Hans Walser, [20181007] Spiralenabstand 1 Worum geht es? Eine Rechenübung 2 Konstruktion

Hans Walser, [20181007]

Spiralenabstand 1 Worum geht es?

Eine Rechenübung 2 Konstruktion

Abb. 1: Ausgangsfigur

Auf einer der verlängerten Seiten des Einheitsquadrates wählen wir einen beliebigen Startpunkt (Abb. 1).

Nun zeichnen wir Achtelbögen gemäß Abbildung 2. So entsteht der Beginn einer Spira- le.

Abb. 2: Spiralenanfang

Hans Walser: Spiralenabstand 2 / 3 Wenn wir die Konstruktion weiterführen, entsteht eine Spirale.

Wie groß ist die rote Strecke, also der Spiralenabstand?

3 Bearbeitung

In der Abbildung 3 sind die Bogenradien eingezeichnet.

Abb. 3: Bogenradien

Wir nummerieren die Radien von innen nach außen.

Der innerste Radius r₁ ist frei wählbar (entsprechend der freien Wählbarkeit des Start- punktes). Weiter gilt:

r₁= frei wählbar r₂ =r₁+ 2

r₃=r₂ −1=r₁+ 2−1 r₄ =r₃+ 2 =r₁+2 2−1 r₅ =r₄−1=r₁+2 2−2 r₆ =r₅ + 2 =r₁+3 2−2 r₇ =r₆ −1=r₁+3 2−3 r₈ =r₇+ 2 =r₁+4 2−3 r₉ =r₈ −1=r₁+4 2−4

(1)

Die Länge Δ der roten Strecke ist:

Δ=r₉−r₁=4 2−4≈1.657 (2)

Hans Walser: Spiralenabstand 3 / 3

Dieser Länge ist unabhängig vom gewählten Startpunkt. Das heißt, das sich eine Art archimedischer Spirale entwickelt.