Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH) 26.5.2006 Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften
Prof. Dr. G. Laue / Prof. Dr. T. Martin Abgabe: 9.6.2006
Finanzmathematik II
Beleg 3
1. Wir betrachten ein 3-Perioden-Modell mit N = 1 risikobehafteten Finanzgut (Aktie) und Ω=8 möglichen Fällen. Es gelte
=
=
=
=
8 7 6
5 4
3 2 1
1
8 7
6 5
4 3
2 1
1 8 7 6 5
4 3 2 1 1
1
falls 5
, falls 7
, falls 9
, falls 0 1
falls 2 1
) 3 ( , , falls 6
, falls 8
, falls 7
, falls 0 1 ) 2 ( , , , , falls 5
, , , falls ) 8 1 ( , 6 ) 0 (
ω ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
S S
S S
Für alle Perioden betrage der Zinssatz der risikolosen Anlage r = 8%.
a) Veranschaulichen Sie den Informationsverlauf mit einer Baumstruktur und bestimmen Sie die Filtration (t)t=0,1,2,3 sowie die zugehörige Folge von Zerlegungen (t)t=0,1,2,3!
b) Sind folgende stochastische Prozesse adaptiert?
=max 1(), =0,…,3,
Ω
∈ S t t Xt
ω , 0, ,3
8 5 falls 6
4 1 falls ) 6
( = …
≤
≤
−
≤
≤ +
= t
k kt
k Yt ωk kt
c) Bestimmen Sie die selbstfinanzierende Handelsstrategie H t( )=(H t H t0( ), 1( )) , T t=1, 2, 3,, die folgendermaßen entsteht:
Ein Anfangskaptal von 6.000 € wird bei t = 0 vollständig in die Aktie investiert. Bei t = 1 und t = 2 wird das gesamte Kapital in die Aktie investiert, wenn sich der diskontierte Preis S1*(t) in der letzten Periode verringert hat, ansonsten wird das gesamte Kapital in die risikolose Anlage investiert (sog. antizyklische Anlagestrategie).
Begründen Sie, dass es sich um einen voraussagbaren Prozess handelt!
d) Berechnen Sie Wert- und Gewinnprozess zur Handelsstrategie aus c)!
2. Wir setzen wieder das Modell aus Aufgabe 1 voraus, wobei die 8 Elementarereignisse ω1, ... , ω8 gleich wahrscheinlich seien.
a) Bestimmen Sie alle bedingten Erwartungen E S t( ( )1 Fs), ,t s=0,1, 2,3.
b) Bildet (S1(t))t=0,1,2,3 ein Martingal bzw. Super- oder Submartingal?
3. Betrachten wir ein BERNOULLIsche Versuchsschema, bei dem in T aufeinanderfolgenden, unabhängigen Versuchen jeweils beobachtet wird, ob ein zufälliges Ereignis A eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass A in einem der Versuche auftritt, sei p = P(A). Mit Nt wollen wir die Anzahl der Erfolge A in den ersten t Versuchen bezeichnen.
a) Geben Sie den Wahrscheinlichkeitsraum sowie eine Filtration an, die den Informationsverlauf wider- spiegelt!
b) Zeigen Sie, dass (Zt)t=0,1,…,T mit Zt =Nt−tp
ein Martingal bildet!
Sie müssen also beweisen, dass (E Zt s+ Ft)=Zt für alle t=0,1,…, ,1T ≤s≤T−t gilt.
