Hans Walser, [20120124], [20201128] Dreieck dritteln 1 Worum geht es? Ein beliebiges Dreieck (Abb. 1a) soll flächenmäßig gedrittelt werden. 2 Konstruktion Wir dritteln die Dreiecksseiten (Abb. 1b).

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Dreieck dritteln 1 Worum geht es?

Ein beliebiges Dreieck (Abb. 1a) soll flächenmäßig gedrittelt werden.

2 Konstruktion

Wir dritteln die Dreiecksseiten (Abb. 1b).

a) b)

Abb. 1: Dreieckseiten dritteln

Dann verbinden wir gemäß Abbildung 2a oder 2b. Es gibt zwei Lösungen.

a) b)

Abb. 2: Das rote Dreieck ist ein Drittel des grauen

Der rechnerische Nachweis sei der Leserin / dem Leser überlassen oder wer sonst Lust dazu hat. Ist eine Kopfrechnung.

(2)

Die beiden Lösungen sind punktsymmetrisch, also kongruent (Abb. 3). Überlagert bil- den sie einen affin verzerrten Davidstern.

a) b)

Abb. 3: Kongruente Lösungen 3 Zerlegungsbeweis

Die Abbildung 4 zeigt einen Zerlegungsbeweis für die Lösung der Abbildung 2a. Jedes Puzzleteil kommt einmal innen und zweimal außen vor.

a) b)

Abb. 4: Zerlegungsbeweis

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4 Parkettierung

Die Abbildung 5 zeigt ein Parkett, das aus den beiden Lösungen zusammengesetzt ist.

Abb. 5: Parkett

Der rote Anteil ist flächenmäßig halb so groß wie der sichtbare graue.

5 Iteration und Formen

Das rote Drittel-Dreieck in den Abbildungen 2a und 6a hat nicht dieselbe Form wie das graue Startdreieck.

a) b)

Abb. 6: Iteration und Ähnlichkeit

Wenn wir aber den Drittelungsprozess auf das rote Drittel-Dreieck anwenden, erhalten wir ein Dreieck (gegenüber dem Startdreieck ist es das Neuntel-Dreieck), das zum Startdreieck ähnlich ist. Es entsteht aus dem Startdreieck durch Streckung vom Schwer-

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punkt aus mit dem Faktor −¹₃. Da dies ein Längenveränderungsfaktor ist, ergibt sich der Flächenveränderungsfaktor ¹₉.

Die Abbildung 7 zeigt weitere Iterationsschritte.

a) b)

Abb. 7: W eitere Iterationsschritte 6 Beweis

Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 8.

G ist der Schwerpunkt des Startdreiecks A_0,0A_0,1A_0,2.

A_0,0 A_2,0

A_2,1 A_2,2

A_1,0

A_1,1 A_1,2

A_0,1 A_0,2

G a!_0,2

a!_0,1 a!_0,0

Abb. 8: Bezeichnungen

Weiter sei:

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a!_0,_j =GA"""""_0,!_j

, j∈

{ }

0,1,2 ⁽¹⁾

Da _G der Schwerpunkt ist, gilt die Schwerpunktbedingung:

a!_0,_j

j=0

∑

2 ⁼⁰^! ⁽²⁾

Der Drittelungsprozess lässt sich rekursiv wie folgt formulieren:

a!_i+1,_j = ²₃a!_i,_j+¹₃a!_i,

( )

_j+1 ^{mod 3} ⁽³⁾

Für den ersten Schritt bedeutet dies:

a!_1,0= ²₃a!_0,0+¹₃a!_0,1 a!_1,1= ²₃a!_0,1+¹₃a!_0,2 a!_1,2= ²₃a!_0,2+¹₃a!_0,0

(4)

Für den zweiten Schritt erhalten wir exemplarisch:

a!_2,0= ²₃a!_1,0+¹₃a!_1,1

= ²₃

(

²₃a!_0,0+¹₃a!_0,1

)

⁺¹³

(

²³^a^!^0,1⁺¹³^a^!^0,2

)

= ⁴₉a!_0,0+⁴₉a!_0,1+¹₉a!_0,2

= ⁴₉

(

a!_0,0+a!_0,1+a!_0,2

)

=!

0 wegen (2)

"$$$#$$$%−³₉a!_0,2

=−¹₃a!_0,2

(5)

Analog durch zyklische Vertauschung:

a!_2,0 =−¹₃a!_0,2 a!_2,1=−¹₃a!_0,0 a!_2,2=−¹₃a!_0,1

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Daraus folgt die Behauptung.