Inparabeln
Anregung: [Göbels 2010]
1 Worum geht es?
Einem Dreieck werden Parabeln einbeschrieben. Dies geschieht am elegantesten unter Verwendung von Bézier-Kurven. Es ergeben sich aber mehrere andere Möglichkeiten, diese Parabeln zu bestimmen.
Die Brennpunkte und Leitlinien der drei Parabeln führen zu zwei Schnittpunkten und einem Fünfpunktekreis im Dreieck.
2 Und hier die Definition
Unter der Inparabel bi eines Dreieckes A0A1A2 verstehen wir die Bézier-Kurve zwei- ten Grades mit den Stützpunkten Ai−1,Ai,Ai+1 (Indizes modulo 3).
Die Abbildung zeigt links die Inparabel b0, rechts alle drei Inparabeln.
Inparabeln
3 Eigenschaften der Bézier-Kurven zweiten Grades
Bézier-Kurven zweiten Grades sind Parabeln (zweiten Grades) im Sinne der Kegel- schnitte. Der Name Inparabel ist also in unserem Kontext gerechtfertigt.
Vorsicht: In der grafischen Praxis werden in der Regel Bézier-Kurven dritten Grades verwendet. Diese benötigen vier Stützpunkte und sind in der Regel keine Parabeln drit- ten Grades. Wir können die vier Stützpunkte sogar nichtplanar wählen, dann ist auch die zugehörige Bézier-Kurve nicht eben.
Unsere Bézier-Kurven zweiten Grades können als Parameterkurven dargestellt werden:
bi
( )
t =( )
2j(
1−t)
jt2−jAmod(i+j−1,3) j=0∑
2 , t∈[ ]
0,1Die Parabel b0 berührt die Seite a2 im Punkt A1, die Seite a1 im Punkt A2 und die Mittelparallele m0 im Schnittpunkt S0 mit der Schwerlinie s0. Dies ergibt sich aus dem Casteljau-Algorithmus der Bézier-Kurven. Entsprechendes gilt für die Inparabeln
b1 und b2.
Berührungen
Damit haben wir schon 6 Bedingungen, welche die Parabel als Kegelschnitt festlegen.
Tatsächlich ist ein Kegelschnitt durch 5 Bedingungen festgelegt, unsere 6 Bedingungen sind also redundant.
4 Verallgemeinerung
Das Konzept der Inparabeln lässt sich auf beliebige, auch nicht konvexe, Polygone ver- allgemeinern. Als Beispiele ein Viereck und ein regelmäßiges Pentagramm.
Inparabeln in Viereck und Pentagramm 5 Fadengrafik. Enveloppen
Aus dem Casteljau-Algorithmus der Bézier-Kurven ergibt sich die Darstellung der Inpa- rabeln als Enveloppe oder „Fadengrafik“. Für die Ansatzpunkt der Fäden werden die
Dreiecksseiten regelmäßig in je gleich viele Teile unterteilt. Als Beispiele und Bastelan- leitungen das gleichseitige Dreieck und das Quadrat.
Fadengrafik im Dreieck
Fadengrafik im Quadrat
6 Achse und Brennpunkt der „schrägen“ Parabeln 6.1 Achsenrichtung
Wir kehren zunächst das Problem um und zeichnen zur Schulparabel y=x2 ein pas- sendes Dreieck. Dies geschieht durch zwei Tangenten mit Berührpunkten A1 und A2. Die beiden Tangenten schneiden sich in A0.
Das Dreieck wird passend gemacht
Nun ist es eine alt gediente Schulaufgabe, zu zeigen, dass die x-Koordinate von A0 der Mittelwert der x-Koordinaten von A1 und A2 ist. Die Schwerlinie s0 des Dreieckes ist also parallel zur Parabelachse. Da alle Parabeln ähnlich sind, folgt, dass die Symmetrie- achse der Inparabel jeweils parallel zur entsprechenden Schwerlinie ist.
6.2 Brennpunkt und ein Schnittpunkt
Den Brennpunkt der Inparabel b0 finden wir nun über die Reflexionseigenschaft der Parabel. Wir legen Parallelen zu s0 durch die Punkte A1 und A2 und spiegeln diese Parallelen an a2 beziehungsweise an a1. Die beiden reflektierten Geraden schneiden sich im Brennpunkt F0.
Zwei Geraden in allgemeiner Lage schneiden sich in einem Punkt. Wenn dies drei Ge- raden tun, ist das bemerkenswert wie zum Beispiel bei den drei Höhen im Dreieck (vgl.
[Walser 2004]). Einen solchen bemerkenswerten Schnittpunkt finden wir im Parallelo- grammraster. Wir zeichnen einige Diagonalen ein und spiegeln gemäß Figur. Die Spie- gelbilder der drei Diagonalen schneiden fokussieren auf denselben Punkt. Der Beweis- tipp liegt in der Formulierung „fokussieren“.
Schnittpunkt mit gespiegelten Diagonalen 6.3 Symmetrieachse
Die Parallele zu s0 durch den Brennpunkt F0 ist nun die Symmetrieachse. Wir können nun die Punkte A1 und A2 an dieser Symmetrieachse spiegeln und erhalten A1 und A2. Zusammen mit dem Punkt S0 haben wir nun insgesamt fünf Punkte auf der Parabel.
Damit ist der Kegelschnitt definiert und kann entsprechend zum Beispiel mit DGS ge- zeichnet werden.
A0
A1
A2
A1 A2
S0
F0 s0
Konstruktion mit DGS
7 Was es sonst noch gibt
7.1 Der Umkreis kommt ins Spiel
Der Brennpunkt F0, die Punkte A1 und A2 sowie der Umkreismittelpunkt U des Drei- eckes A0A1A2 liegen ihrerseits auf einem Kreis. Dies kann mit Winkelüberlegungen als Folge der Reflexionskonstruktion des Brennpunktes F0 eingesehen werden.
A0
A1
A2 F0
U
α0
2α0
Punkte auf einem Kreis 7.2 Die drei Brennpunkte und noch ein Schnittpunkt
Die Brennpunkte der drei Inparabeln sowie der Umkreismittelpunkt liegen auf einem Kreis. Verifikation durch DGS, Beweis fehlt.
A0
A1
A2 F0
U F1
F2
Noch ein Kreis
Weiter ist es so, dass die drei Geraden A0F0, A1F1 und A2F2 sich in einem gemeinsa- men Punkt F schneiden. Dieser Punkt liegt ebenfalls auf dem Kreis durch die drei
Brennpunkte, und zwar diametral zum Umkreismittelpunkt U. Verifikation durch DGS, ohne Beweis. Wir haben also einen Fünfpunktekreis. Für einen weitere Fünfpunktekrei- se im Dreieck siehe [Walser 2009].
A0
A1
A2 F0
U F1
F2 F
Ein Schnittpunkt
7.3 Die drei Leitlinien und noch ein weiterer Schnittpunkt
Die Leitlinien l0,l1,l2 der drei Inparabeln bilden das Leitliniendreieck L0L1L2 gemäß Figur. Die drei Geraden A0L0, A1L1 und A2L2 schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt L. Verifikation DGS, ohne Beweis.
A0
A1
A2 F0
F1 F2
l0
l1
l2
L0
L1 L2
L
Leitliniendreieck und kopunktale Geraden 7.4 Umparabeln
Wir spiegeln den Seitenmittelpunkt M0 an der Dreiecksecke A0 und erhalten so den Punkt A!0. Die Inparabel des Dreieckes A!0A1A2 ist dann die Umparabel u0 des Drei- eckes A0A1A2. Sie verläuft durch alle drei Ecken.
Die Figur zeigt die drei Umparabeln.
A0
A1
A2
Umparabeln
8 Didaktisches 8.1 Der Zeitgeist
Zur Zeit ist es wieder Mode geworden, im Schulunterricht zu „modellieren“.
Zur Modellierung von Kurven werden die Funktionsgrafen von Polynomfunktionen strapaziert, obwohl Funktionsgrafen das denkbar schlechteste Werkzeug zur Kurven- modellierung sind. Kein Kreis lässt sich so darstellen, ja nicht einmal eine senkrechte Gerade. Besser geeignet wären parametrisierte Darstellungen von Kurven. Ein Sonder- fall dazu sind Bézier-Kurven (meist dritten Grades, vgl. Beispiel), welche in jeder Gra- fiksoftware implementiert sind.
Bézier-Kurve dritten Grades
Das Problem liegt im Funktionsbegriff, indem es zu einem x nicht zwei verschiedene y geben darf (Schülersprache). Es muss also eine Richtung geben, in der die Kurve nur einmal geschnitten wird.
Ein weiteres Problem ist, dass die physikalischen und statischen Gegebenheit es oft nicht zulassen, im Schulunterricht eine korrekte Lösung zu erarbeiten. Daher wird dann nur noch der äußere Schein modelliert. Ich habe tatsächlich schon Arbeitsblätter gese- hen, in denen eine zwischen zwei Aufhängepunkten durchhängende Kette durch eine quadratische Parabel modelliert werden sollte. Da das echte Problem, eine Variations- aufgabe, zu schwierig ist, greift man zur Näherungslösung. Allerdings könnte ebenso gut der Kreis als Näherungslösung verwendet werden.
Die durchhängende Kette mit Näherungslösungen 8.2 Bézier-Kurven im Unterricht
Da Bézier-Kurven erst in der Mitte des letzten Jahrhunderts entwickelt wurden, haben sie noch kaum Eingang in den Schulunterricht gefunden. Dabei wären sie eine ideale Möglichkeit, Parameterdarstellungen allgemein und insbesondere die Parameterdarstel- lung der Geraden sowie die binomische Formel zu vertiefen.
Ein sehr schönes Arbeitsheft dazu ist [Dzung Wong 2003].
Literatur
[Dzung Wong 2003] Dzung Wong, Baoswan: Bézierkurven gezeichnet und berechnet.
Zürich: Orell Füssli 2003. ISBN 3-280-04021-3
[Göbels 2010] Göbels, Wolfgang: Einbeschriebene und umhüllende Parabeln.
MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 63/3 (15. 4. 2010), S. 152-154, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss.
[Walser 2004] Walser, Hans: 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise.
Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2004. ISBN 3-937219-10-2 [Walser 2009] Walser, Hans: Fünfpunktekreise. MNU Der mathematische und
naturwissenschaftliche Unterricht 62/3 (15. 4. 2009), S. 146, ISSN 0025-5866 .
