Hochschule für Wirtschaft, Technik und Kultur Leipzig (FH) Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Prof. Dr. Tobias Martin
Wirtschaftsmathematik
Lösungen zu Übungsaufgaben Serie 6
1. a) f [ , ( 12) ], f [0,1]k
D kπ k π W
∈
= + =
∪
b) 1 5 4 ( 1)( 4) 0, also [1,4].
4
5 2 2
=
≤
−
−
= +
−
⇔
≥
−
⇔
∈ f x x x x x x Df
D x
4 5x−x2
nimmt Min. am Scheitelpunkt an:
16 ) 25 ( 2,
5 =
= S
S f x
x . ] [0,0.668]
16 ln25 , 0
[ =
⇒ = Wf
c) 1.
1
1 2 ≤
+
≤
−
⇔
∈
x D x
x f Fallunterscheidung:
1. 1+x>0⇔x>−1. In diesem Fall ist −1−x≤2x≤1+x⇔−13≤x≤1
2. 1+x<0⇔x<−1. In diesem Fall ist −1−x≥2x≥1+x⇔x≤−31∧x≥1 (Widerspruch) Also ist nach Fall 1: =[−13,1]
Df . Daraus folgt =[0,π]
Wf .
d) = \{−1,1}, =(1,2]
f
f W
D R
2. a) b)
10 20 30 40
-4 -2 2 4
-2 -1 1 2
-20 -10 10 20 30
3. a) gerade (weil x2 und x4 gerade)
b) ungerade (weil sin x ungerade und cos x gerade)
c) ungerade, denn f(−x)=(−x)(e−x+e−(−x))=−x(ex+e−x)=−f(x) d) weder gerade, noch ungerade, denn =[1,∞)
Df (nicht symmetrisch bzgl. Null) 4. a) (fg)(x)= f(g(x))=(2x)2 =22x, (gf)(x)=g(f(x))=2x2
b) x
x x x x
x x
x x
x f f
f =
− +
=
− +
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 ))) 1 ( ( (
c) f(x+1)= f((x+2)−1)=(x+2)2
5. Sei x1 < x2. ( )
1 1 1 ) 1
( 2
2 2 1 1
1 f x
x x x x x
f =
+
−
>
+
−
= , also ist f streng monoton fallend.
Umkehrfunktion: y x x x y y
x
y x⇔ + = − ⇔ + = −
+
−
= (1 ) 1 ( 1) 1
1
1 , also ist ( ( ))
1 ) 1
1(
x x f x x
f =
+
−
− =
Df =Wf−1=\{ 1}− , Wf =Df−1 =\{ 1}− .
