Numerik stationärer Differentialgleichungen

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Andreas Prohl Cedric Beschle

Numerik stationärer Differentialgleichungen

Sommersemester 19 Tübingen, 06.07.2019

Übungsaufgaben 11

Problem 1. Es sei g : [a, b] → R eine monoton wachsende Funktion, und f : [a, b] → R. In der Vorlesung haben wir wiederholt, wannf Riemann-Stieltjes-integrierbar bzgl.gheißt.

a) Sei f : [a, b] → R (nur) stetig. Zeigen Sie, daß dann die Definition des Integrals Rb

a f(s)df(s) problematisch ist. Betrachten Sie hierzu entlang einer Partitionierung von[0, T]die Summen

L_n=

n

X

j=1

f(tj−1) f(t_j)−f(tj−1)

bzw. R_n=

n

X

j=1

f(t_j) f(t_j)−f(tj−1)

Zeigen Sie, daß i.A.limn↑∞L_n 6= lim_n↑∞R_n. Argumentieren Sie, daß dies genau dann der Fall ist, wenn die quadratische VariationQ^f(t)nicht verschwindet.

b) Seif ∈C¹([a, b]). Zeigen Sie, daß in diesem Fallf Riemann-Stieltjes-integrierbar (bzgl.f) ist.

c) Seif ∈ C^1/2([a, b]). Zeigen Sie, daß in diesem Fallf nicht Riemann-Stieltjes-integrierbar (bzgl.f) ist

Problem 2. SeiW ein Standard-Wienerprozeß auf(Ω,F,P), undf : [a, b]→Reine (determistische) Stufenfunktion, d.h. es existiert eine Partitionierung von[a, b], sodaß

f =

n

X

j=1

aj−1χ_[tj−1,tj).

a) Wir betrachten dasWiener-Integral

I(f) =

n

X

j=1

aj−1 W(tj)−W(tj−1) .

Zeigen Sie: das Wiener-Integral ist linear und genügt derIto-Isometrie

E

I(f)2

= Z b

a

|f(s)|²ds .

b) Benutzen Sie Teil a), um nun das Wiener-Integral für allef ∈L²(a, b)zu definieren.

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Problem 3.Konzeptionell relevant sind spezielle Prozesse – Martingale. Ihre Einführung erfordert das Konzept einer Filtration des W-Raums(Ω,F,P), womit wir hier beginnen:

Eine Familie{F_t}_0≤t≤T von Unter-σ-AlgebrenF_tvonF heißtFiltrationvon(Ω,F,P), wenn sie aufstei- gend geordnet ist, also:

Für alles, t∈[0, T]mits≤tgilt: F_s⊆ F_t.

Für ein {X_t; 0 ≤ t ≤ T} auf (Ω,F,P) heißt {F_t^X}_0≤t≤T, mit F_t^X = σ(Xs; 0 ≤ s ≤ t) natürliche Filtration;F_t^X ist also die kleinsteσ-Algebra, bzgl. derXtjeweils meßbar ist.

Ein R-wertiges ({F_t}0≤t≤T)-Martingal auf (Ω,F,{F_t}0≤t≤T,P) ist ein stochastischer Prozeß X ≡ {X_t;t≥T}mit folgenden Eigenschaften:

(i) X_tistF_t− B(R)-meßbar für jedest∈[0, T].

(ii) E[|X_t|]<∞gilt für alle0≤t≤T.

(iii) Für alles≤tgilt:

E[Xt|F_s] =Xs P-f.s.

Zeigen Sie, daß das Wiener-Integral{I_t(f); 0≤t≤T}ausProblem 2, b)mit

It(f) :=

Z t

0

f(s) dW(s) ∀t∈[0, T] ein{F_t^W}0≤t≤T-Martingal auf(Ω,F,P)ist.

Abgabe: 11.07.2019.

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