Lösungen zu Übungsaufgaben Serie 3

Hochschule für Wirtschaft, Technik und Kultur Leipzig (FH) Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Prof. Dr. Tobias Martin

Wirtschaftsmathematik

Lösungen zu Übungsaufgaben Serie 3

1. a) Sei i der gesuchte durchschnittliche Umsatzsteigerungssatz der Jahre bis 2005. Dann gilt (1+11%)³(1−8%)⋅1⋅1=1,11³⋅0,92=(1+i)⁶ ⇒ i=⁶1,11³⋅0,92−1≈3,90%.

b) Sei i jetzt der Steigerungssatz von 2005 gegenüber 1999. Dann ist (1+11%)³(1−8%)⋅1⋅1=1,11³⋅0,92=1+i ⇒ i=1,11³⋅0,92−1≈25,82%.

c) Der Umsatz werde 2006 mit der Zuwachsrate i gegenüber 2005 gesteigert. Daraus folgt der Ansatz

1 11,83%

92 , 0 11 , 1

05 , 1

%) 5 1 ( 1 ( 92 , 0 11 ,

1 3

7 7

3 − ≈

⋅

= + ⇒

= +

⋅

⋅ i) i .

d) Wenn eine durchschnittliche Zuwachsrate von i gegenüber dem jeweiligen Vorjahr insgesamt auf eine Steigerug von 44% führt, so ist (1+i)⁷ =1+44% ⇒ i=⁷1,44−1≈5,35%.

2. Da innerhalb der Laufzeit keine Zinsen fällig werden, handelt es sich um einfache Verzinsung.

a) Zinsen: 500 €⋅0, 06 2⋅ =30, 00 €⋅ =2 60, 00 €. Zinssatz für 2 Jahre: 6%⋅2=12% b) Zinsen: 7 17,50€

12 06 ,

€ 0

500 ⋅ ⋅ = . Zinssatz für 7 Monate: 7 3,5% 12

% 6 ⋅ =

Bei jährlicher Zinsgutschrift würden bei a) Zinseszinsen in Höhe von 30 €^. 0,06 = 1,80 € hinzukommen.

3. a) Zunächst muss die Höhe von Hubers Schuld am heutigen Tag (30.11.2006) bestimmt werden. Bis zum 9.3.2007 sind es noch 99 Zinstage, bis zum 21.5.2007 noch 171 Tage, also gilt für die Schuld x:

5.000€ 1,86111 9.305,55€

095 , 1

000€ . 5 055 , 1

000€ . 5

% 20 1

000€ . 5

% 20 1

000€ . 5

360 171 360

99 = + = ⋅ =

+ + +

x=

Wenn die Einmalzahlung t Zinstage nach dem heutigen Datum erfolgt, so muss gelten:

327,76 328

2 , 0 ) 360

€ 1 55 , 305 . 9

000€ . (11 000€ . 11

%) 0 360 2 (1 55€ , 305 .

9 ⋅ + t ⋅ = ⇔ t= − ⋅ = ≈

Die Fälligkeit liegt also in 328 Zinstagen, d. h. am 28.10.2007.

b) Der 28.12.2007 liegt 388 Zinstage nach dem heutigen Datum, also erhält man bei gleicher Rechnung

_{99 171 388}

360 360 360

5.000 € 5.000 € 11.000 €

1 i 1 i 1 i

+ =

+ + + . Umformung ergibt die quadratische Gleichung 337.581i²+813.600i−129.600=0 i ≈ 15% (2.Lösung i < 0 kommt nicht in Frage!)

c) Bis zum Jahresende 2006 (31.12. = 30. Zinstag im Dez. 2006) vergehen ab 30.11. genau 30 Zinstage.

Der abgezinste Einmalbetrag muss gleich der Summe der Barwerte beiden Raten sein:

_{30 99 171}

360 360 360

9.400 € 9.245,90 €

1,86111 4.967, 95 €

1 20% 1 20% 1 20% 1,86111

R R

R R

= + = ⋅ ⇔ = =

+ + + .

4. a) ₁ ln ln ln10.000 ln 8.000

(1 ) log 4, 4 [Jahre]

ln(1 ) ln(1 0, 052)

n n n

n i

K K K

K K i n

K i

+

− −

= + ⇒ = = = ≈

+ +

Also beträgt der Kontostand erst nach der 5.Zinsgutschrift mehr als 10.000 €.

b) ⁴10.000 €

(1 ) 1 1 5, 737% [p.a.]

8.000 €

n n n

n

K K i i K

K

= + ⇒ = − = − ≈

c) ₄₈ 5, 737% ^{4 12}

(1 ) 1.058,11 €

K =K + 12 ^⋅ =

5. a) i₁=i₂ =0,5%,i₃ =i₄ =1,5%,i₅ =i₆ =2,5%,…,i₁₃=i₁₄=6,5%,i₁₅=7,5% Rendite: i=¹⁵1,005²1,015²1,025²1,035²1,045²1,055²1,065²1,075−1=3,7439% b) Endwert: 200.000€ (1 ) 347.110,55€

15

1

15= ⋅

∏

= t

it

K

6. a) i^*=(1+^7,₄^4%)⁴−1=7,6079%

b) Gleichheit der Jahreszinsen: K(1+^7,₄^4%)⁴=K(1+i₁₂)¹² ⇔ i₁₂=³1+^7,₄^4% −1=0,613%p.M.

c) Auszahlungsbetrag zum Effektivzinssatz verzinst = Kreditbetrag vierteljährlich mit dem zu i linear propor- tionalen Zinssatz verzinst: 0,95 (1 ^*)¹⁰ (1 ₄)⁴⁰ 4(⁴⁰0,95(1 7,6079%)¹⁰ 1) 6,8779%

tor Disagiofak

=

− +

=

⇔ +

=

+i K i

K ⁱ .