Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 1

Prof. Dr. Volker Kaibel M.Sc. Jonas Frede

Wintersemester 2019/2020

Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 1

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise19/emo/

Abgabe in der ¨Ubung am 24.10.2019 oder vorher in G02-207a Wichtige organisatorische Informationen

• Es gibt in jeder Woche ein ¨Ubungsblatt mit Aufgaben im Wert von in der Regel 20 Punkten. Die L¨osungen sind in Zweiergruppen anzufertigen und sollen sp¨atestens in der ¨Ubung der folgenden Woche abgegeben werden. Die bewerteten L¨osungen werden in der ¨Ubung der darauffolgenden Woche zur¨uckgegeben und die Aufgaben werden in selbiger ¨Ubung besprochen, bzw. vorgerechnet.

• Voraussetzungen f¨ur die Teilnahme an der Klausur zum Erwerb des Leistungs- nachweises sind ≥ 50 % der Punkte aus den ¨Ubungsaufgaben und das erfolgreiche Vorrechnen einer der Aufgaben.

• Die Klausur ist f¨ur Donnerstag, den 30.01.2020 um 11:00 (regul¨are ¨Ubungszeit) angesetzt.

Zur Erinnerung (M ⊆R beliebig, g∶M →R):

• O (g) ∶= {f ∶M →R∶ ∃C, x₀ ∈R so dass f¨ur alle x≥x₀ gilt: ∣f(x)∣ ≤C⋅ ∣g(x)∣}

• Ω(g) ∶= {f ∶M →R∶ ∃C>0, x₀∈R so dass f¨ur alle x≥x₀ gilt: ∣f(x)∣ ≥C⋅ ∣g(x)∣}

• Θ(g) ∶= O (g) ∩Ω(g)

• o(g) ∶= {f ∶M →R∶ ∀ε>0 ∃x^ε₀∈R so dass f¨ur alle x≥x^ε₀ gilt: ∣f(x)∣ ≤C⋅ ∣g(x)∣}

• ω(g) ∶= {f ∶M →R∶ ∀C ∃x^C₀ ∈R so dass f¨ur alle x≥x^C₀ gilt: ∣f(x)∣ ≥C⋅ ∣g(x)∣}

• Man schreibt statt “∈” auch “=” oder “≤” / “≥”.

Aufgabe 1 (1+1+1+1+1 Punkte)

Beweise oder widerlege folgende Aussagen:

(a) O (g) + O (g) ⊆ O (g) (b) O (g1) ⋅ O (g2) ⊆ O (g1⋅g2)

(c) Seien f₁(n), f2(n) ≥ 0 f¨ur alle n. Definiere max(f1, f₂)(n) ∶= max{f1(n), f2(n)}.

Dann ist max(f₁, f₂) ∈Θ(f₁+f₂).

(d) F¨ur alle f, g∶M →R gilt: f ∈ω(g) ⇒ f ∈Ω(g) (d) 3³ⁿ∈ O (3ⁿ)

S. 1/2

Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung – Blatt 1 S. 2/2

Aufgabe 2 (5 Punkte)

Wir betrachten folgenden Algorithmus:

Algorithmus: Power

Eingabe:Zweierpotenz n∈N

1 k←Ðlog₂(n)

2 p←Ð2

3 for i←Ð1, . . . , k do

4 p←Ðp⋅p

5 end

6 return p

Bestimme in Abh¨angigkeit von n (asymptotisch) (a) die L¨ange der Eingabe (bin¨ar kodiert), (b) die L¨ange der Ausgabe (bin¨ar kodiert),

(c) die Anzahl der Schritte des Algorithmus, wenn jede arithmetische Operation und die Funktionsauswertung von log als jeweils 1 Schritt z¨ahlen, sowie

(d) die Anzahl der Schritte des Algorithmus, wenn arithmetische Operationen mit s Bits Eingabe und t Bits Ausgabe O (s+t) Schritte ben¨otigen.

Aufgabe 3 (3 Punkte)

Seien A ∈R^m×n, b∈R^m und c∈Rⁿ. Bestimme Ã∈R^m×n,̃b∈R^m und ̃c∈Rⁿ, so dass die linearen Optimierungprobleme (LPs)

min{⟨c, x⟩ ∶Ax≥b, x∈Rⁿ} und

max{⟨̃c, x⟩ ∶ ̃Ax≤ ̃b, x∈Rⁿ}

die gleichen zul¨assigen L¨osungen und die gleichen Optimall¨osungen haben.

Aufgabe 4 (7 Punkte)

F¨ur A∈R^m×n,b∈R^m, B∈R^p×q und e∈R^p seien

X(A, b) = {x∈Rⁿ∶Ax≤b} und Y(B, e) = {y∈R^q∶By=e, y≥O^q} . (a) Zeige, dass es f¨ur jedes (B, e) ein (A, b) gibt mit Y(B, e) =X(A, b).

(b) Zeige, dass es f¨ur jedes (A, b) ein (B, e) und eine lineare Abbildung τ ∶ R^q → Rⁿ gibt, so dass τ(Y(B, e)) =X(A, b) ist. Wie kann man bei gegebenem c∈Rⁿ durch L¨osen eines linearen Optimierungsproblems ¨uber Y(B, e) eine Optimall¨osung f¨ur das LP max{⟨c, x⟩ ∶x∈X(A, b)} bestimmen?

Bemerkung: Mit Hilfe solcher Transformationen k¨onnen lineare Optimierungsmodelle in verschiedene Formen gebracht werden (mit beliebigen Mischungen von Gleichungen, Un- gleichungen, vorzeichenbeschr¨ankten und nicht vorzeichenbeschr¨ankten Variablen).

Hinweis: F¨ur (b) werden wesentlich mehr als nur n Variablen ben¨otigt.