die Sicht auf den Nordpol zu platzieren. Die anderen 5 Projektionen können dann allerdings nur noch auf eine Art konsistent platziert werden.

3.2 Didaktisches

Mit einem Set von 6 orthografischen Projektionen (Abb. 4) können konsistente Anord- nungen ausprobiert werden. Im Anhang das Set in größerem Format.

Abb. 4: Ausschneiden und ausprobieren

3.3 Verschiedene Würfelnetze

Nun gibt es aber 21 verschiedene Würfelnetze [2]. Die Abbildung 5 gibt eine schemati- sche Übersicht. Die meisten Beispiele kommen in spiegelbildlichen Versionen vor.

Abb. 5: Würfelnetze

Die Abbildung 6 gibt einige falsche Beispiele. Die mit gleicher Farbe markierten Quad- rate kämen aufeinander zu liegen. Anderswo hätten wir dann fehlende Quadrate.

Abb. 6: Falsche Beispiele

Einige der Beispiele der Abbildung 5 sind ihrerseits punktsymmetrisch. Bei diesen Bei- spielen (vgl. Abb. 7) gibt es nur 12 Belegungen mit orthografischen Projektionen, da je zwei Belegungen zu identischen Schnittmustern führen (von den Klebefalzen abgese- hen).

Abb. 7: Gleich oder verschieden?

3.4 Klebefalze

Die Abbildung 8 zeigt ein Beispiel, wo es mit den Klebefalzen nicht klappt. Die gelb markierten Klebefalze kommen sich in die Quere. An den lila markierten Kanten fehlt der Klebefalz.

Abb. 8: Probleme mit den Klebfalzen

In einem Schnittmuster ist die Anzahl der Außenkanten gerade. Dies kann mit einem destruktiven Verfahren eingesehen werden. Wenn wir bei einem fertigen Modell eine Kante aufschneiden, entstehen zwei Außenkanten.

Ein sicheres Verfahren zur Platzierung der Klebefalze besteht darin, an jeder zweiten Außenkante einen Klebefalz anzubringen.

4 Flechtmodell mit Streifen

Das Modell der Abbildung 1 wurde nicht geklebt, sondern aus drei Streifen der Abbil- dung 9 geflochten. Im Anhang die Streifen in größerem Format.

Abb. 9: Drei Streifen

Beim Flechten des Modells muss natürlich wieder auf Konsistenz der Projektionen ge- achtet werden.

Das Flechtmodell hat gegenüber dem Klebemodell einige Vorteile. Es muss nicht mit Leim oder Klebestoff gearbeitet werden. Die Modelle sind (wenigstens im Prinzip) re- versibel und können für Transport und Lagerung wieder auseinander genommen wer- den. Bei einiger Übung lassen sie sich auch schneller und präziser herstellen als Klebe- modelle.

5 Schein und Sein

Die meisten Orte der Erdoberfläche erscheinen auf der Oberfläche unseres Modells mehrfach, in der Regel dreifach. Das Schwarze Meer sehen wir auf den Seiten „vorne“,

„rechts“ und „oben“ (Abb. 10a). London, auf dem Nullmeridian gelegen, wird auf vier Seiten sichtbar, der Nordpol auf fünf Seiten und Teile des Äquators gar auf allen sechs Seiten, allerdings „oben“ und „unten“ im wörtlichen Sinne nur peripher und auf den übrigen Seiten nur je zur Hälfte.

Abb. 10: Sicht über Eck

Unser Modell entspricht also nicht der Vorstellung der in den transparenten Würfel ein- gegossenen Erdkugel (Abb. 10b).

Die Abbildung 11 zeigt die sechs orthografischen Projektionen rund um die Kugel. Die Projektionen „unten“, „hinten“ und „links“ werden jetzt von innen gesehen. Sie erschei- nen daher spiegelbildlich.

a) b)

Abb. 11: Projektionen

6 Weitere Würfelwelten

Weitere Beispiele zur Kombination von Erdkugel und Würfel siehe [3] und [4].

Websites

[1] ETH Zürich. Institut für Kartografie und Geoinformation. Kartenprojektionen (25.04.2017):

http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html [2] Hans Walser: Würfelabwicklungen (25.04.2017):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelabwicklungen/Wuerfelabwicklungen.htm

[3] Hans Walser: Würfelwelten (25.04.2017):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelwelten/Wuerfelwelten.htm [4] Hans Walser: Origami-Würfelwelt (25.04.2017):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Origami-Wuerfelwelt/Origami-Wuerfelwelt.htm

Anhang