Kapitel 10

Kapitel 10

Kostenfunktionen

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Kostenfunktionen

• Kosten der Produktion für eine gegebene Outputmenge.

– Lösung des Kostenminimierungsproblems

• Gesamt-, Grenz- und Durchschnittskosten.

• Kurzfristige und langfristige Kostenkurven.

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Ökonomische Kosten

Die Opportunitätskosten

• Beim Messen der Kosten für den Gebrauch eines Inputs bedienen sich Ökonomen des Konzepts der Opportunitätskosten: Der Wert des Inputs beim Einsatz in der besten Alternative.

• Buchhalterische Kosten: Der tatsächliche Buchwert der Ausgaben für Anlagegüter.

Beispiel: Die Kosten von Arbeit. Wenn Arbeit auf einem vollkommenen Wettbewerbsmarkt zum Preis w angeboten und nachgefragt wird, dann ist w auch gleich den Opportunitätskosten, also dem Preis, den der Arbeiter bei einem anderen Arbeitgeber bekommen hätte. In diesem Fall stimmen ökonomische und buchhalterische Kosten überein.

Ökonomische Kosten

Kosten der Kapitalausgaben: Die Opportunitätskosten der Maschine, die sich aus ihrer besten alternativen Verwendungsmöglichkeit in der Produktion ergibt.

Der Mietzins von Kapital (rental rate of capital): Der „Preis“, den eine andere Partei bereit ist, für die Maschine (in einer Periode) zu zahlen.

Buchhalterische Kapitalausgaben: Die tatsächlichen Ausgaben werden als Aktivposten gebucht, dann wird der Buchwert des Kapitals über die Zeit abgeschrieben.

Versunkene Kosten

• Versunkenen Kosten (Sunk Costs) sind die Ausgaben, die getätigt worden sind und nicht mehr rückgängig gemacht werden können.

• Derartige Kosten sollten die Entscheidung eines Unternehmens nicht beeinflussen.

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Kostenminimierung

Kostenminimierung:

• Ziel: Finde die minimalen Kosten, die zur Produktion einer vorgegebenen Menge des Gutes notwendig sind.

• Wenn wir die Preise/Schattenpreise für jedes Input kennen, können wir die Gesamtausgaben angeben mit w, dem Preis für Arbeit (wage rate) und v, dem Mietpreis für Kapital (Zins). Dann:

• Um die Produktionskosten zu finden, formulieren wir das Optimierungsproblem mit Nebenbedingung: Minimiere die Ausgaben unter der Bedingung, dass mindestens eine bestimmte Outputmenge Q produziert wird.

vK wL C  

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Kostenminimierung

Graphische Darstellung:

• Grenzrate der technischen Substitution ist gleich dem Preisverhältnis der Inputs.

• Das Grenzprodukt eines Euros ist für jeden Faktor gleich.

w v L K F

L K RTS F

L K L

K  

) , (

) , (

,

w L K F v

L K

F_K( , )  _L( , )

Kostenminimierung

Kostenminimierung:

Lagrange:

BoOs:

Finde:

 

min wLvK udN QF K L

w v L K F

L K RTS F

L K L

K

 

) , (

) , (

,

)) , ( ( )

, ,

(K L wL vK Q F K L

L     

0 ) , ) (

, ,

(   



 w F K L

L L K L

 L



0 ) , ) (

, ,

(   



L K L Q F K L





0 ) , ) (

, ,

(   



 v F K L

K L K L

 K



Kostenminimierung

Beispiel:

• Angenommen Toyota‘s Produktionstechnologie für Autos ist

• Falls w=20 und v=5, was sind die minimalen Kosten um 10 Autos zu produzieren?

• Lagrange:

• BeOs:

• Lösung bei diesen Werten:

L K Q 

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Kostenfunktionen

Lösung des Kostenminimierungsproblems:

• Inputnachfragen als Funktion der Outputproduktion:

• Gesamtkostenfunktion:

• Die Gesamtkosten zur Produktion von Q Einheiten Output ist eine Funktion von Q und den Inputpreisen.

) , , ( )

, ,

(v w Q und L v w Q

K

) , , ( ) , , ( ) , ,

(v w Q vK v w Q wL v w Q

C  

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Kostenfunktionen

• Gesamtkosten C(Q) (manchmal TC(Q)), gegeben aus der Kostenminimierung. Die monetären Kosten, einen gegebenen Output Q zu produzieren.

• Eigenschaftender Gesamtkostenfunktion:

– Homogen vom Grad 1 in den Inputpreisen.

– Nicht-fallend in Q,v,w.

– Konkav in den Inputpreisen.

• Grenzkosten MC(Q)=dC/dq, die Ableitung von C(Q) nach Q misst die Grenzkosten einer zusätzlichen Outputeinheit.

• Durchschnittskosten AC(Q)=C(Q)/Q, Kosten pro Outputeinheit.

Kostenfunktionen

Beispiel:

Im Toyota Beispiel ist die Gesamtkostenfunktion:

Die Grenzkosten:

Die Durchschnittskosten:

Kostenfunktionen

Skalenerträge und die Kostenfunktion:

• Wenn F(K,L) konstante Skalenerträge hat, ist die Gesamtkostenfunktion linear in Q.

• Wenn F(K,L) steigende Skalenerträge hat, ist die Gesamtkostenfunktion steigend und konkav und die Grenzkostenfunktion fallend.

• Wenn F(K,L) fallende Skalenerträge hat, ist die Gesamtkostenfunktion steigend und konvex und die Grenzkostenfunktion steigend.

• Beispiel: Die Gesamtkosten bei Toyota sind linear in Q, also hat die Produktionstechnologie konstante

Skalenerträge. ₁₃

Kostenfunktionen

Beispiel: Allgemeine Cobb-Douglas Technologie F(K,L)=K^αL^β BeO‘s der Kostenminimierung:

Lösung der BeO‘s:

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Kostenfunktionen

Die Cobb-Douglas Gesamtkostenfunktion:

MC: AC:

RTS hängt von den Exponenten ab. Diese bestimmen ebenfalls die Form der marginalen Kosten.

Kurz- und langfristige Kosten

Fixe vs. variable Inputs:

• Langfristig sind alle Inputs variabel.

• Kurzfristig sind einige Inputs fix.

– Maschinen

– Arbeiter, wenn zusätzliche Arbeiter und Überstunden unverhältnismäßig teuer sind.

• Kurzfristige Kostenminimierung nimmt die fixen Inputs als gegeben an und maximiert bezüglich der variablen Faktoren.

Kurz- und langfristige Kosten

Beispiel:

Angenommen, Toyota‘s Kapitalstock is kurzfristig bei K* fixiert.

• Die kurzfristigen Gesamtkosten werden durch flexibles L bestimmt, um Q zu produzieren.

• Die notwendige Arbeit, um Q zu produzieren, ist:

• Variable Kosten:

• Fixkosten von Kapital:

• Gesamtkosten: SRC(v,w,Q)=

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Kurz- und langfristige Kosten

Beispiel:

Die kurzfristigen Gesamtkosten:

Die kurzfristigen Grenzkosten:

Die kurzfristigen Durchschnittskosten:

In der kurzen Frist sind die Durchschnittskosten U-förmig. Grenzkosten steigen stärker als in der langen Frist.

) , , (v wQ SRTC



 Q SRAC SRC

 

 Q SRMC SRC

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Kapitel 10 Konzepte

• Opportunitätskosten

• Versunkene Kosten

• Gesamt-, Grenz- und Durchschnittskosten

• Cobb-Douglas Kostenfunktion

• Kurzfristige Gesamt-, Grenz- und Durchschnittskosten