Fakult¨at Mathematik 16.12.2004 Institut f¨ur Mathematische Stochastik
Prof. Christoph
Ich w¨unsche Ihnen ein Frohes Weihnachtfest sowie ein gesundes und erfolgreiches Jahr 2005.
Falls an den vielen freien Tagen Zeit bleibt, dem kann abgeholfen werden: Der Beleg dient der Selbstkontrolle, Mitte Januar 2005 werde ich die L¨osungen ins Netz stellen.
Beleg Mathematik I
1. a) Bestimmen Sie die graphisch und rechnerisch den G¨ultigkeitsbereich der Ungleichung
|x+ 2|> 1
3|x−2| ! b) F¨ur welche reellen Werte x gilt
3x+ 2
2x−1 <2 ? 2. a) Vereinfachen Sie
z = (1 + 2i)(i−1) + 1 (3 + 2i)2−2(2 +i) !
b) Bestimmen Sie alle L¨osungen der Gleichung z3+ 8i= 0 ! 3. L¨osen Sie die Matrizengleichung AX+ 2B =AT −2X mit
A=
"
5 2 4 −1
#
und B =
"
2 3 1 −2
#
!
4. Gegeben ist das Gleichungssystem:
x+ 3y+ (a−1)z = 0
2x+ y+ z = 0
x+ 2y+ az = 0
F¨ur welchen Wert a besitzt das System nichttriviale L¨osungen?
Geben Sie f¨ur diesen Wert alle L¨osungen an!
5. Zerlegen Sie die Kraft ¯F = [11,13,14]T in drei Komponenten parallel zu den Richtungen
¯
a1 = [1,3,2]T , ¯a2 = [2,1,3]T und ¯a3 = [3,4,1]T .
6. Durch die PunkteP1(3; 4; 5) ,P2(4; 5; 8) undP3(5; 3; 7) wird eine Ebene E festgelegt.
a) eine Parameterdarstellung der Ebene E ! b) den Fl¨acheninhalt des DreiecksP1P2P3 ! 7. Gegeben ist die Ebene E1 : 3x−2y+z = 5 .
a) Bestimmen Sie den SpiegelpunktP0des PunktesP(−4; 5;−1) bez¨uglich E1!
b) Ermitteln Sie die Gleichung der EbeneE2, die parallel zuE1 verl¨auft und den Punkt R(2; 3; 4) enth¨alt.
2
