Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH) 3.4.2007 Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften
Prof. Dr. G. Laue / Prof. Dr. T. Martin Abgabe: 20.4.2007
Finanzmathematik II
Beleg 1
1. Gegeben sei ein 1-Perioden-Modell mit zwei Finanzgütern und drei möglichen Ereignissen:
1
1 1 2
3
12,1 falls (0) 8, (1) 9, 9 falls
6, 6 falls
S S
ω ω ω
= =
,
1
2 2 2
3
15, 4 falls (0) 9, (1) 8,8 falls
5, 5 falls
S S
ω ω ω
= =
Für die risikolose Anlage gilt der Zinssatz r = 10%.
a) Gibt es in diesem Modell ein risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß? Versuchen Sie dazu, ein solches zu konstruieren!
b) Bestimmen Sie alle Arbitragemöglichkeiten H =(H0,H1,H2)T dieses Modells!
Skizzieren Sie dabei den zulässigen Bereich in der H1−H2−Ebene!
c) Beschreiben Sie mit Worten, wie eine Arbitrage beispielsweise zu realisieren ist! Geben Sie dabei den Gewinn in folgender Tabelle an:
Erlös Verkauf F.1 Rückgabe F.2 Rückzahlung Kredit Gewinn ω1
ω2 ω3
2. Ein 1-Perioden-Finanzmarktmodell enthalte eine Aktie (N = 1) mit dem bekannten Wert A0 zum Zeitpunkt t = 0 und dem zufälligen Wert A1 zum Zeitpunkt t = 1. Nur zwei Fälle sind möglich (K = 2):
−
=
p dA
p A uA
1 it heinlichke mit Wahrsc
, it heinlichke mit Wahrsc
0 0 1
mit 0 < p < 1. Außerdem werde die risikolose Anlage mit Zinssatz r verzinst und es gelte u > 1 + r > d > 0.
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung (=Volatilität) des Aktienkurses A1 ! b) Weisen Sie nach, dass dieses Modell arbitragefrei ist!
c) Bestimmen Sie ein risikoloses Wahrscheinlichkeitsmaß Q! Ist Q eindeutig bestimmt?
3. Wir betrachten jetzt ein 1-Perioden-Modell mit zwei Finanzgütern (N = 2) und dem Preisvektor
=
0 , 2 0 , 1 2
1
) 0 (
) 0 (
A A S
S
bei t = 0.
Nehmen wir an, dass bei t = 1 nur zwei Fälle ω1,ω2 eintreten können (K = 2) und dass gelte
1 1 1 1,0
2 2 2,0
(1) ( ) (1) S u A
S u A
ω
=
, 1 2 1 1,0
2 2 2,0
(1) ( ) (1) S d A
S d A
ω
=
, wobei u1>d1>0,u2 >d2 >0. Weiterhin soll gelten:
u1>u2,d1<d2 (*)
a) Bestimmen Sie ein risikoloses Wahrscheinlichkeitsmaß Q!
Wie muss dazu der Verzinsungsfaktor B1 = 1 + r gewählt werden?
b) Beschreiben Sie mit Worten eine Arbitragemöglichkeit, wenn (*) nicht erfüllt ist!
