Zeigen Sie: a) Die durch die Abbildung kfk∞= max x∈[0,1]|f(x)| f ∈C0([0,1],R) definierte Norm besitzt die Eigenschaften einer Norm

Einf ¨uhrung in die Numerik ( Wintersemester 2015/16 ) Aufgabenblatt 3

Prof. Dr. Peter Bastian, Dominic Kempf Abgabe 13. November 2015

IWR, Universit¨at Heidelberg

Ubung 1¨ Normen im unendlich-dimensionalen Vektorraum

Betrachten wir den RaumC⁰([0,1],R)der auf dem Intervall[0,1]stetigen Funktionen.

Zeigen Sie:

a) Die durch die Abbildung

kfk_∞= max

x∈[0,1]|f(x)| f ∈C⁰([0,1],R)

definierte Norm besitzt die Eigenschaften einer Norm.

b) Die durch die Abbildung

kfk₁=

1

Z

0

|f(x)|dx f ∈C⁰([0,1],R)

definierte Norm besitzt die Eigenschaften einer Norm.

c) Betrachten Sie f ¨urx_k= ¹_k, k∈N, k >0die Funktionenfolge

u_k(x) =











0 f ¨urx∈[0,1]

[x_k, x_k+1]

sin

x_k−x xk−xk+1 ·π

f ¨urx∈[xk, xk+1]

und berechnen Sieku_kk₁ undku_kk_∞f ¨urk−→ ∞.

Warum k ¨onnen diese beiden Normen nicht ¨aquivalent sein?

( 4 Punkte ) Ubung 2¨ Normen imRⁿ

a) Zeichnen Sie die Einheitssph¨are

S:={x∈R²| kxk_p = 1}

f ¨urp= 1,2,∞.

b) Es wurde in der Vorlesung gezeigt, dass im Rⁿ alle Normen ¨aquivalent sind. Berechnen Sie explizit die sechs Koeffizienten, mit welchen die Normenkxk₁,kxk₂undkxk_∞(m ¨oglichst gut) gegeneinander abgesch¨atzt werden k ¨onnen. Wie verhalten sich die Koeffizienten f ¨urn−→ ∞?

( 3 Punkte ) Ubung 3¨ Frobeniusnorm

Die Frobenius-Norm einer MatrixA∈K^n×nist definiert als

kAk_F =





n

X

i,j=1

|a_ij|²





1 2

.

Zeigen Sie:

(i) Die Frobenius-Norm (FN) besitzt die allgemeinen Eigenschaften einer Norm.

(ii) FN ist vertr¨aglich mit der euklidischen Vektornormk · k₂. (iii) FN Frobenius-Norm ist submultiplikativ.

( 4 Punkte ) Ubung 4¨ Str¨omung in Rohrleitungsnetzwerken

r

(N−1)Kanten

P ←

Das abgebildete R ¨ohrennetzwerk hat n := N² Knoten V und m := 2N(N −1)Kanten E (die alle nach rechts bzw. unten gerichtet sind) zuz ¨uglich der Verbindungen zur PumpeP mit konstanter Flussrate qP. Zur Bestimmung des Drucks in den einzelnen Knoten kann mit Hilfe der Kirchhoff- schen Gesetze (Knoten und Maschenregel) ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden. Hierzu wird der Druck des Referenzknotenrauf Null gesetzt. F ¨ur alle anderen erh¨alt man aus der Knoten- regel

X

e∈E_v⁺

qe− X

e∈E_v⁻

qe= 0.

Hierbei enthaltenE_v⁺bzw.E_v⁻die Einfluss- bzw. Ausflusskanten am Knotenvundqebezeichnet den Fluss durch die Kantee. Endet die Kante an der Pumpe so ist dieser durch die Flussrateqe = qP

gegeben. Ansonsten gilt

qe=Le∆pe. F ¨ur gegebenese= (v, w)∈Eist dabei

∆pe =







p_v−p_w v6=r∧w6=r pv w=r

−p_w v=r.

In unserem Beispiel seiL_e= 1f ¨ur alle Kanten.

Stellen Sie das lineare Gleichungssystem f ¨ur beliebigeN ∈Nauf und beantworten Sie folgende Fragen:

a) Wie groß ist die Matrix?

b) Wie viele Werte ungleich 0 gibt es in jeder Zeile?

c) Hat das Gleichungssystem eine eindeutige L ¨osung?

( 4 Punkte )